33
где векторная F и скалярная G функции - произвольные решения однородных волновых уравнений
r2F − |
1 ∂2F |
= 0; |
r2G − |
1 ∂2G |
= 0; |
|||||
c2 |
|
∂t2 |
|
c2 |
|
∂t2 |
||||
Примеры.
Вкачестве примера использования векторов Герца рассмотрим поле точечного диполя d, расположенного
вначале координат. В этом случае суммарный дипольный момент единицы объема равен: PΣ = δ(r)d. На основании (140), (134), (129) получим:
Πe = |
d |
; |
E = |
3n(n · d) − d |
; |
ϕ = |
(n · d) |
, |
(142) |
|
r |
r3 |
r2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где n - единичный вектор в направлении радиус-вектора. Вектор Герца магнитного типа в этом случае равен нулю.
Аналогично, если в начале координат расположен точечный магнитный момент µ~ , то суммарный магнитный момент единицы объема равен: MΣ = δ(r)µ~ . На основании (141) и связи вектора индукции магнитного поля с векторами Герца получим:
Πm = |
µ~ |
; |
B = |
3n(n · µ~ − µ~ ) |
; |
A = |
[µ~ × r] |
(143) |
|
|
r |
r3 |
r3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
§16 Энергия электромагнитного поля
Вопрос об энергии и импульсе электромагнитного поля имеет принципиальное значение, так как эти характеристики делают очевидным материальность поля.
При введении понятия энергии электромагнитного поля будем исходить из установленных в классической механике определений и понятий. Рассмотрим замкнутую систему зарядов и токов. Замкнутость системы позволяет пренебречь полем на бесконечно удаленной поверхности от выбранной системы. Пусть в рассматриваемой системе присутствуют абстрактные частицы - носители заряда и электромагнитное поле, которое создано этими зарядами. Для замкнутой системы изменение ее энергии обусловливается работой, проделанной над частицами, входящими в систему.
Сила, действующая со стороны поля на k-ый точечный заряд движущийся со скоростью vk, определяется выражением, установленным экспериментально (сила Лоренца):
Fk = qkEk + |
qk |
vk × Bk . |
(144) |
c |
Изменение энергии k -ой частицы под действием силы Fk, при перемещении частицы на бесконечно малое расстояние dlk за время dt, в соответствии с законами классической механики есть:
dεk = (Fk · dlk) = (Fk · vk)dt. |
(145) |
Следовательно для системы N штук частиц изменение энергии всей системы частиц εpart в единицу времени есть:
N
dεpart = X(Fk · vk).
dt
k=1
Соответственно для непрерывно распределенного заряда в объеме V получим:
dt |
= ZV ρ E + v × B |
· v dv = ZV (j · E) dv, |
||
dεpart |
|
|
|
|
так как для системы частиц имеет место равенство:
N
X
ρ(r) = qk δ(r − rk)
k=1
(146)
(147)
34
Выражая плотность тока из обобщенного закона Ампера, на основании (146) находим в случае системы заряды-поле (среды нет)
dt |
= |
ZV |
E · 4π c rot B − |
∂ t dv. |
(148) |
|
dεpart |
|
|
1 |
|
∂E |
|
Так как в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея имеет место следующее равенство:
− c
Z
4π V
B · |
rot E + c |
|
∂ t dv = 0, |
(149) |
|
1 |
|
∂B |
|
выражение (148) можно переписать в симметричном виде, добавляя к нему нулевое слагаемое (149):
dεpart |
|
|
c |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂E |
|
|
∂B |
|
|
||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
ZV E · rot B − B · rot E dv − |
|
|
|
ZV E |
|
|
|
+ B |
|
|
dv. |
(150) |
||||||||||||||
|
dt |
4π |
4π |
|
∂ t |
∂ t |
|||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что div [E × B] = B · rot E − E · rot B для выражения (150) получим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dεpart |
|
|
c |
1 |
|
|
|
|
|
∂ |
|
E2 |
+ B2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
ZV |
div [E × B] dv − |
|
ZV |
|
|
|
|
|
|
dv. |
|
(151) |
|||||||||||
|
|
|
dt |
4π |
4π |
∂ t |
|
8π |
|
|
|||||||||||||||||||||||
На основании теоремы Остроградского Гаусса найдем из полученного выражения: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dεpart |
|
|
|
c |
|
|
|
∂ |
|
E2 |
+ B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
Iσ[E × B] · ds − ZV |
|
|
|
|
|
dv, |
|
|
|
(152) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
4π |
∂ t |
|
8π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где σ -поверхность ограничивающая объем V Интеграл по поверхности σ на бесконечно больших расстояниях обращается в ноль, поэтому имеют место следующие равенства:
d |
|
E2 + B2 |
|
E |
2 |
+ B2 |
|
||
|
εpart + ZV |
|
dv = 0; |
εpart + ZV |
|
|
dv = const. |
(153) |
|
d t |
8π |
|
|
8π |
|||||
Последнее соотношение можно интерпретировать как закон сохранения энергии и определить энергию электромагнитного поля εf и энергию единицы объема электромагнитного поля w следующими соотношениями:
εf = ZV |
E2 + B2 |
|
E |
2 |
+ B2 |
|
||
|
dv; |
w = |
|
|
. |
(154) |
||
8π |
|
|
8π |
|||||
Для конечной поверхности σ, ограничивающей выбранный объем V закон сохранения в интегральном виде определяется равенством (151):
dεpart |
= − Iσ S · d~σ − |
∂ |
ZV |
E2 + B2 |
|
c |
|
|
||
|
|
|
|
dv; |
S ≡ |
|
[E × B]. |
(155) |
||
dt |
∂ t |
8π |
4π |
|||||||
Плотность потока энергии.
В соответствии с представленным равенством (155) вектор S - определяет энергию, проходящую в единицу времени через единицу поверхности в направлении ортогональном векторам E и B. Иными словами |S| - есть плотность потока энергии, а S - вектор плотности потока энергии. Этот вектор называется вектором Умова-Пойнтинга.
Интерпретация S как вектора плотности потока энергии имеет некоторый элемент произвола. Закон сохранения энергии приписывает физический смысл не самому вектору S, а лишь интегралу от S · n, вычисленному по замкнутой поверхности σ. В общем случае из значения интеграла нельзя вывести однозначного заключения о распределении S. Поэтому, в принципе, возможны и иные определения плотности потока энергии. Например, к определенному выше вектору Умова-Пойнтига можно добавить ротор произвольного вектора, поскольку такое слагаемое не вносит вклада в поверхностный интеграл. Однако при осторожном применении определения вектора S, в частности, для средних значений, конечных интервалов пространства и времени, никаких противоречий с экспериментальными результатами не возникает.
35
Дифференциальная форма закона сохранения энергии.
На основании (146), (151) в дифференциальной форме закон сохранения энергии имеет следующий вид:
(j · E) = −div S − |
∂ w |
(156) |
∂ t . |
Энергия поля в среде.
Для произвольной среды, рассмотренные выше понятия (энергия, вектор S) требуют специального исследования что не входит в предмет настоящего курса. Однако для примитивной однородной и изотропной среды вектор плотности потока энергии и энергия единицы объема электромагнитного поля определяются следующим образом:
S = |
c |
[E |
× |
H]; |
w = |
(E · D) + (B · H) |
, |
|
4π |
8π |
|||||||
|
|
|
|
|
что может быть получено аналогично рассуждениям приведенным выше на основании системы уравнений Максвелла для среды.
В общем случае ситуация существенно усложняется и энергия поля может быть представлена в виде:
ε = 4π ZV |
E · dD + H · dB . |
|
1 |
|
|
Диссипация энергии в проводнике.
Экспериментально установлено, что движущиеся заряды создают такое же электромагнитное поле, как и ток проводимости в проводнике. Следовательно, плотность тока j в системе уравнений Максвелла, можно разделить на две части j = jc + jv, где jc = σE - плотность тока проводимости, а jv = ρ v - плотность конвекционного тока. В этом случае закон сохранения энергии имеет вид:
dεpart |
= −Q − Iσ S · d~σ − |
∂ |
ZV |
E2 + B2 |
dv, |
dt |
∂ t |
8π |
где Q представляет собой диссипацию энергии в проводнике из-за наличия сопротивления, называется джоулевым теплом и имеет вид:
ZZ
Q = (jc · E) dv = σ E2 dv.
VV
Для непроводящей среды Q = 0.
Примеры
Некоторые примеры на вычисление энергии поля шар заряженный с постоянной плотностью точечный заряд
§17 Импульс электромагнитного поля
Введение понятия импульса электромагнитного поля может быть основано на уравнениях механики, в соответствии с которыми изменение импульса системы частиц, определяется суммарной силой, действующей на систему
dppart = F
dt
В случае замкнутой системы заряженных частиц, силой действующей на частицы является сила Лоренца, поэтому для произвольной системы частиц имеем
dt |
N |
|
[vk × Bk] . |
(157) |
= F = k=1 qkEk + c |
||||
dppart |
X |
qk |
|
|
36
Для непрерывно распределенного заряда внутри объема V последнее равенство имеет вид:
dt |
= F = ZV |
ρ(r |
0 )E(r |
0 ) + c [j(r |
0 ) × B(r |
0 )] dv |
0 . |
(158) |
dppart |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
В соотношении (158) выразим плотность заряда и плотность тока из системы уравнений Максвелла. Полученное выражение можно симметризовать с использованием закона электромагнитной индукции и закона отсутствия магнитных зарядов. В результате тождественных преобразований структура выражения (158) в проекциях на декартовы оси координат i = x, y, z может быть представлена в виде (детали преобразований можно найти в [4]):
|
d t |
i = ZV |
div f dv − |
|
4πc d t ZV [E × B] dv i, |
|
dppart |
|
|
|
1 d |
где f - вектор, квадратичный по полю, структура, которого вытекает из тождественных преобразований на основании системы уравнений Максвелла. Интеграл от div f на основании теоремы ОстроградскогоГаусса можно преобразовать к интегралу по поверхности, ограничивающей произвольный объем интегрирования. Для ограниченной системы зарядов и токов на бесконечно удаленной поверхности интегрирования (все пространство) величина вектора f стремится к нулю и вклад данного слагаемого отсутствует. Таким образом, данные преобразования приводят к следующему выражению:
d t |
= −4πc d t ZV [E × B] dv, |
|
dppart |
|
1 d |
которое может быть проинтерпретировано как закон сохранения импульса в системе заряженные частицыполе:
d t |
|
part |
ZV |
|
|
≡ |
4πc |
|
d |
p |
|
+ |
q dv = 0; |
q |
|
[E × B] |
. |
|
|
|
|
|||||
Таким образом, величина q определяет импульс единицы объема электромагнитного поля, а интеграл по объему поля от q - импульс поля. Как видно импульс единицы объема поля связан с вектором УмоваПойнтинга. В частности, в системе единиц Гаусса:
1
q = c2 S
При наличии среды, введение понятия импульса поля требует более детальных рассуждений. Отметим, что для однородной изотропной среды, рассуждения аналогичные представленным выше приводят к следующему результату для импульса единицы объема поля:
q = [E × H] .
4πc
Также как и в механике для электромагнитного поля может быть введено понятие момента импульса. Так, для единицы объема поля момент импульса равен l = [r × q].
Примеры
Примеры на вычисление импульса поля Квантовая теория света Эйнштейна (ее лучше отнести к СТО)
Литература
[1]С.Р.де Гроот, Л.Г.Сатторп. Электродинамика. М., Наука, 1982.
[2]А.А.Арцимович, С.Ю.Лукьянов. Движение заряженных частиц в электрических и мангитных полях. М., Наука, 1978.
[3]Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М., Наука, 1986.
[4]В.Г.Левич. Курс теоретической физики. Том 1 М., Наука, 1969.
[5]В. Карцев. Приключения великих уравнений. М., Знание, 1986, 288 с.
[6]Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика. т.6. М., Мир, 1966, 343с.
[7]Джексон. Классическая электродинамика.
[8]Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1971, 1108 с.
[9]Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский. Квантовая теория волнового момента. Ленинград, Наука, 1975.
[10]Тамм И.Е. Основы теории электричества. М., Наука, 1976.
[11]М.М. Бредов, В.В. Румянцев, И.Н. Топтыгин. Классическая электродинамика. М., Наука, 1988.
37
Оглавление
§1 |
Введение. История возникновения и развития электродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
§2 |
Экспериментальные данные, лежащие в основе электродинамики. Электростатика. . . . . . . |
2 |
§3 |
Экспериментальные данные, лежащие в основе электродинамики. Магнитостатика. . . . . . . |
8 |
§4 |
Закон электромагнитной индукции Фарадея. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
§5 |
Ток смещения. Система уравнений Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
§6 |
Системы единиц измерения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
§7 |
Скалярный и векторный потенциалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
§8 |
Электромагнитное поле в веществе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
§9 |
Поляризация среды. Дипольный момент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
§10 |
Магнитный момент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
§11 |
Параметризация средней плотности тока связанных зарядов в линейной электродинамике. . . |
25 |
§12 |
Физический смысл слагаемых в hj + jini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
§13 |
Система уравнений Максвелла в среде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
§14 |
Фурье-преобразования системы уравнений Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
§15 |
Векторы Герца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
§16 |
Энергия электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
§17 |
Импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
38