
- •СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ
- •Исходные определения
- •Произведения векторов
- •Дифференцирование и интегрирование векторов
- •ВРАЩЕНИЯ И ИНВЕРСИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
- •Поворот системы координат
- •Инверсия системы координат
- •СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
- •Криволинейные координаты
- •Дифференциальные векторные операции
- •Цилиндрическая и сферическая системы координат
- •Взаимный базис. Ко- и контравариантные составляющие векторов
- •Циклические координаты
- •ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
- •Интегральные теоремы векторного анализа
- •Потенциальные, соленоидальные и Лапласовы векторные поля
- •УПРАЖНЕНИЯ к п. 4.
|
29 |
Если выбрать в (18) b = [f × C], то: |
|
ZS rot [f × C] · dS = ZS [r~ × b] · dS = ZS [dS × r~ ] · b = Z |
[dS × r~ ] · [f × C] = |
Z I I
= C [dS ~ ] f = [f C] dl = C [dl f].
· × r × × · · ×
S L L
Таким образом, окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
||
ZS [dS × r~ ] × f = ZS [n × r~ ] × f dS = IL [dl × f]. |
(103) |
|||||||
Если положить в (17) |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
b = ϕrψ, то получим так называемую первую |
||||||||
формулу Грина: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
||||
ZV ϕ4ψ + r~ ϕ · r~ ψ dV = IS ϕ |
|
|
dS. |
(104) |
||||
∂n |
||||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
Если в (17) b = ϕrψ − ψrϕ, получим вторую формулу Грина: |
|
|||||||
|
∂ψ |
|
|
∂ϕ |
|
|||
ZV ϕ4ψ − ψ4ϕ dV = IS ϕ |
|
− ψ |
|
dS. |
(105) |
|||
∂n |
∂n |
Необходимо отметить важное следствие из второй теоремы Грина: если внутри объема V , ограниченного поверхностью S, задана непрерывная вместе со вторыми производными функция ϕ, то можно определить
значение ϕ в любой внутренней точке объема V |
при известных ϕ и ее |
|||||||||||||||||||||
нормальной производной ∂ϕ/∂n на S: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
∂ |
1 |
|
|
1 ∂ϕ |
|
|||||||||||
4πϕ(A) = − ZV |
|
4ϕ dV |
− IS ϕ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
dS. |
(106) |
|||||||
r |
∂n |
r |
r |
∂n |
||||||||||||||||||
Аналогично из (105) следует формула типа (106) для вектора b: |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
∂ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4πb(A) = − ZV |
|
4b dV − IS |
b |
|
|
|
|
− |
|
(n · r~ )b dS. |
(107) |
|||||||||||
r |
∂n |
r |
r |
4.3 Потенциальные, соленоидальные и Лапласовы векторные поля
Векторное поле называется потенциальным, если A = grad ϕ. Величина ϕ называется скалярным потенциалом поля. Если потенциал ϕ поля A однозначная функция, то значение циркуляции вектора A не зависит от формы пути:
D |
D |
|
D |
|
∂ϕ |
∂ϕ |
∂ϕ |
D |
|
|||
ZC |
A·dl = ZC |
r~ |
ϕ·dl = ZC |
|
|
dx+ |
|
dy+ |
|
dz |
= ZC |
dϕ = ϕ(D)−ϕ(C), |
∂x |
∂y |
∂z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(108) |

30
т.е. циркуляция вектора потенциального поля по замкнутому пути равна 0. Необходимым и достаточным условием того, чтобы поле было потенциальным, является равенство: rot A = 0.
Вектороное поле B называется соленоидальным (или вихревым),
если |
B = |
rot A. Вектор A назывется векторным |
потенциалом |
поля B. Необходимым и достаточным условием соленоидальности |
|||
поля |
является |
равенство: div B = 0. Векторное поле |
A называется |
Лапласовым, если в любой его точке выполняются равенства: rot A = 0, div A = 0. Лапласово поле является одновременно и потенциальным
исоленоидальным. Лапласово поле полностью определяется
скалярным потенциалом, удовлетворяющим уравнению Лапласа:
4ϕ = 0. Функции, удовлетворяющие уравнения Лапласа, называются
гармоническими. |
√x2 + y2 + z2, |
ПРИМЕР 4.1. Показать, что функция 1/r, где r = |
является гармонической функцией всюду, кроме начала координат.
Для производных от 1/r по xk (k 1, 2, 3) имеем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ 1 |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
∂2 |
1 |
3x2 |
r2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
; |
|
|
|
|
= |
|
k − |
. |
|
||||||
|
|
|
|
∂xk |
r |
r3 |
∂xk2 |
r |
|
r5 |
|
|||||||||||||||||
Складывая значения вторых производных, получим: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
3 ∂2 |
1 |
3x2 |
+ 3x2 + 3x2 |
3r2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
2 |
|
3 − |
|
|
= 0, |
|
(r 6= 0). |
||||||||
r |
=1 |
∂x2 |
r |
|
|
|
r5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
kX |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, функция 1/r является гармонической функцией всюду, кроме начала координат по определению.
ПРИМЕР 4.2. Доказать равенство: 4(1/r) = −4π δ(r). Рассмотрим интеграл:
1 |
Z |
1 |
|
|
|
2 |
Z0∞ |
sin(x) |
1 |
|||||||||
Φ(r) = |
|
|
|
exp( ik · r ) dk = |
|
|
|
dx = |
|
. |
||||||||
2π2 |
k2 |
π r |
x |
r |
||||||||||||||
Вычислим действие оператора r2 на функцию Φ(r) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r2Φ(r) ≡ r2 |
|
|
|
= |
|
Z |
|
(ik)2 exp( ik · r )dk = −4π δ(r) |
||||||||||
r |
2π2 |
k2 |
что и требовалось доказать.
Основные свойства гармонических функций следующие.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
1. Если внутри замкнутой поверхности S ψ - гармонична, то: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
IS |
|
|
∂ψ |
dS = 0. |
(109) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂n |
|||||||||||||||||||||||
Это свойство следует из (104), полагая ϕ = const. |
|
||||||||||||||||||||||||||
2. Если ϕ и ψ - гармонические функции, то на основании (105) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
||||||||
|
IS ϕ |
|
dS = IS ψ |
|
|
dS. |
(110) |
||||||||||||||||||||
∂n |
∂n |
||||||||||||||||||||||||||
3. Если ϕ - гармонична, то на основании (106) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
1 |
|
|
1 ∂ϕ |
|
|||||||||
4π ϕ(A) = − IS ϕ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
dS. |
(111) |
|||||||||||||
∂n |
r |
r |
|
∂n |
|||||||||||||||||||||||
В частном случае, если S - сфера радиуса R с центром в т. A, то |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ϕ(A) = |
1 |
|
|
|
IS ϕ dS, |
(112) |
|||||||||||||||||||
|
|
4π R2 |
|||||||||||||||||||||||||
так как по свойству 1 второй интеграл в (111) равен 0, а |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
1 |
|
|
|
∂ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
r=R |
= − |
|
. |
|
||||||||||||||
|
∂n |
r |
∂n |
r |
R2 |
|
Выражение (112) означает, что величина гармонической функции в т. A равна среднему значению этой функции на любой сфере с центром в т.A.
4.Гармоническая функция не имеет ни максимума, ни минимума внутри области гармоничности.
5.Гармоническая функция, постоянная на границе, постоянна и внутри области.
В заключение сформулируем теорему, которая называется основной теоремой векторного анализа: любое непрерывное векторное поле A(r), заданное во всем пространстве и исчезающее на бесконечности вместе с div A и rot A, может быть единственным образом (с точностью до векторной постоянной) представлено в виде суммы потенциального A1 и соленоидального A2 полей, т.е.
A = A1(r) + A2(r); div A2 = 0, rot A1 = 0. |
(113) |
4.4 УПРАЖНЕНИЯ к п. 4.
4.1. Вычислить div r, rot r, grad (a r), (a ~ )r, где r - радиус
· · r
вектор, a = const в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

|
32 |
4.2. Вычислить |
grad ϕ(r), div ϕ(r)r , rot ϕ(r)r , (a · r~ )ϕ(r)r. |
4.3. Найти div, |
rot векторов: (a·r)b, (a·r)r, [a×r], ϕ(r)[a×r], [r×[a×r]], |
где a и b = const. |
grad A(r) · r , grad A(r) · B(r) , div ϕ(r)A(r) , |
4.4. Вычислить |
rot ϕ(r)A(r) , (a ~ ) ϕ(r)A(r) , где a = const.
· r
4.5. Вычислить grad (a · r)/r3 и rot [a × r]/r3. 4.6. Доказать равенство:
Z I
b div a + (a ~ )b dV = (n a)b dS.
· r ·
V S
4.7. Доказать равенство:
Z I
[b rot a] + [a ~ ] b dV = [n a] b dS
× × r × × ×
V S
4.8. Доказать равенство: [[M ~ ] r] = 2M.
× r × −
4.9. Задан вектор Π = d(t−r/c)/r, r - модуль радиусвектора, C = const, t -скалярный параметр. Доказать, что:
1 |
1 |
˙ |
||
rot Π = − |
|
[r × d(τ)] − |
|
[r × d], τ = t − r/c; |
r3 |
r2 c |
rot rot Π = 3n(n · d) − d r3
˙ |
∂ |
¨ |
∂2 |
|
n = r/r, d ≡ |
|
d(τ) d ≡ |
|
d(τ). |
∂τ |
∂τ2 |
|
˙ ˙ |
|
¨ |
|
+ |
3n(n · d) − d |
+ |
[n × [n × d]] |
|
c r2 |
c2 r |
|||
|
|
Содержание |
|
|
1 СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ |
1 |
|
1.1 |
Исходные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
1.2 |
Произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
1.3 |
Дифференцирование и интегрирование векторов . . . . . . . |
5 |
1.4 |
УПРАЖНЕНИЯ к п. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
2 ВРАЩЕНИЯ И ИНВЕРСИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ |
8 |
|
2.1 |
Поворот системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
2.2 |
Инверсия системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
2.3 |
УПРАЖНЕНИЯ к п. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
|
|
33 |
3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ |
17 |
|
3.1 |
Криволинейные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
3.2 |
Дифференциальные векторные операции . . . . . . . . . . . |
18 |
3.3Цилиндрическая и сферическая системы координат . . . . . 20
3.4Взаимный базис. Ко- и контравариантные составляющие
|
векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
3.5 |
Циклические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
3.6 |
УПРАЖНЕНИЯ к п. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
4 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ |
25 |
|
4.1 |
~ |
25 |
Применение оператора r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
4.2 |
Интегральные теоремы векторного анализа . . . . . . . . . . |
27 |
4.3 |
Потенциальные, соленоидальные и Лапласовы векторные поля 29 |
|
4.4 |
УПРАЖНЕНИЯ к п. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
Список литературы
[1]Борисенко А.И., Тарапов И.В. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М., 1968. 252 с.
[2]Арфкен Г. Математические методы в физике. М., 1970. 712 с.
[3]Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М., 1970. 503 с.
[4]Будак В.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967. 608 с.
Составитель: профессор, д.ф.-м.н. Запрягаев Сергей Александрович