Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Хасанов лекции / Векторный анализ практика.pdf

Скачиваний:

199

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

1.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

3.4.Решить уравнение Лапласа r2ϕ = 0 в цилиндрической системе координат для случая ϕ = ϕ(ρ~)

3.5.Решить уравнение Лапласа r2ϕ = 0 в сферической системе координат для случая ϕ = ϕ(r)

3.6.Решить уравнение Лапласа r2ϕ = 0 в сферической системе координат для случая ϕ = ϕ(~r)

3.7.Выразить ∂x∂ , ∂y∂ , ∂z∂ в сферических координатах.

3.8.Доказать эквивалентность трех форм r2 ψ(r) в сферических координатах:

1 d

dψ

1 d2

d2ψ 2 dψ

rψ ,

dr2

4ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

4.1 Применение оператора ~ r

В предыдущих параграфах рассмотрены в основном операции дифференцирования первого порядка. Применяя эти операции вторично,

получим операции дифференцирования второго порядка:
~ ~	2	ϕ = 4ϕ,		(89)
r(rϕ) = div grad ϕ = r		ϕ = 4ϕ,		(89)
~	~
r(r · A) = grad div A,
~	~
r · [r × A] = div rot A ≡ 0,
~	~
[r × r ϕ] = rot grad ϕ ≡ 0,
~ ~	~ ~	2	2	A.
[r × [r × A]] = rot rot A = r · (r · A) − r			A = grad div A − r	A.

Вследствие линейности все рассмотренные операции для суммы функций применяются к каждому слагаемому отдельно:

~		~	~	(90)
r(ϕ + ψ) = grad (ϕ + ψ) = grad ϕ + grad ψ = rϕ + rψ,				(90)
~	~	~
r(A + B) = div A + div B = (r · A) + (r · B),
~		~	~
[r × (A + B)] = rot (A + B) = rot A + rot B = [r × A] + [r × B],
~ ~
r · (r · (A + B)) = grad div (A + B) = grad div A + grad div B =
~ ~	~ ~
= r · (r · A) + r · (r · B),

r2(ϕ + ψ) = 4(ϕ + ψ) = 4ϕ + 4ψ = r2ϕ + r2ψ

~ [~ (A + B)] = rot rot (A + B) = rot rot A + rot rot B = r × r ×

~ ~ ~ ~

= r × [r × A] + r × [r × B] .

Важное значение имеет применение дифференциальных операций к произведениям типа: ϕψ, ϕ A, (A · B), [A × B]. В этом случае необходимо применять данные операции отдельно к каждому сомножителю, считая другой сомножитель постоянным (это следует из определения операции дифференцирования). На первом этапе в учебных целях можно, например, птичкой ”˘a” указывать, на какой из сомножителей действует дифференциальная операция. Рассмотрим последовательно возможные дифференциальные операции от двух сомножителей:

	~	~	˘
grad (ϕ · ψ) = r(ϕ˘ · ψ) + r(ϕ · ψ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ, (91)
~	~		~	˘
div (ϕ · A) = r(ϕ	· A) = r(ϕ˘ · A) + r(ϕ · A) = A · grad ϕ + ϕ div A,
rot (ϕ · A) = r~ × (ϕ · A) = r~ × (ϕ˘ · A) + r~ × (ϕ · A˘ ) =
	= [grad ϕ × A] + ϕ rot A,
	~		~ ˘	~	˘
grad (A · B) = r(A		· B) = r(A · B) + r(A · B),
	~	~	˘	~	˘
div [A × B] = r · [A × B] = r · [A × B] + r ·					[A × B] =
	= B rot A − A rot B,

~ ~ ˘ ~ ˘

rot [A × B] = r × [A × B] = r × [A × B] + r × [A × B] =

= (B ~ ) A B div A + A div B (A ) B.

· r − − · r ·

Еще одним важным случаем, необходимым для приложений, является случай, когда функция ϕ или вектор A являются известными сложными функциями от r. Правила вычисления в этом случае могут быть получены

по определению:

grad ϕ τ(r)

∂ϕ

∂ϕ ∂τ

∂ϕ

(92)

= k=1

=1 ek

grad τ,

∂xk

∂τ ∂xk

∂τ

div A τ(r)

∂A

∂τ

∂A

∂τk

∂x

∂τ

· grad τ,

(93)

∂xk =

k=1

rot A τ(r) =

εijk

∂A

∂τ

∂A

∂xj ek

εijk

∂τj

∂x

− ∂τ × grad τ .

ijk=1

(94)

ПРИМЕР 4.1.

Получить

формулы

(92)-(94)

использованием

интегрального определения оператора r.

имеем:

По определению (20) для rϕ

V →0

grad ϕ = lim

ϕ dS.

(95)

В силу бесконечной малости V выразим ϕ на поверхности S через значение

ϕ в точке В, к которой стягивается в пределе объем V :

∂ϕ

(τ

− τB) + . . .

ϕ ≈ ϕB + ∂τ

Учитывая, что H

dS = 0 (см (100)) получим, оставляя члены одного порядка

малости:

grad ϕ = lim

∂ϕ

. . . d

∂ϕ

lim

τ dS =

∂ϕ

grad τ.

B+ ∂τ

S =

∂τ

→

−

B)+

→

∂τ

Аналогично для div A:

div A = lim

dS) = lim

∂A

(τ

) + . . . dS =

V I

∂τ

−

→

V IS

∂A

B·

∂A

∂τ

→

∂τ

τ dS =

grad τ

lim

Соответственно для rot A(r) находим:

rot A = [~

A] = lim

[dS

A] =

r ×

V →0

lim

A +

∂A

(τ

−

) + . . .

= V

→

∂τ

lim

τ d

∂A

∂τ

= V

→

0 IS

= grad

4.2 Интегральные теоремы векторного анализа

Важнейшими теоремами векторного анализа являются теоремы Остроградского - Гаусса (17) и Стокса (18), из которых можно установить большое число вспомогательных соотношений. Положим, например, в (17) b = ϕC, где C- постоянный вектор. В результате

Z Z I

div (ϕC) dV = grad ϕ · C dV = ϕ C · dS.

V V S

В силу того, что C = const, последнее соотношение можно переписать в виде:

C · grad ϕ dV − ϕ dS = 0 (96)

V S

В силу произвольности вектора C находим окончательно:

grad ϕ dV =	ϕ dS	(97)
V	S

Положим теперь в (17) b = [f × C], где C - произвольный постоянный вектор:

Z Z I I

div [f × C] dV = C · rot f dV = [f × C] · dS = C · [dS × f]. (98)

V V S S

Представляя (98) в виде, аналогичном (96) в силу произвольности C, находим:

Z I I

rot f dV = − [f × dS] = [dS × f]. (99)

V S S

Следствиями из формул (17), (97), (99) являются следующие утверждения:

1) если векторное поле таково, что div f = 0, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен 0;

2) если внутри области V div f = 0 всюду, кроме некоторой точки, (где div f либо 6= 0, либо не существует!), то поток вектора f не зависит от вида поверхности интегрирования и равен 0 для поверхностей, не содержащих внутри себя эту точку и одинаков для поверхностей, охватывающих эту точку;

3) полагая ϕ = const в (97), находим:

I	I	(100)
dS =	n dS = 0	(100)

4) если поле b таково, что rot b = 0, то из (99)

I	I	(101)
[b × dS] =	[b × n] dS = 0	(101)

На основании теоремы Стокса (18) можно получить формулы, связывающие характеристики поля на незамкнутой поверхности с характеристиками этого поля на контуре, служащем границей поверхности. Положив в (18) b = ϕC, где C = const, аналогично выводу формул (97) и (99), найдем:

Z Z I

[dS × grad ϕ] = [n × grad ϕ] dS = ϕ dl. (102)

S S

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Хасанов лекции

#
10.02.20151.27 Mб199Векторный анализ практика.pdf
#
10.02.2015164.28 Кб46Доп главы.pdf
#
10.02.2015143.5 Кб62Квазистационарное эм поле.pdf
#
10.02.2015347.56 Кб97Магн-статика практика.pdf
#
10.02.2015195.95 Кб51Магнитостатика.pdf
#
10.02.2015516.89 Кб113Основные уравнения электродинамики.pdf