Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Хасанов лекции / Векторный анализ практика.pdf
Скачиваний:
199
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.27 Mб
Скачать

 

29

Если выбрать в (18) b = [f × C], то:

 

ZS rot [f × C] · dS = ZS [r~ × b] · dS = ZS [dS × r~ ] · b = Z

[dS × r~ ] · [f × C] =

Z I I

= C [dS ~ ] f = [f C] dl = C [dl f].

· × r × × · · ×

S L L

Таким образом, окончательно получаем:

 

 

 

 

 

 

ZS [dS × r~ ] × f = ZS [n × r~ ] × f dS = IL [dl × f].

(103)

Если положить в (17)

~

 

 

 

 

 

 

 

b = ϕrψ, то получим так называемую первую

формулу Грина:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ψ

 

ZV ϕ4ψ + r~ ϕ · r~ ψ dV = IS ϕ

 

 

dS.

(104)

∂n

~

~

 

 

 

 

 

 

 

Если в (17) b = ϕrψ − ψrϕ, получим вторую формулу Грина:

 

 

∂ψ

 

 

∂ϕ

 

ZV ϕ4ψ − ψ4ϕ dV = IS ϕ

 

− ψ

 

dS.

(105)

∂n

∂n

Необходимо отметить важное следствие из второй теоремы Грина: если внутри объема V , ограниченного поверхностью S, задана непрерывная вместе со вторыми производными функция ϕ, то можно определить

значение ϕ в любой внутренней точке объема V

при известных ϕ и ее

нормальной производной ∂ϕ/∂n на S:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1 ∂ϕ

 

4πϕ(A) = − ZV

 

4ϕ dV

IS ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS.

(106)

r

∂n

r

r

∂n

Аналогично из (105) следует формула типа (106) для вектора b:

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

4πb(A) = − ZV

 

4b dV − IS

b

 

 

 

 

 

(n · r~ )b dS.

(107)

r

∂n

r

r

4.3 Потенциальные, соленоидальные и Лапласовы векторные поля

Векторное поле называется потенциальным, если A = grad ϕ. Величина ϕ называется скалярным потенциалом поля. Если потенциал ϕ поля A однозначная функция, то значение циркуляции вектора A не зависит от формы пути:

D

D

 

D

 

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

D

 

ZC

A·dl = ZC

r~

ϕ·dl = ZC

 

 

dx+

 

dy+

 

dz

= ZC

dϕ = ϕ(D)−ϕ(C),

∂x

∂y

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(108)

30

т.е. циркуляция вектора потенциального поля по замкнутому пути равна 0. Необходимым и достаточным условием того, чтобы поле было потенциальным, является равенство: rot A = 0.

Вектороное поле B называется соленоидальным (или вихревым),

если

B =

rot A. Вектор A назывется векторным

потенциалом

поля B. Необходимым и достаточным условием соленоидальности

поля

является

равенство: div B = 0. Векторное поле

A называется

Лапласовым, если в любой его точке выполняются равенства: rot A = 0, div A = 0. Лапласово поле является одновременно и потенциальным

исоленоидальным. Лапласово поле полностью определяется

скалярным потенциалом, удовлетворяющим уравнению Лапласа:

4ϕ = 0. Функции, удовлетворяющие уравнения Лапласа, называются

гармоническими.

x2 + y2 + z2,

ПРИМЕР 4.1. Показать, что функция 1/r, где r =

является гармонической функцией всюду, кроме начала координат.

Для производных от 1/r по xk (k 1, 2, 3) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ 1

 

 

 

 

 

xk

 

 

2

1

3x2

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

;

 

 

 

 

=

 

k

.

 

 

 

 

 

∂xk

r

r3

∂xk2

r

 

r5

 

Складывая значения вторых производных, получим:

 

 

 

1

3 2

1

3x2

+ 3x2 + 3x2

3r2

 

 

 

 

4

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

2

 

3

 

 

= 0,

 

(r 6= 0).

r

=1

∂x2

r

 

 

 

r5

 

 

 

 

 

 

 

 

kX

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, функция 1/r является гармонической функцией всюду, кроме начала координат по определению.

ПРИМЕР 4.2. Доказать равенство: 4(1/r) = −4π δ(r). Рассмотрим интеграл:

1

Z

1

 

 

 

2

Z0

sin(x)

1

Φ(r) =

 

 

 

exp( ik · r ) dk =

 

 

 

dx =

 

.

2

k2

π r

x

r

Вычислим действие оператора r2 на функцию Φ(r)

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

r2Φ(r) ≡ r2

 

 

 

=

 

Z

 

(ik)2 exp( ik · r )dk = −4π δ(r)

r

2

k2

что и требовалось доказать.

Основные свойства гармонических функций следующие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

1. Если внутри замкнутой поверхности S ψ - гармонична, то:

 

 

 

 

 

 

IS

 

 

∂ψ

dS = 0.

(109)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n

Это свойство следует из (104), полагая ϕ = const.

 

2. Если ϕ и ψ - гармонические функции, то на основании (105)

 

 

 

 

 

∂ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

IS ϕ

 

dS = IS ψ

 

 

dS.

(110)

∂n

∂n

3. Если ϕ - гармонична, то на основании (106)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 ∂ϕ

 

4π ϕ(A) = − IS ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS.

(111)

∂n

r

r

 

∂n

В частном случае, если S - сфера радиуса R с центром в т. A, то

 

 

 

ϕ(A) =

1

 

 

 

IS ϕ dS,

(112)

 

 

4π R2

так как по свойству 1 второй интеграл в (111) равен 0, а

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

r=R

= −

 

.

 

 

∂n

r

∂n

r

R2

 

Выражение (112) означает, что величина гармонической функции в т. A равна среднему значению этой функции на любой сфере с центром в т.A.

4.Гармоническая функция не имеет ни максимума, ни минимума внутри области гармоничности.

5.Гармоническая функция, постоянная на границе, постоянна и внутри области.

В заключение сформулируем теорему, которая называется основной теоремой векторного анализа: любое непрерывное векторное поле A(r), заданное во всем пространстве и исчезающее на бесконечности вместе с div A и rot A, может быть единственным образом (с точностью до векторной постоянной) представлено в виде суммы потенциального A1 и соленоидального A2 полей, т.е.

A = A1(r) + A2(r); div A2 = 0, rot A1 = 0.

(113)

4.4 УПРАЖНЕНИЯ к п. 4.

4.1. Вычислить div r, rot r, grad (a r), (a ~ )r, где r - радиус

· · r

вектор, a = const в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

 

32

4.2. Вычислить

grad ϕ(r), div ϕ(r)r , rot ϕ(r)r , (a · r~ )ϕ(r)r.

4.3. Найти div,

rot векторов: (a·r)b, (a·r)r, [a×r], ϕ(r)[a×r], [r×[a×r]],

где a и b = const.

grad A(r) · r , grad A(r) · B(r) , div ϕ(r)A(r) ,

4.4. Вычислить

rot ϕ(r)A(r) , (a ~ ) ϕ(r)A(r) , где a = const.

· r

4.5. Вычислить grad (a · r)/r3 и rot [a × r]/r3. 4.6. Доказать равенство:

Z I

b div a + (a ~ )b dV = (n a)b dS.

· r ·

V S

4.7. Доказать равенство:

Z I

[b rot a] + [a ~ ] b dV = [n a] b dS

× × r × × ×

V S

4.8. Доказать равенство: [[M ~ ] r] = 2M.

× r × −

4.9. Задан вектор Π = d(t−r/c)/r, r - модуль радиусвектора, C = const, t -скалярный параметр. Доказать, что:

1

1

˙

rot Π = −

 

[r × d(τ)] −

 

[r × d], τ = t − r/c;

r3

r2 c

rot rot Π = 3n(n · d) − d r3

˙

¨

2

n = r/r, d ≡

 

d(τ) d ≡

 

d(τ).

∂τ

∂τ2

 

˙ ˙

 

¨

+

3n(n · d) − d

+

[n × [n × d]]

c r2

c2 r

 

 

Содержание

 

1 СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ

1

1.1

Исходные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Дифференцирование и интегрирование векторов . . . . . . .

5

1.4

УПРАЖНЕНИЯ к п. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 ВРАЩЕНИЯ И ИНВЕРСИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

8

2.1

Поворот системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Инверсия системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

УПРАЖНЕНИЯ к п. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

 

 

33

3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

17

3.1

Криволинейные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2

Дифференциальные векторные операции . . . . . . . . . . .

18

3.3Цилиндрическая и сферическая системы координат . . . . . 20

3.4Взаимный базис. Ко- и контравариантные составляющие

 

векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.5

Циклические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.6

УПРАЖНЕНИЯ к п. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

25

4.1

~

25

Применение оператора r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Интегральные теоремы векторного анализа . . . . . . . . . .

27

4.3

Потенциальные, соленоидальные и Лапласовы векторные поля 29

4.4

УПРАЖНЕНИЯ к п. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Список литературы

[1]Борисенко А.И., Тарапов И.В. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М., 1968. 252 с.

[2]Арфкен Г. Математические методы в физике. М., 1970. 712 с.

[3]Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М., 1970. 503 с.

[4]Будак В.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967. 608 с.

Составитель: профессор, д.ф.-м.н. Запрягаев Сергей Александрович