

14
§7 Дифракция.
Электромагнитная волна, распространяясь в пространстве встречает различные препятствия, с которыми происходит ее взаимодействие. При различных соотношениях длины волны, геометрических размеров и форм препятствия взаимодействие может выразится в процессах отражения, преломления, прохождения, рассеяния, поглощения, огибания и т.д. В общем случае взаимодействие препятствия и электромагнитной волны состоит в рассеянии электромагнитной волны препятствием. Задачей теории дифракции является изучение явления огибания препятствий электромагнитными волнами и рассеяние волн на геометрических объектах (препятствиях).
Тождество Грина.
Для описания явления дифракции электромагнитного поля воспользуемся хорошо известным тождеством Грина (которое легко получить из теоремы Остроградского-Гаусса выбрав в качестве вектора интегрирования
~ |
~ |
|
|
|
|
вектор a = ϕrψ − ψrϕ) |
(ϕ ∂n |
− ψ ∂n ) ds. |
(33) |
||
|
VZ (ϕr2ψ − ψr2ϕ) dv = − IS |
||||
|
|
|
∂ψ |
∂ϕ |
|
Здесь ∂/∂n означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности S, ограничивающий объем V . Обычно теорема Грина формулируется для внешней нормали, но в теории дифракции удобнее рассматривать дифференцирование именно вдоль внутренней нормали. Функции ϕ и ψ в теореме Грина - произвольные дважды дифференцируемые функции. Пусть функция ϕ = ϕ(r, t) удовлетворяет волновому уравнению:
r2 |
1 ∂2ϕ(r, t) |
= −f(r, t). |
|
ϕ(r, t) − c2 ∂t2 |
(34) |
В качестве функции ψ выберем функцию Грина неоднородного волнового уравнения G(r, t; r0 , t0)
r2 − |
1 ∂2 |
G(r, t; r |
0 |
, t0) = −δ(r − r |
0 )δ(t − t0). |
(35) |
2 ∂t2 |
Функция Грина.
Как следует из уравнения (35) функция Грина волнового уравнения зависит только от разности координат r − r0 ≡ R и времени t − t 0 ≡ τ. Для нахождения явного вида функции Грина представим ее в виде интеграла Фурье:
Z
G(r, t; r0 , t0) = G(k, ω) eik·R−iωτ dk dω,
где G(k, ω) -Фурье образ функции Грина. Соответственно для дельта-функций Дирака имеем:
δ(r − r |
0 )δ(t − t0) = (2π)4 |
Z |
eik·R−iωτ dk dω. |
|
1 |
|
|
Подставляя данные выражения в (35), для G(k, ω) получим:
11
G(k, ω) = (2π)4 k2 − ω2/c2 .
В результате функция Грина волнового уравнения может быть представлена в виде:
G(r, t; r |
0 |
, t0) = |
|
c2 |
|
dk |
∞ |
dω |
exp(ik R − iωτ) |
. |
(36) |
|
− |
(2π)4 |
Z |
Z |
|
||||||
|
|
|
|
|
(ω − kc·)(ω + kc) |
|
−∞
Запаздывающая функция Грина.

15
à) |
á) |
Im |
Im |
=-kc |
|
Re |
=-kc |
|
Re |
= kc |
= kc |
Рис. 4:
Как видно данное решение является сингулярной функцией, так как при интегрировании по ω в точках ω = ±kc имеются два полюса. Правила обращения с сингулярными функциями не вытекают только из математических определений. В общей теории сингулярных функций, связанных с волновым уравнением имеется несколько определений типов решений для функции Грина. Один из типов таких решений приводит к определению функции Грина, которая генерирует запаздывающие решения неоднородного волнового уравнения, удовлетворяющая физическому принципу причинности. Принцип причинности требует, чтобы возмущение пришедшее в некоторую точку от источника возмущения приходило позднее, чем оно было создано в источнике. Такая функция Грина называется запаздывающей функцией Грина волнового уравнения Gret. Запаздывающая функция Грина определяется как решение, равное нулю при условии t − t 0 = τ < 0, то есть Gret(r, t < t 0 ; r0 , t 0 ) = 0. Для выполнения этого условия необходимо рассматривать интегрирование в (36) в комплексной плоскости ω. Учитывая, что знак мнимой экспоненты при ω отрицателен ясно, что для равенства нулю интеграла (36) при τ < 0 необходимо обойти полюса сверху и замкнуть контур интегрирования в верхней полуплоскости ω. При этом внутри контура полюсов нет и интеграл оказывается равным нулю (рис. 4.а).
При τ > 0 контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости и внутри контура оказываются два полюса (рис. 4.б). На основании теоремы о вычетах, интеграл в этом случае равен сумме вычетов в обоих полюсах, в результате:
|
|
(2π)3 |
Z |
|
k |
4π |
|
R |
|
|||
Gret(r, t; r |
0 |
, t0) = |
c |
|
eik·R sin(kcτ) |
dk |
= |
1 |
|
δ(τ − R/c) |
. |
(37) |
|
|
|
|
|
|
Здесь R = r − r0 , τ = t − t 0 > 0, а при τ < 0 Gret = 0.
Интеграл Кирхгофа.
Подставим выражения (34) и (35) в тождество Грина (33) и для сокращения записи условимся обозначать набор пространственных переменных и времени одним символом: r, t ≡ x, r0 , t 0 ≡ x 0 . В результате:
|
1 ∂2G(x, x |
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂2ϕ(x |
0 ) |
|
|
|
|||||||
VZ ϕ(x 0 ) −δ(x − x 0 ) + |
|
|
|
|
|
|
|
− G(x, x 0 ) −f(x 0 ) + |
|
|
|
|
dv |
0 |
= |
||||||
c2 |
|
∂t 0 2 |
|
c2 |
|
∂t 0 2 |
|
|
|||||||||||||
= − IS |
ϕ(x |
|
(x, x |
0 ) |
|
|
∂ϕ(x |
0 ) |
ds |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 ) |
∂G |
|
|
− G(x, x |
0 ) |
|
|
0 |
|
|
|
|
(38) |
||||||||
∂n 0 |
|
|
∂n 0 |
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем левую и правую части уравнения (38) по t0 от t0 до t1 > t, получим:
t1 |
0 ) |
|
|
1 ∂2ϕ(x |
0 ) |
||||||
|
1 ∂2G(x, x |
|
|
||||||||
tZ0 VZ ϕ(x 0 ) −δ(x − x 0 ) + |
|
|
|
|
|
− G(x, x 0 ) −f(x 0 ) + |
|
|
|
|
dv 0dt 0 = |
c2 |
∂t 0 2 |
|
c2 |
∂t 0 2 |
|

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
t1 |
|
ϕ(x |
|
(x, x 0 ) |
|
|
∂ϕ(x |
0 ) |
ds0dt0. |
|
|
= −tZ0 |
IS |
|
|
|
|
||||||
0 ) |
∂G |
|
− G(x, x |
0 ) |
|
|
(39) |
||||
∂n 0 |
∂n 0 |
|
Слагаемые, содержащие вторые производные по времени в (39) можно преобразовать тождественно следующим образом:
|
∂2G(x, x 0 ) |
|
|
|
|
2ϕ(x 0 ) |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂G(x, x |
0 ) |
|
|
∂ϕ(x |
0 ) |
|||||||||
ϕ(x 0 ) |
|
|
|
− G(x, x 0 ) |
∂ |
|
= |
|
|
|
ϕ(x 0 ) |
|
|
|
|
− G(x, x 0 ) |
|
|
|
|
||||||||||
∂t 0 2 |
|
|
|
∂t 0 2 |
|
∂t 0 |
|
∂t 0 |
|
|
|
∂t 0 |
|
|||||||||||||||||
Выполняя очевидные интегрирования в (39) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x, x 0 ) |
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
t1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ϕ(x) = Z Z |
G(x, x 0 )f(x 0 ) dv 0dt 0 + |
|
|
Z |
ϕ |
∂G( |
− G(x, x 0 ) |
|
t0 dv 0+ |
|||||||||||||||||||||
c2 |
∂t0 |
∂t0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
t0 V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
(x, x |
0 ) |
|
|
|
|
|
∂ϕ(x |
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+tZ0 |
IS |
ϕ(x 0 ) |
∂G |
|
|
|
− G(x, x 0 ) |
|
|
|
ds 0dt 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂n0 |
|
|
|
|
∂n0 |
|
|
|
|
|
|
|
Выберем в качестве функции Грина волнового уравнения запаздывающую функцию Грина. Так, как по определению в вычисленном интеграле по времени t1 > t, следовательно G = 0 и в полученном равенстве остаются только слагаемые на нижнем пределе интегрирования по времени во втором интеграле правой части равенства. В результате:
t1 |
|
|
|
1 |
|
Z G(x, x 0 ) |
|
|
|
|
|
∂G(x, x |
0 ) |
t 0 |
|
||
ϕ(r, t) = Z Z |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
||||||||
G(x, x 0 )f(x 0 ) dv 0dt 0 + |
|
|
|
|
− |
ϕ |
|
|
=t0 dv0+ |
||||||||
c2 |
∂t0 |
∂t0 |
|
||||||||||||||
t0 V |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
ϕ(x 0 ) |
∂G(x, x 0 ) |
∂ϕ(x |
0 ) |
ds0dt0. |
|
|
|
|||||||
|
+tZ0 |
IS |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
− G(x, x 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂n0 |
|
∂n0 |
|
|
|
|
|
Предположим, что внутри рассматриваемого объема нет источников (f = 0) и кроме того в начальный момент времени ϕ = 0 и ∂ϕ/∂t0 = 0, то есть все поле внутри объема создается за счет возмущения, образующегося на границе. В этом случае поле внутри объема будет определятся выражением:
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
∂Gret(r, t; r0 , t 0 ) |
|
|
|
|
r0 , t |
0 ) |
||||
ϕ(r, t) = tZ0 |
dt 0 |
IS |
ϕ(r |
0 |
, t |
0 ) |
|
|
|
− Gret(r, t; r |
0 |
, t |
0 ) |
∂ϕ( |
|
ds 0. |
||
|
|
∂n0 |
|
∂n0 |
|
|||||||||||||
В данном выражении |
∂ |
|
= n0 · grad 0 |
, где n0 |
— единичный вектор внутренней нормали к поверхности |
|||||||||||||
∂n 0 |
S. Подставим явное выражение запаздывающей функции Грина для волнового уравнения (37). Вычисление производной от Gret по направлению нормали приводит к следующему результату:
∂Gret(r, t; r0 , t |
0 ) |
|
0 |
|
|
|
0 |
ret |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
ret |
|||||
|
|
|
|
|
ds |
|
= grad G |
|
· |
n ds |
|
= grad |
G |
|
||||||||||
|
∂n 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
grad |
0 |
Gret = |
∂Gret |
grad |
0 |
R = |
− |
1 R ∂ |
|
δ(τ − R/c) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4π R ∂R |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||
|
|
|
−4π R "− |
|
|
R2 |
|
− |
˙ |
c R |
# |
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
1 R |
|
|
δ(τ − R/c) |
|
|
|
δ(τ |
− R/c) |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, при интегрировании по t0 получим:
· ds0 .
=
t1 |
dt0 |
ZS |
|
4π |
− |
|
0R− |
|
grad |
0 |
ϕ(r |
0 |
, t |
0 )+ |
||
ϕ(r, t) = tI0 |
t |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 δ(t |
|
|
R/c) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
+ϕ(r |
0 |
, t |
0 ) |
1 R |
− |
δ(t |
t0 |
R/c) |
|
|
δ(t |
t0 − R/c) |
|
ds 0. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4π R |
|
− R−2 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
И окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− cR |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
IS |
|
|
|
|
0 |
ϕ(r0 , t 0 ) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R ∂ϕ(r0 , t |
0 ) |
ds 0, |
|
||||||||
ϕ(r, t) = |
|
|
grad |
|
|
|
− |
|
ϕ(r |
0 |
, t |
0 ) − |
|
|
|
|
|
(40) |
||||||||||||
4π |
|
R |
|
|
R3 |
|
cR2 |
|
∂t 0 |
|
|
где t 0 ≡ t − R/c
Такой интеграл называется интегралом Кирхгофа. Функция ϕ(r, t), входящая в него, не является решением задачи на определение поля, потому что значения ϕ и ∂ϕ/∂n0 на поверхности S не произвольны, а находятся из решения краевой задачи. Однако, если они известны, то интеграл Кирхгофа дает выражение ϕ(r, t) в любой точке объема.
Если все величины поля зависят от времени периодически exp(iωt), то этот временной множитель в
интеграле Кирхгофа после подстановки |
t0 |
= t |
− |
R/c сократится и для величин, зависящих только от |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
координат, получим: |
e−R |
grad |
|
|
|
0 ) − R2 ϕ(r |
0 ) − ik R ϕ(r |
0 ) ds |
|
|
|
||||
ϕ(r) = 4π IS |
0 |
ϕ(r |
0 |
, |
(41) |
||||||||||
1 |
|
ikR |
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
где k = ω/, R = r − r0 .
Условие излучения.
Во многих случаях источник рассеянных электромагнитных волн находится в ограниченной области. Расходящаяся волна на больших расстояниях от области рассеяния имеет вид:
|
ϕ e−R |
, |
|
|
∂R −ϕ ik + R |
|
|
|
(42) |
|||||||||
|
|
|
|
ikR |
|
|
∂ϕ |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Требование такой зависимости называется условием излучения. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Замкнутую поверхность для монохроматического излучения в формуле |
|
|
|
|||||||||||||||
(41) выбирают с учетом особенностей рассматриваемой задачи. Чаще |
|
|
|
|||||||||||||||
всего рассматриваются задачи при наличии экрана с отверстиями или |
|
|
|
|||||||||||||||
рассеивающего предмета, т.е. можно считать, что поверхность S состоит |
|
|
|
|||||||||||||||
из двух частей. Область источника A от области наблюдения B отделена |
|
|
|
|||||||||||||||
поверхностью S1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отверстия в экране расположены в конечной части S1, и поэтому |
|
|
|
|||||||||||||||
можно считать, что от них распространяется расходящаяся волна в |
|
|
|
|||||||||||||||
области B, которая удовлетворяет условиям излучения. Т.е. при удалении |
|
|
|
|||||||||||||||
S2 на бесконечность интеграл (41) по ней равен нулю. Поэтому весь |
|
|
|
|||||||||||||||
интеграл сводится к интегралу по S1, т.е. к интегралу по отверстиям. |
|
|
|
|
||||||||||||||
В втором случае, при наличии рассеивающего предмета, интеграл по S2 |
|
|
|
|||||||||||||||
из-за условий излучения также стремится к нулю, и остается лишь часть |
|
|
|
|||||||||||||||
по S1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому выражение для монохроматического излучения (41) можно |
|
|
|
|||||||||||||||
переписать в виде: |
|
−R |
|
|
R ϕ ik + |
R − grad |
0 ϕ ds |
0 |
, |
Рис. 5: |
||||||||
ϕ(r) = 4π I |
|
|
|
(43) |
||||||||||||||
1 |
|
e |
ikR |
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем ds считается направленным в область B (изменены знак и направление нормали).
Приближение Кирхгофа.