Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Хасанов лекции / СТО практика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

447.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

3РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

3.14-х мерные обозначения

Использование 4-х мерных обозначений в электродинамике приводит к


определениям следующих важнейших 4-векторов: 4-ток j ≡			~
определениям следующих важнейших 4-векторов: 4-ток j ≡			(cρ, j) и 4-
потенциал A ≡	~	- объемная плотность
потенциал A ≡	(ϕ, A). В определении 4-тока ρ	- объемная плотность

~	- плотность тока, c - скорость света, а в определении 4-потенциала
заряда, j

- скалярный, ~ - векторный потенциалы.

ϕ A

Компоненты напряженностей полей образуют тензор электромагнитного поля, ковариантные компоненты которого определяются равенством:

def	∂Aβ		∂Aα		(3.1)
Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα =		−		.
	∂xα		∂xβ

Явная запись коили контравариантного тензора электромагнитного поля может быть представлена в виде матриц:

αβ

−Ex

−Ey

−Ez

Fαβ =

−

. (3.2)

−

На основании

введенных 4-х мерных

обозначений

систему

уравнений

Максвелла в вакууме можно записать либо через 4-ток и 4-потенциал:

Aα

4π

= −

jα,

(3.3)

либо через тензор электромагнитного поля (β, λ, µ, ν 0, 1, 2, 3):

∂αF αβ = 4πjβ,

∂λFµν + ∂µFνλ + ∂νFλµ = 0.

(3.4)

α=0

Пример 3.1. Доказать, что 4-ток j - есть 4-вектор.

Закон сохранения заряда в дифференциальной форме с учетом определений ∂µ и jµ имеет вид: (∂ · j) = 0. Так как ∂ - 4-вектор, данное равенство есть скалярное произведение 4-вектора ∂ на 4-вектор ч. т. д., т. е. j - 4-вектор,и таким образом при преобразованиях Лоренца компоненты этого вектора преобразуются в соответствии:

3
X	µ	j 0 λ.
jµ = γ	µ	j 0 λ.	(3.5)
	λ

λ=0

Пример 3.2. Шар радиуса R заряжен равномерно по объему в собственной системе отсчета до заряда Q. Какова плотность заряда шара, измеренная наблюдателем, относительно которого

шар движется со скоростью v.
Из (3.5) находим: j 0 =			3	γ0	j 0 λ; т.е. ρ = ρ 0 (v) = Q (v)/(4πR3	/3).
Пример 3.3.			λ=0	λ
Пример 3.3.	Доказать,	что 4-потенциал A есть 4-вектор.
	Доказать,	P

Используя определения 4-тока и 4-потенциала, систему уравненений Максвелла запишем в виде (3.3). Так как - инвариант, A - 4-вектор.

Пример 3.4. Найти электромагнитные потенциалы ϕ и A точечного

заряда e движущегося со скоростью ~v = const.

S’

системе

S 0 ,

связанной

с зарядом,

потенциалы

ϕ0

e/r 0 ;

A~ 0

= 0.

Используя

преобразование

Лоренца

для

скалярного

потенциала

в системе

r ψ

- -

x’

S, найдем:

= ϕ

(v) =

e (v)/r

где:

x 2 + y 2 + z 2

(v)

(0x − vt)2 + (yp2 +0 z2)/ 0 −2(v)0

Рис. 9.

результате величина

, выраженная через

переменные системы S равна:

ϕ =

(v sin ψ),

(3.6)

−

(x − vt)

+ (y

+ z

)/ (v)

т. к. x

vt r cos ψ, y2 + z2

= r2sin 2ψ (см. рис. 9). Соответственно для

векторного потенциала получим:

Ax = (v) hAx0

0i =

ϕ =

(v sin ψ);

Ay = Az = 0.

(3.7)

Пример 3.5. Доказать, что тензор электромагнитного поля - 4- тензор.

Так как тензор электромагнитного поля (3.1) определяется через 4- векторы ∂ и A, то при преобразовании Лоренца имеем:

3	Aλ0	− aβλaαµ∂λ0 Aµ0	3	,
Fαβ = λ,µ=0 aαµaβλ∂µ0	Aλ0	− aβλaαµ∂λ0 Aµ0	= λ,µ=0 aαµaβλFµλ0	,
X			X

что и является определением 4-тензора (см. (1.21)).

3.2 Законы преобразования электромагнитного поля.

На основании (3.2) и (1.20) или (1.21) легко установить законы преобразования электрического и магнитного полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Если системы сориентированы,

как на рис.1, получим:

Ex = E0 , Ey = (v) E0

, Ez = (v) E0

− v

(3.8)

Bx = Bx0 , By = (v) By0 −

Ez0 , Bz = (v) Bz0

Ey0 .

Несмотря на относительный характер электромагнитного поля из компонент поля можно составить две инвариантные величины:

J1 = 2	B2 − E2 ;	J2 = E~ · B~	.	(3.9)
Пример 3.6. Записть формулы преобразования			(3.8) в векторном

виде.

Введем в рассмотрение составляющие векторов поля параллельные и перпендикулярные скорости относительного движения ~v:

E = ~ −

= E

−

= E ,

~v .

Аналогично для вектора индукции B. Как следует из (3.8):

E~ k = E~ k0 ,

E~ = (v) E~ 0 − c

~v · B~ 0

i ~

(также и для B). В результате, например, для вектора B получим:

B~ = B~

= B~ 0

~ 0

или окончательно:k + B

+ ( ) B

+ c hv × E i

(3.10)

B~ = (v)

B~ 0 + c

~v × E~ 0

+ {1 − (v)} v2

~v · B~ 0

Соответственно для вектора E:

+ {1 − (v)} v2

~v · E~ 0

(3.11)

E~ = (v)

E~ 0 − c

~v × B~

hполе

Пример 3.7.

Найти

точечного

заряда, движущегося с

постоянной скоростью ~v.

Используя (3.6) и (3.7), находим дифференцированием:

e r3 3(v sin ψ).

E~ = −c ∂t

− grad ϕ = c 1 − c2

1 ∂A

эффект Доплера для плоских волн вида A e(−iϕ)

Соответственно для вектора индукции:

~v × E~ =

[~v

r×3

B~ = rot A~ = c

c 1

− c2 e

3(v sin ψ).

Решить задачу другим способом.

Пример

3.8.

~ 6=

Доказать,

что

при

B · E

−

всегда

найдется преобразование

Лоренца,

переводящее

B и

в параллельные векторы ~ 0 × ~ 0 (Указание: рассмотреть

E B = 0

	h		i
векторы ~v = α	~	~		и подобрать коэффициент α).
векторы ~v = α	E × B			и подобрать коэффициент α).
h		i
Пусть ~v = α	~	~	. Тогда на основании (3.8) - (3.11) имеем:
Пусть ~v = α	E × B		. Тогда на основании (3.8) - (3.11) имеем:
	E0 −1			(v) = 1 − αB2		+ α E~ · B~ · B~
		1			2
						~	~	~
	B0 − (v) = 1 − αE					+ α E	· B	· E.

1. Если	~ ~	~ ~
1. Если	E · B	= 0 и E = B, то векторы E и B невозможно сделать

параллельными (объяснить почему).

2. Если

~ ~

. Выбрав

E · B = 0, но E

6= B

α =

E2 − B2 + (B2 − E2)2 + 4E2B2 ,

2E2B2

можно получить

параллельность векторов.

3. Если

E · B 6= 0, то коэффициент α должен удовлетворять следующему

соотношению: α

E~ · B~

− E2B2

= 1 − α E2 + B2

, тогда:

α E × B /c

E~ · B~

c (1 + v2/c2)

1 + α2 hE~ × B~ i2 /c2

E2 + B2

3.3 Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называют явление изменения частоты колебаний (или длины волны λ), воспринимаемой наблюдателем, при движении источника колебаний и наблюдателя относительно друг друга. Эффект Доплера имеет чисто кинематическое происхождение. С точки зрения СТО

~ ·~ −

= A exp ik r iωt

есть следствие инвариантности 4-скаляра

ϕ =

r k

xµ

при

= ωt − k · ~r

преобразованиях Лоренца. Здесь k

компонента 4-волнового вектора

k ≡

ω/c, k

, x - 4-координата, k - волновой вектор, |k| = ω/c. В результате

закон преобразования 4-волнового3вектора есть:

γµ k 0 λ.

kµ =

(3.12)

Наиболее часто

λ=0

форма

записи эффекта

используется

cos (

)

Доплера:

ω =

ω0

1 − v2/c2

(3.13)

−

θ /c

где ω0 - частота источника в собственной системе отсчета, ω - частота,

воспринимаемая наблюдателем, θ - угол между вектором k и v (скорость относительного движения). При θ = 0 или θ = π наблюдается продольный эффект Доплера, а при θ = π2 поперечный эффект, который связан с чисто релятивистским эффектом замедления времени и не имеет никакой волновой специфики.

Эффект Доплера проявляется в широком классе физических явлений и имеет самые разнообразные применения. Например, в астрофизике, проявление эффекта Доплера в наблюдаемых спектрах излучения астрофизических объектов позволяет в ряде случаев определить расстояние до источника излучения от Земли (особенно для источников, движущихся с большими скоростями). В этом случае используется закон

Хабла:
v = H · R,	(3.14)

где v - скорость объекта, H - постоянная Хабла, H ' 2.5 · 10−18c−1, R - расстояние до излучающего объекта.

Пример 3.9. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы его водитель принял красный сигнал светофора за зеленый ?

Длина волны красного света λ ' 7000 ангстрем, зеленого λ ' 5000 ангстрем. Так как источник красного света движется на наблюдателя, то в соответствии с (3.13) имеем:

1	=		1	1 − v2/c2	;	25	=	1 − v/c	,	. . v =	c	.
7000		5000 p1 + v/c				49		1 + v/c
										3

Пример 3.10. В начале 1982г. в созвездии Стрельца был зарегистрирован квазар (звездная система, излучающая как целая

галактика, энергия излучения ≈ 1047 эрг/сек регистрирующаяся как

звезда–квазизвезда), для которого красное смещение z = (λ − λ)/λ
						√
оказалось равным z				=		√	24 − 1. Определить расстояние до этого
оказалось равным z				=			24 − 1. Определить расстояние до этого
объекта и его скорость.
На основании (3.13) z									− 1. Отсюда v = 0.92 c. Это
На основании (3.13) z						=		(c + v)/(c − v)	− 1. Отсюда v = 0.92 c. Это
самая большая скорость,						зарегистрированная в астрономии. На основании
самая большая скорость,							p
закона Хабла расстояние до этого объекта равно:
R =	0.92					= 1028см = 1026м ' 1.2 · 1010свет.лет.

	2.5	·	10	−	18
Т. е. сейчас	до	нас дошел						свет, испущенный этим объектом 12

миллиардов лет назад. Для сравнения отметим, что возраст вселенной 13– 15 миллиардов лет!

Пример 3.11. Доказать, что при условии v c (v - скорость движения источника излучения) выражение (3.13) в случае продольного эффекта Доплера совпадает с выражением, рассчитанным в рамках механики Ньютона, и отличается для поперечного эффекта.

1. Продольный эффект. Получим формулу для изменения частоты излучения в рамках механики Ньютона. Пусть в момент времени t01 = t1 по часам системы S0 (рис.1) в начале координат S0 происходит вспышка света. Наблюдатель, находящийся в начале координат S, зарегистрирует эту вспышку в момент времени t1 = t01 + v t01/c = t01 (1 + v/c). Вторую

вспышку, произошедшую в системе S0 в момент t20 = t2, наблюдатель
зарегистрирует в t2	= t20	(1 + v/c). Интервал времени между вспышками
в S0: t0 = t20 − t10	и зарегистрированный наблюдателем t = t2 − t1 в
S связаны соотношением:		t = t0 (1 + v/c). Отсюда для периодического

процесса с периодом T 0 имеем: T = T 0 (1 + v/c), а для частот: ω = ω0/(1 + v/c). Из формулы (3.13) (в которой θ = π) следует такое же выражение с точностью до членов v2/c2.

2. Поперечный эффект θ = π/2 в механике Ньютона полностью

отсутствует. В СТО на основании (3.13) имеем: ω ' ω0		1 − v2/2c2 .
Таким образом, так как поперечный эффект есть только в	СТО, поэтому

этот эффект может служить проверкой принципов СТО. Справедливость формулы (3.13) была экспериментально доказана в опытах Айвза и

Стилвела в 1938 г. (см. подробнее в [2]).

Пример 3.12. Вывести формулу (3.13).

Будем рассуждать аналогично примеру (3.11).Тогда вспышку в момент времени t0 в S0 наблюдатель в S зарегистрирует в момент времени:

= t1

+ c = t1 +

= t1 1 + c

= 10

1 − v2

/c2

= t10

1 − v/c.

(1 + v/c)

1 + v/c

Соответственно для интервалов между

двумя вспышками найдем:

− v/c

+ v/c

t =

+ v/c

;

ω = ω0

− v/c

(3.15)

Это продольный эффект, соответствующий красному смещению. Если


источник движется на наблюдателя				v →		−v, получим фиолетовое
смещение:		1		+ v/c
	ω = ω0s				.	(3.16)
	ω = ω0s		1	− v/c	.	(3.16)

На основании (3.15) и (3.16) следует, что фаза электромагнитной волны ϕ = k x − ω t - инвариантна и, следовательно, можно ввести 4-волновой вектор

def	~	~
k =	ω/c, k	, где k - волновой вектор \|k\| = ω/c. Отсюда на основаниии

преобразования Лоренца находим выражение (3.12).

3.4 Тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

Для описания свойств электромагнитного поля (помимо тензора

электромагнитного поля) удобно ввести тензор, получивший						название
“тензор энергии-импульса”, который в случае вакуума имеет вид:
1		3	1
		X
T αρ =			F αβFαβ −		J1δαρ.	(3.17)
	4π	β=0		16π

Тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнению (закон сохранения

энергии и импульса):	3		1		3
	X				X
		∂αT αρ = −		c	α=0	jαFαρ.		(3.18)
	α=0				α=0
Его 16 компонент равны T 00 = −ω,			ω = (E2 +B2)/8π - плотность энергии
	0				k	~ ~
электромагнитного поля. T k = gk			= −T 0			= [E × B]k/4π, (k=1,2,3). gk -
проекция плотности импульса на ось k:						− 2δik E2	+ B2 .	(3.19)
−T ik ≡ Mik = 4π EiEk + BiBk						− 2δik E2	+ B2 .	(3.19)
	1					1

Mik - называется тензором натяжений Максвелла. Сила, приложенная к поверхности S в электромагнитном поле, выражается через тензор натяжений Максвелла следующим образом:

Fk = Mik ni dS, k 1, 2, 3, (3.20)

Si=1

где Fk - проекция силы на k-ю ось, а ~n - нормаль к поверхности.

Пример 3.13. Заряд Q равномерно распределен по сфере S радиуса R. Найти силу разрывающую сферу на две половины.

Рассмотрим “верхнюю” половину сферы (см. рис.

10). По условию симметрии ясно, что сила направлена

по оси z. Из (3.20) имеем:

Fz = I

[Mxznx + Myzny + Mzznz] dS.

(3.21)

Интегрирование в (3.21) проводится по половине сферы

Рис. 10.

и основанию, лежащему в плоскости xy. Известно, что

поле вне сферы r ≥

R равно E =

, а внутри сферы поле равно нулю

(на поверхности E

). Поэтому при интегрировании по основанию

полусферы получим 0, так как тензор натяжений на основании равен 0. Таким образом:

2π π/2

Fz = R2	dϕ sin θ dθ[Mxz nx + Myz ny + Mzz nz],									(3.22)
0		0
где nx = sin θ cos ϕ, ny = sin θ sin ϕ, nz							= cos θ. На поверхности сферы для
элементов тензора натяжений имеем:
Mxz =	1	ExEz =	1			E2 sin θ cos ϕ cos θ,				(3.23)
	4π			4π

Myz =	1	EyEz =	1			E2 sin θ sin ϕ cos θ,
	4π			4π
								E2
	1		1
Mzz =		Ez2 −			E2		=		2 cos2 θ − 1 .
	4π		2					8π

Подставляя (3.23) в (3.22) и выполняя интегрирование, найдем Fz =

Q2/8R2.

Пример 3.14. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля удовлетворяет соотношению:

T µαT αν

= δµν

− B2

+ 4 E~

· B~

/ (8π)2 .

α=0

Так как данное равенство содержит инварианты поля, достаточно показать, что оно выполняется в какой-либо одной системе отсчета.

1. Пусть

= B

и (E · B) = 0. Выберем E = ε · i, B = ε · j. Тогда

отличными от нуля будут лишь компоненты тензора T 00

= T 0z

= T zz и,

+ (E B) = 0

следовательно:

α T

µαT αν

= 0.

E и B

E = Ei B = Bj

−

2. Если

. В примере (3.8) показано, что векторы

~ ~

можно сделать параллельными. Пусть

~, ~

~. В

результате отличными от нуля будут лишь компоненты тензора энергииимпульса T 00 = T xx = T yy = T zz. В результате

3	T α	= δµν (E2 + B2)2 = δµν		(E2 − B2)2 + 4E2B2					ч.т.д.
T µ	T α	= δµν (E2 + B2)2 = δµν		(E2 − B2)2 + 4E2B2					ч.т.д.
X
α	ν
α=0			(8π)2	(8π)2
α=0
Упражнения к главе 3
									~
1. В некотором электромагнитном поле электрический вектор E образует
угол θ с вектором магнитной индукции				~
угол θ с вектором магнитной индукции				B, причем угол θ инвариантен для
всех наблюдателей. Чему равен θ ?
	~	~			2	− E	2	< 0	существует
2. Пусть (E · B) = 0. Доказать, что при B						− E		< 0	существует

преобразование Лоренца, обращающее в ноль магнитное поле, а при B2 − E2 > 0, обращающее в ноль электрическое поле. Найти скорости движения соответствующих систем относительно лабораторной.

3. Наблюдаемая длина волны хорошо известной спектральной линии в излучении далекой галактики равна 0.5 мкм. Стандартная длина волны этой линии 0.4 мкм. С какой скоростью удаляется галактика? Каково расстояние от нее до Земли?

4. Получить формулу для эффекта Доплера в случае звука.

5. Найти поле равномерно движущегося диполя ~ . d

6.Найти поле равномерно движущегося магнитного момента ~µ.

7.Два заряда движутся параллельно друг другу со скоростями ~v.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Хасанов лекции

#
10.02.2015164.28 Кб46Доп главы.pdf
#
10.02.2015143.5 Кб62Квазистационарное эм поле.pdf
#
10.02.2015347.56 Кб97Магн-статика практика.pdf
#
10.02.2015195.95 Кб51Магнитостатика.pdf
#
10.02.2015516.89 Кб113Основные уравнения электродинамики.pdf
#
10.02.2015447.27 Кб71СТО практика.pdf
#
10.02.2015299.63 Кб76СТО.pdf
#
10.02.2015362.02 Кб112Теория излучения практика.pdf
#
10.02.2015280.01 Кб92Теория излучения.pdf
#
10.02.2015647.7 Кб278Эл-статика практика.pdf
#
10.02.2015297.13 Кб72Электромагнитные волны.pdf