Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Хасанов лекции / Электромагнитные волны.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

297.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

§7 Дифракция.

Электромагнитная волна, распространяясь в пространстве встречает различные препятствия, с которыми происходит ее взаимодействие. При различных соотношениях длины волны, геометрических размеров и форм препятствия взаимодействие может выразится в процессах отражения, преломления, прохождения, рассеяния, поглощения, огибания и т.д. В общем случае взаимодействие препятствия и электромагнитной волны состоит в рассеянии электромагнитной волны препятствием. Задачей теории дифракции является изучение явления огибания препятствий электромагнитными волнами и рассеяние волн на геометрических объектах (препятствиях).

Тождество Грина.

Для описания явления дифракции электромагнитного поля воспользуемся хорошо известным тождеством Грина (которое легко получить из теоремы Остроградского-Гаусса выбрав в качестве вектора интегрирования

~	~
вектор a = ϕrψ − ψrϕ)		(ϕ ∂n		− ψ ∂n ) ds.	(33)
	VZ (ϕr2ψ − ψr2ϕ) dv = − IS	(ϕ ∂n		− ψ ∂n ) ds.	(33)
			∂ψ	∂ϕ

Здесь ∂/∂n означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности S, ограничивающий объем V . Обычно теорема Грина формулируется для внешней нормали, но в теории дифракции удобнее рассматривать дифференцирование именно вдоль внутренней нормали. Функции ϕ и ψ в теореме Грина - произвольные дважды дифференцируемые функции. Пусть функция ϕ = ϕ(r, t) удовлетворяет волновому уравнению:

r2	1 ∂2ϕ(r, t)	= −f(r, t).
	ϕ(r, t) − c2 ∂t2		(34)

В качестве функции ψ выберем функцию Грина неоднородного волнового уравнения G(r, t; r0 , t0)

r2 −	1 ∂2	G(r, t; r	0	, t0) = −δ(r − r	0 )δ(t − t0).	(35)
	2 ∂t2

Функция Грина.

Как следует из уравнения (35) функция Грина волнового уравнения зависит только от разности координат r − r0 ≡ R и времени t − t 0 ≡ τ. Для нахождения явного вида функции Грина представим ее в виде интеграла Фурье:

G(r, t; r0 , t0) = G(k, ω) eik·R−iωτ dk dω,

где G(k, ω) -Фурье образ функции Грина. Соответственно для дельта-функций Дирака имеем:

δ(r − r	0 )δ(t − t0) = (2π)4	Z	eik·R−iωτ dk dω.
	1

Подставляя данные выражения в (35), для G(k, ω) получим:

G(k, ω) = (2π)4 k2 − ω2/c2 .

В результате функция Грина волнового уравнения может быть представлена в виде:

G(r, t; r	0	, t0) =		c2		dk	∞	dω	exp(ik R − iωτ)	.	(36)
			−	(2π)4	Z		Z
									(ω − kc·)(ω + kc)

−∞

Запаздывающая функция Грина.

à)	á)
Im	Im

=-kc		Re	=-kc		Re
		= kc			= kc

Рис. 4:

Как видно данное решение является сингулярной функцией, так как при интегрировании по ω в точках ω = ±kc имеются два полюса. Правила обращения с сингулярными функциями не вытекают только из математических определений. В общей теории сингулярных функций, связанных с волновым уравнением имеется несколько определений типов решений для функции Грина. Один из типов таких решений приводит к определению функции Грина, которая генерирует запаздывающие решения неоднородного волнового уравнения, удовлетворяющая физическому принципу причинности. Принцип причинности требует, чтобы возмущение пришедшее в некоторую точку от источника возмущения приходило позднее, чем оно было создано в источнике. Такая функция Грина называется запаздывающей функцией Грина волнового уравнения Gret. Запаздывающая функция Грина определяется как решение, равное нулю при условии t − t 0 = τ < 0, то есть Gret(r, t < t 0 ; r0 , t 0 ) = 0. Для выполнения этого условия необходимо рассматривать интегрирование в (36) в комплексной плоскости ω. Учитывая, что знак мнимой экспоненты при ω отрицателен ясно, что для равенства нулю интеграла (36) при τ < 0 необходимо обойти полюса сверху и замкнуть контур интегрирования в верхней полуплоскости ω. При этом внутри контура полюсов нет и интеграл оказывается равным нулю (рис. 4.а).

При τ > 0 контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости и внутри контура оказываются два полюса (рис. 4.б). На основании теоремы о вычетах, интеграл в этом случае равен сумме вычетов в обоих полюсах, в результате:

(2π)3

4π

Gret(r, t; r

, t0) =

eik·R sin(kcτ)

δ(τ − R/c)

(37)

Здесь R = r − r0 , τ = t − t 0 > 0, а при τ < 0 Gret = 0.

Интеграл Кирхгофа.

Подставим выражения (34) и (35) в тождество Грина (33) и для сокращения записи условимся обозначать набор пространственных переменных и времени одним символом: r, t ≡ x, r0 , t 0 ≡ x 0 . В результате:

1 ∂2G(x, x

0 )

1 ∂2ϕ(x

0 )

VZ ϕ(x 0 ) −δ(x − x 0 ) +

− G(x, x 0 ) −f(x 0 ) +

∂t 0 2

= − IS

ϕ(x

(x, x

0 )

∂ϕ(x

0 )

∂G

− G(x, x

0 )

(38)

∂n 0

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (38) по t0 от t0 до t1 > t, получим:

t1			0 )		1 ∂2ϕ(x		0 )
	1 ∂2G(x, x
tZ0 VZ ϕ(x 0 ) −δ(x − x 0 ) +				− G(x, x 0 ) −f(x 0 ) +				dv 0dt 0 =
	c2	∂t 0 2			c2	∂t 0 2

										16
t1		ϕ(x		(x, x 0 )			∂ϕ(x	0 )	ds0dt0.
= −tZ0	IS
			0 )	∂G	− G(x, x	0 )				(39)
				∂n 0			∂n 0

Слагаемые, содержащие вторые производные по времени в (39) можно преобразовать тождественно следующим образом:

∂2G(x, x 0 )

2ϕ(x 0 )

∂

∂G(x, x

0 )

∂ϕ(x

0 )

ϕ(x 0 )

− G(x, x 0 )

∂

ϕ(x 0 )

− G(x, x 0 )

∂t 0 2

∂t 0

Выполняя очевидные интегрирования в (39) получим:

x, x 0 )

∂ϕ

ϕ(x) = Z Z

G(x, x 0 )f(x 0 ) dv 0dt 0 +

∂G(

− G(x, x 0 )

t0 dv 0+

∂t0

t0 V

(x, x

0 )

∂ϕ(x

0 )

+tZ0

ϕ(x 0 )

∂G

− G(x, x 0 )

ds 0dt 0.

∂n0

Выберем в качестве функции Грина волнового уравнения запаздывающую функцию Грина. Так, как по определению в вычисленном интеграле по времени t1 > t, следовательно G = 0 и в полученном равенстве остаются только слагаемые на нижнем пределе интегрирования по времени во втором интеграле правой части равенства. В результате:

Z G(x, x 0 )

∂G(x, x

0 )

t 0

ϕ(r, t) = Z Z

∂ϕ

G(x, x 0 )f(x 0 ) dv 0dt 0 +

−

=t0 dv0+

∂t0

t0 V

ϕ(x 0 )

∂G(x, x 0 )

∂ϕ(x

0 )

ds0dt0.

+tZ0

− G(x, x 0 )

∂n0

Предположим, что внутри рассматриваемого объема нет источников (f = 0) и кроме того в начальный момент времени ϕ = 0 и ∂ϕ/∂t0 = 0, то есть все поле внутри объема создается за счет возмущения, образующегося на границе. В этом случае поле внутри объема будет определятся выражением:

∂Gret(r, t; r0 , t 0 )

r0 , t

0 )

ϕ(r, t) = tZ0

dt 0

ϕ(r

, t

0 )

− Gret(r, t; r

, t

0 )

∂ϕ(

ds 0.

∂n0

В данном выражении

∂

= n0 · grad 0

, где n0

— единичный вектор внутренней нормали к поверхности

∂n 0

S. Подставим явное выражение запаздывающей функции Грина для волнового уравнения (37). Вычисление производной от Gret по направлению нормали приводит к следующему результату:

∂Gret(r, t; r0 , t

0 )

ret

= grad G

n ds

= grad

∂n 0

grad

Gret =

∂Gret

grad

R =

−

1 R ∂

δ(τ − R/c)

4π R ∂R

∂R

−4π R "−

−

c R

1 R

δ(τ − R/c)

δ(τ

− R/c)

Следовательно, при интегрировании по t0 получим:

· ds0 .

dt0

4π

−

0R−

grad

ϕ(r

, t

0 )+

ϕ(r, t) = tI0

1 δ(t

R/c)

+ϕ(r

, t

0 )

1 R

−

δ(t

R/c)

δ(t

t0 − R/c)

ds 0.

4π R

− R−2

−

И окончательно:

− cR

ϕ(r0 , t 0 )

R ∂ϕ(r0 , t

0 )

ds 0,

ϕ(r, t) =

grad

−

ϕ(r

, t

0 ) −

(40)

4π

cR2

∂t 0

где t 0 ≡ t − R/c

Такой интеграл называется интегралом Кирхгофа. Функция ϕ(r, t), входящая в него, не является решением задачи на определение поля, потому что значения ϕ и ∂ϕ/∂n0 на поверхности S не произвольны, а находятся из решения краевой задачи. Однако, если они известны, то интеграл Кирхгофа дает выражение ϕ(r, t) в любой точке объема.

Если все величины поля зависят от времени периодически exp(iωt), то этот временной множитель в

интеграле Кирхгофа после подстановки

= t

−

R/c сократится и для величин, зависящих только от

координат, получим:

e−R

grad

0 ) − R2 ϕ(r

0 ) − ik R ϕ(r

0 ) ds

ϕ(r) = 4π IS

ϕ(r

(41)

ikR

где k = ω/, R = r − r0 .

Условие излучения.

Во многих случаях источник рассеянных электромагнитных волн находится в ограниченной области. Расходящаяся волна на больших расстояниях от области рассеяния имеет вид:

ϕ e−R

∂R −ϕ ik + R

(42)

ikR

∂ϕ

Требование такой зависимости называется условием излучения.

Замкнутую поверхность для монохроматического излучения в формуле

(41) выбирают с учетом особенностей рассматриваемой задачи. Чаще

всего рассматриваются задачи при наличии экрана с отверстиями или

рассеивающего предмета, т.е. можно считать, что поверхность S состоит

из двух частей. Область источника A от области наблюдения B отделена

поверхностью S1.

Отверстия в экране расположены в конечной части S1, и поэтому

можно считать, что от них распространяется расходящаяся волна в

области B, которая удовлетворяет условиям излучения. Т.е. при удалении

S2 на бесконечность интеграл (41) по ней равен нулю. Поэтому весь

интеграл сводится к интегралу по S1, т.е. к интегралу по отверстиям.

В втором случае, при наличии рассеивающего предмета, интеграл по S2

из-за условий излучения также стремится к нулю, и остается лишь часть

по S1.

Поэтому выражение для монохроматического излучения (41) можно

переписать в виде:

−R

R ϕ ik +

R − grad

0 ϕ ds

Рис. 5:

ϕ(r) = 4π I

(43)

ikR

причем ds считается направленным в область B (изменены знак и направление нормали).

Приближение Кирхгофа.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Хасанов лекции

#
10.02.2015447.27 Кб71СТО практика.pdf
#
10.02.2015299.63 Кб76СТО.pdf
#
10.02.2015362.02 Кб112Теория излучения практика.pdf
#
10.02.2015280.01 Кб92Теория излучения.pdf
#
10.02.2015647.7 Кб278Эл-статика практика.pdf
#
10.02.2015297.13 Кб72Электромагнитные волны.pdf
#
10.02.2015351.59 Кб92Электростатика.pdf