1

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.1

Общие формулы электростатики

Закон (определение)

Формулы

1. Система уравнений

Максвелла

~

~

~

~

~

(1)

div D = 4πρ; rot E = 0; D = E + 4πP

(дифференциальная

~

- объемная плотность

форма)

D - вектор индукции; ρ

~

~

- дипольный

заряда; E - напряженность поля; P

момент единицы объема.

~

~

В случае однородной, изотропной среды D = εE,

ε - диэлектрическая проницаемость среды

2. Интегральная

I

D~ · d~S = 4πQ = 4π Z

(2)

форма записи системы

ρ dV

Максвелла

I

E~ · d~l = 0

(3)

3. Скалярный

E~ = −grad ϕ;

ϕ(2) − ϕ(1) = − Z12

E~ · d~l

(4)

потенциал ϕ

4. Полный

заряд

В случае объемно - распределенного заряда в

системы Q

системе Q

=

R

ρ dV .

Для

поверхностно

-

распределенного заряда Q = R

σ dS. Для линейно

- распределенного заряда Q = R

τ dl.

ρ, σ, τ - объемная, поверхностная и линейная

плотность заряда.

5. Дифференциальное

1

уравнение

для

заряженный объем: r2ϕ(~r) = −4π

ρ(~r)

(5)

ε

1

ZV

ρ ~ 0

определения

ϕ и

ϕ(~r ) =

(r )

dV 0

(6)

ε

~r

~r 0

|

частное

решение

заряженнная поверхность:

|

−

неоднородного

1

ZS

σ ~

0

уравнения Пуассона

ϕ(~r) =

(r )

dS0

(7)

ε

~r

~r 0

|

заряженная линия:

ZL

|

−

0

1

τ ~

ϕ(~r) =

(r )

dl0

(8)

ε

~r

~r 0

|

−

|

2

Закон (определение)

Формула

6. Вектор

Герца

~

(9)

электрического

типа

~

ϕ = −div Πe;

~

Π~ e

~

~

E = grad div Πe

= −4πP + rot rot Πe

7. Дифференциальное

P~ (~r 0)

~

Π~ e(~r) = Z

уравнение для Πe

r2

Π~ e = −4πP~ ;

dV 0

(10)

~r

−

~r 0

|

|

8. Поверхностные

D2n − D1n = 4πσ;

E2τ = E1τ

(11)

уравнения

ε2E2n − ε1E1n = 4πσ; D2τ /ε2 = D1τ /ε1

ε2

∂ϕ

!

−

ε1

∂ϕ

!

=

4πσ;

ϕ1 = ϕ2

(12)

∂n

2

∂n

1

−

поверхностный интеграл, определяющий поток вектора

~

D. Если имеется

˜

~

~ ~

поверхность S, на которой выполняются соотношения dS k

D и |D| = const,

˜

имеет вид:

то поток вектора через S

I

D~ · d~S = DnS.˜

(13)

находится модуль вектора

~

~

совпадает с

D. Направление вектора

D

˜

в (13) сферу радиуса r, получим:

с этим, если выбрать в качестве S

I

D~ · d~S 4πr2E(r).

(14)

По условию теоремы Гаусса (2) поток

вектора равен 4π ×

, т.е.

~

q

~r

(15)

E =

·

.

r2

r

q

q

∞

q

ϕ(∞) − ϕ(r) = − Zr∞ E~

· d~l = − Zr∞

dr0

=

r

= −

.

(16)

r

2

r

0

r

0

ϕ(r) =

q

.

(17)

r

Пример 1.2.2 Найти напряженность поля

~

и скалярный

E

~

сфере постоянного радиуса величина напряженности постоянна, т.е. E =

E(r)~r/r. То, что

~

k

~r, ясно из следующих рассуждений. Выделим в

E

шаре бесконечно малый объем (т. A). Поле, создаваемое A в P , обозначим

E~ A. Поле, создаваемое т. A0, симметричной относительно OP , обозначим

~

|

~

|

|

~

|

EA0 . Очевидно, что

EA

=

EA0 . Следовательно, результирующий вектор

результате по теореме Гаусса находим (для цилиндра высоты H):

8π2

4π

E1(r)2πrH =

Harn+1;

E1 =

arn;

r

≤ R

n + 1

n + 1

8π2

4π

Rn+1

E2(r)2πrH =

Harn+1;

E2 =

a

;

r ≥ R

n + 1

n + 1

r

Для скалярного потенциала получаем на основании (4) в случае r < R:

ϕ1 =

R E1(x)dx+

∞ E2(x)dx =

4πa

Rn+1 − rn+1

+ Rn+1

(ln

∞ −

ln R)

;

n + 1

Zr

ZR

n + 1

Соответственно для случая r ≥ R

ϕ2 = Zr∞ E2(x)dx =

4π

a Rn+1 [ln ∞ − ln r] .

n + 1

~

постоянной, и данный член не изменяет величины E.

Пример

1.2.4.

Найти

напряженность поля

~

в любой

E

точке

пространства,

создаваемую

бесконечной пластиной, заряженной

с

поверхностной

плотностью

σ = const.

Из

условия

симметрии

следует, что

~

~

E = iE(x). Если использовать теорему

Гаусса

для

цилиндра

произвольной

Рис. 3:

высоты, ось которого параллельна оси

x,

то для цилиндра не

пересекающего

~

~n. Таким образом,

~

const. Если же расположить

0, так как E

E =

цилиндр так,

чтобы он

пересекал

заряженную плоскость, получим:

S(E1 + E2)

= 4πσS. А

так как

E1 =

E2, находим окончательно:

~

~

E = 2πσsign (x)i.