3. Случайные блуждания с затуханием

Теоретический расчет

D_ξ(1) = D_ɷ = 1

D_ξ(2) = 0,9 D_ɷ(1) + D_ɷ = 1,9

D_ξ(2) = 0,9 D_ɷ(1) + D_ɷ = 0,9² D_ɷ + 0,9 D_ɷ =

σ_ξ(n) = =

Тогда:

r (n, n-l) = M [ξ(n)·ξ(n-1)]

Аналогично случаю со случайными блужданиями без затуханий – процесс не является стационарным в широком смысле.

Текст программы

clc

clear all

close all

%Случайные блуждания с затуханием

for i = 2:400

for k = 1:800

m(1,k) = 0;

m(i,k)=0.9*m(i-1,k)+normrnd(0,1);%см. формулу 2.3

end

end

figure('Name','График всех реализаций','NumberTitle','off','Position',[20,200,500,400]);

plot(m);

clear i k

%9.2 этап - генерация скаттерограмм

ni_1 = [10, 50, 100, 200];

nj_1 = [9, 49, 99, 199];

ni_2 = [50, 100, 200];

nj_2 = [40, 90, 190];

figure('Name','Скаттерограммы','NumberTitle','off','Position',[520,200,500,400]);

subplot(2,1,1);

for i = 1:4

x = m(ni_1(i),:);

y = m(nj_1(i),:);

c = linspace(1,10,length(x));%создаем вектор с логарифмически распределенными значениями

scatter(x,y,[],c);

xlabel('X');

ylabel('Y');

ylim([-60 60]);

xlim([-10 10]);

hold on;

end

title ('Первое значение')

subplot(2,1,2);

for i = 1:3

x = m(ni_2(i),:);

y = m(nj_2(i),:);

c = linspace(1,10,length(x));

scatter(x,y,[],c);

xlabel('X');

ylabel('Y');

ylim([-60 60]);

xlim([-10 10]);

hold on;

end

title('Второе значение');

clear c y x ni_1 ni_2 nj_1 nj_2 i

%10 этап - выборочная корреляция по ансамблю

for i = 1:400

M = circshift(m,1);%циклический сдвиг массива

a = m.*M;%поэлементное умножение

A(1,i) = mean(a(i,:));

end

figure('Name','Выборочная АКФ по ансамблю','NumberTitle','off','Position',[1020,200,500,400])

plot(A);

hold on

plot(0.05*(1-0.9.^[0:399])./(1-0.9).^ 2

xlim([0 400])

ylim([0 max(A)])

xlabel('X')

ylabel('Y')

clear a M i

Окна вывода

Рисунок 7 – График всех реализаций для процесса с затуханием

Рисунок 8- Скаттерограммы для процесса с затуханием

Полученные скатеррограммы ближе к горизонтальной прямой, чем в случае со случайными блужданиями выше. Для первых значений отклонение меньше.

График всех реализаций подтверждает теорию в том, что процесс не является эргодическим. Однако график случайных блужданий с затуханием больше походит на белый шум.

Рисунок 9 – График выборочной АКФ по ансамблю

Значение, полученное на практике колеблется около теоретического графика.

Выводы: входе работы были изучены концепции, лежащие в основе теории случайных процессов и получены навыки генерирования случайных блужданий и белого шума, установлено, что белый шум является эргодическим процессом. Так же найдены значения корреляции и построены диаграммы рассеяния. По реализациям случайных блужданий наблюдаем, что с увеличением времени дисперсия увеличивается и значение автокорреляционной функции сильнее отличается от теоретической. Случайные блуждания не являются стационарным процессом в широком смысле. По графикам реализации затухающего винеровского процесса можно сказать, что он ближе к белому шуму и при больших значениях приближается к стационарному. Так же можно заметить, что значения корреляции для затухающего винеровского процесса будет меньше, чем для незатухающего.