Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Хасанов лекции / Электромагнитные волны.pdf
Скачиваний:
72
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
297.13 Кб
Скачать

14

§7 Дифракция.

Электромагнитная волна, распространяясь в пространстве встречает различные препятствия, с которыми происходит ее взаимодействие. При различных соотношениях длины волны, геометрических размеров и форм препятствия взаимодействие может выразится в процессах отражения, преломления, прохождения, рассеяния, поглощения, огибания и т.д. В общем случае взаимодействие препятствия и электромагнитной волны состоит в рассеянии электромагнитной волны препятствием. Задачей теории дифракции является изучение явления огибания препятствий электромагнитными волнами и рассеяние волн на геометрических объектах (препятствиях).

Тождество Грина.

Для описания явления дифракции электромагнитного поля воспользуемся хорошо известным тождеством Грина (которое легко получить из теоремы Остроградского-Гаусса выбрав в качестве вектора интегрирования

~

~

 

 

 

 

вектор a = ϕrψ − ψrϕ)

∂n

− ψ ∂n ) ds.

(33)

 

VZ (ϕr2ψ − ψr2ϕ) dv = − IS

 

 

 

∂ψ

∂ϕ

 

Здесь ∂/∂n означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности S, ограничивающий объем V . Обычно теорема Грина формулируется для внешней нормали, но в теории дифракции удобнее рассматривать дифференцирование именно вдоль внутренней нормали. Функции ϕ и ψ в теореме Грина - произвольные дважды дифференцируемые функции. Пусть функция ϕ = ϕ(r, t) удовлетворяет волновому уравнению:

r2

1 ∂2ϕ(r, t)

= −f(r, t).

 

ϕ(r, t) − c2 ∂t2

(34)

В качестве функции ψ выберем функцию Грина неоднородного волнового уравнения G(r, t; r0 , t0)

r2

1 ∂2

G(r, t; r

0

, t0) = −δ(r − r

0 )δ(t − t0).

(35)

2 ∂t2

Функция Грина.

Как следует из уравнения (35) функция Грина волнового уравнения зависит только от разности координат r − r0 ≡ R и времени t − t 0 ≡ τ. Для нахождения явного вида функции Грина представим ее в виде интеграла Фурье:

Z

G(r, t; r0 , t0) = G(k, ω) eik·R−iωτ dk dω,

где G(k, ω) -Фурье образ функции Грина. Соответственно для дельта-функций Дирака имеем:

δ(r − r

0 )δ(t − t0) = (2π)4

Z

eik·R−iωτ dk dω.

 

1

 

 

Подставляя данные выражения в (35), для G(k, ω) получим:

11

G(k, ω) = (2π)4 k2 − ω2/c2 .

В результате функция Грина волнового уравнения может быть представлена в виде:

G(r, t; r

0

, t0) =

 

c2

 

dk

exp(ik R − iωτ)

.

(36)

 

(2π)4

Z

Z

 

 

 

 

 

 

(ω − kc·)(ω + kc)

 

−∞

Запаздывающая функция Грина.

15

à)

á)

Im

Im

=-kc

 

Re

=-kc

 

Re

= kc

= kc

Рис. 4:

Как видно данное решение является сингулярной функцией, так как при интегрировании по ω в точках ω = ±kc имеются два полюса. Правила обращения с сингулярными функциями не вытекают только из математических определений. В общей теории сингулярных функций, связанных с волновым уравнением имеется несколько определений типов решений для функции Грина. Один из типов таких решений приводит к определению функции Грина, которая генерирует запаздывающие решения неоднородного волнового уравнения, удовлетворяющая физическому принципу причинности. Принцип причинности требует, чтобы возмущение пришедшее в некоторую точку от источника возмущения приходило позднее, чем оно было создано в источнике. Такая функция Грина называется запаздывающей функцией Грина волнового уравнения Gret. Запаздывающая функция Грина определяется как решение, равное нулю при условии t − t 0 = τ < 0, то есть Gret(r, t < t 0 ; r0 , t 0 ) = 0. Для выполнения этого условия необходимо рассматривать интегрирование в (36) в комплексной плоскости ω. Учитывая, что знак мнимой экспоненты при ω отрицателен ясно, что для равенства нулю интеграла (36) при τ < 0 необходимо обойти полюса сверху и замкнуть контур интегрирования в верхней полуплоскости ω. При этом внутри контура полюсов нет и интеграл оказывается равным нулю (рис. 4.а).

При τ > 0 контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости и внутри контура оказываются два полюса (рис. 4.б). На основании теоремы о вычетах, интеграл в этом случае равен сумме вычетов в обоих полюсах, в результате:

 

 

(2π)3

Z

 

k

 

R

 

Gret(r, t; r

0

, t0) =

c

 

eik·R sin(kcτ)

dk

=

1

 

δ(τ − R/c)

.

(37)

 

 

 

 

 

 

Здесь R = r − r0 , τ = t − t 0 > 0, а при τ < 0 Gret = 0.

Интеграл Кирхгофа.

Подставим выражения (34) и (35) в тождество Грина (33) и для сокращения записи условимся обозначать набор пространственных переменных и времени одним символом: r, t ≡ x, r0 , t 0 ≡ x 0 . В результате:

 

1 ∂2G(x, x

0 )

 

 

 

 

 

 

 

1 ∂2ϕ(x

0 )

 

 

 

VZ ϕ(x 0 ) −δ(x − x 0 ) +

 

 

 

 

 

 

 

− G(x, x 0 ) −f(x 0 ) +

 

 

 

 

dv

0

=

c2

 

∂t 0 2

 

c2

 

∂t 0 2

 

 

= − IS

ϕ(x

 

(x, x

0 )

 

 

∂ϕ(x

0 )

ds

 

 

 

 

 

 

0 )

∂G

 

 

− G(x, x

0 )

 

 

0

 

 

 

 

(38)

∂n 0

 

 

∂n 0

 

 

 

 

 

 

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (38) по t0 от t0 до t1 > t, получим:

t1

0 )

 

 

1 ∂2ϕ(x

0 )

 

1 ∂2G(x, x

 

 

tZ0 VZ ϕ(x 0 ) −δ(x − x 0 ) +

 

 

 

 

 

− G(x, x 0 ) −f(x 0 ) +

 

 

 

 

dv 0dt 0 =

c2

∂t 0 2

 

c2

∂t 0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

t1

 

ϕ(x

 

(x, x 0 )

 

 

∂ϕ(x

0 )

ds0dt0.

 

= −tZ0

IS

 

 

 

 

0 )

∂G

 

− G(x, x

0 )

 

 

(39)

∂n 0

∂n 0

 

Слагаемые, содержащие вторые производные по времени в (39) можно преобразовать тождественно следующим образом:

 

2G(x, x 0 )

 

 

 

 

2ϕ(x 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

∂G(x, x

0 )

 

 

∂ϕ(x

0 )

ϕ(x 0 )

 

 

 

− G(x, x 0 )

 

=

 

 

 

ϕ(x 0 )

 

 

 

 

− G(x, x 0 )

 

 

 

 

∂t 0 2

 

 

 

∂t 0 2

 

∂t 0

 

∂t 0

 

 

 

∂t 0

 

Выполняя очевидные интегрирования в (39) получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x, x 0 )

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(x) = Z Z

G(x, x 0 )f(x 0 ) dv 0dt 0 +

 

 

Z

ϕ

∂G(

− G(x, x 0 )

 

t0 dv 0+

c2

∂t0

∂t0

 

t0 V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

(x, x

0 )

 

 

 

 

 

∂ϕ(x

0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+tZ0

IS

ϕ(x 0 )

∂G

 

 

 

− G(x, x 0 )

 

 

 

ds 0dt 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n0

 

 

 

 

∂n0

 

 

 

 

 

 

 

Выберем в качестве функции Грина волнового уравнения запаздывающую функцию Грина. Так, как по определению в вычисленном интеграле по времени t1 > t, следовательно G = 0 и в полученном равенстве остаются только слагаемые на нижнем пределе интегрирования по времени во втором интеграле правой части равенства. В результате:

t1

 

 

 

1

 

Z G(x, x 0 )

 

 

 

 

 

∂G(x, x

0 )

t 0

 

ϕ(r, t) = Z Z

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

G(x, x 0 )f(x 0 ) dv 0dt 0 +

 

 

 

 

ϕ

 

 

=t0 dv0+

c2

∂t0

∂t0

 

t0 V

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

ϕ(x 0 )

∂G(x, x 0 )

∂ϕ(x

0 )

ds0dt0.

 

 

 

 

+tZ0

IS

 

 

 

 

 

 

− G(x, x 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n0

 

∂n0

 

 

 

 

 

Предположим, что внутри рассматриваемого объема нет источников (f = 0) и кроме того в начальный момент времени ϕ = 0 и ∂ϕ/∂t0 = 0, то есть все поле внутри объема создается за счет возмущения, образующегося на границе. В этом случае поле внутри объема будет определятся выражением:

 

t1

 

 

 

 

 

 

∂Gret(r, t; r0 , t 0 )

 

 

 

 

r0 , t

0 )

ϕ(r, t) = tZ0

dt 0

IS

ϕ(r

0

, t

0 )

 

 

 

− Gret(r, t; r

0

, t

0 )

∂ϕ(

 

ds 0.

 

 

∂n0

 

∂n0

 

В данном выражении

 

= n0 · grad 0

, где n0

— единичный вектор внутренней нормали к поверхности

∂n 0

S. Подставим явное выражение запаздывающей функции Грина для волнового уравнения (37). Вычисление производной от Gret по направлению нормали приводит к следующему результату:

∂Gret(r, t; r0 , t

0 )

 

0

 

 

 

0

ret

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

ret

 

 

 

 

 

ds

 

= grad G

 

·

n ds

 

= grad

G

 

 

∂n 0

 

 

 

 

 

 

grad

0

Gret =

∂Gret

grad

0

R =

1 R ∂

 

δ(τ − R/c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π R ∂R

 

 

 

 

 

 

 

∂R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

4π R "

 

 

R2

 

˙

c R

#

 

 

 

 

=

 

 

1 R

 

 

δ(τ − R/c)

 

 

 

δ(τ

− R/c)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, при интегрировании по t0 получим:

· ds0 .

=

t1

dt0

ZS

 

 

0R

 

grad

0

ϕ(r

0

, t

0 )+

ϕ(r, t) = tI0

t

 

 

 

 

 

1 δ(t

 

 

R/c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

+ϕ(r

0

, t

0 )

1 R

δ(t

t0

R/c)

 

 

δ(t

t0 − R/c)

 

ds 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π R

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

И окончательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

IS

 

 

 

 

0

ϕ(r0 , t 0 )

 

R

 

 

 

 

 

 

 

R ∂ϕ(r0 , t

0 )

ds 0,

 

ϕ(r, t) =

 

 

grad

 

 

 

 

ϕ(r

0

, t

0 ) −

 

 

 

 

 

(40)

 

R

 

 

R3

 

cR2

 

∂t 0

 

 

где t 0 ≡ t − R/c

Такой интеграл называется интегралом Кирхгофа. Функция ϕ(r, t), входящая в него, не является решением задачи на определение поля, потому что значения ϕ и ∂ϕ/∂n0 на поверхности S не произвольны, а находятся из решения краевой задачи. Однако, если они известны, то интеграл Кирхгофа дает выражение ϕ(r, t) в любой точке объема.

Если все величины поля зависят от времени периодически exp(iωt), то этот временной множитель в

интеграле Кирхгофа после подстановки

t0

= t

R/c сократится и для величин, зависящих только от

 

координат, получим:

eR

grad

 

 

 

0 ) − R2 ϕ(r

0 ) − ik R ϕ(r

0 ) ds

 

 

 

ϕ(r) = IS

0

ϕ(r

0

,

(41)

1

 

ikR

 

 

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

где k = ω/, R = r − r0 .

Условие излучения.

Во многих случаях источник рассеянных электромагнитных волн находится в ограниченной области. Расходящаяся волна на больших расстояниях от области рассеяния имеет вид:

 

ϕ eR

,

 

 

∂R −ϕ ik + R

 

 

 

(42)

 

 

 

 

ikR

 

 

∂ϕ

1

 

 

 

 

 

Требование такой зависимости называется условием излучения.

 

 

 

 

Замкнутую поверхность для монохроматического излучения в формуле

 

 

 

(41) выбирают с учетом особенностей рассматриваемой задачи. Чаще

 

 

 

всего рассматриваются задачи при наличии экрана с отверстиями или

 

 

 

рассеивающего предмета, т.е. можно считать, что поверхность S состоит

 

 

 

из двух частей. Область источника A от области наблюдения B отделена

 

 

 

поверхностью S1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отверстия в экране расположены в конечной части S1, и поэтому

 

 

 

можно считать, что от них распространяется расходящаяся волна в

 

 

 

области B, которая удовлетворяет условиям излучения. Т.е. при удалении

 

 

 

S2 на бесконечность интеграл (41) по ней равен нулю. Поэтому весь

 

 

 

интеграл сводится к интегралу по S1, т.е. к интегралу по отверстиям.

 

 

 

 

В втором случае, при наличии рассеивающего предмета, интеграл по S2

 

 

 

из-за условий излучения также стремится к нулю, и остается лишь часть

 

 

 

по S1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому выражение для монохроматического излучения (41) можно

 

 

 

переписать в виде:

 

R

 

 

R ϕ ik +

R − grad

0 ϕ ds

0

,

Рис. 5:

ϕ(r) = I

 

 

 

(43)

1

 

e

ikR

 

R

1

 

 

 

 

 

 

 

 

S1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем ds считается направленным в область B (изменены знак и направление нормали).

Приближение Кирхгофа.

Соседние файлы в папке Хасанов лекции