Задание 4. Критерий согласия хи-квадрат.
Постановка задачи.
Требуется
проверить гипотезу
о том, что функция распределения
выборочных данных
принадлежит нормальному семейству
распределений
(экспоненциальному, равномерному
семейству).
Теоретические основы.
См. стр. 33-36 пособия [4].
Вычисления.
Пакет
Excelпредоставляет
возможность вычисления как значений
функции надежности
,
так и значенийp-квантилей
хи-квадрат распределения. Эти функции
называютсяХИ2РАСПиХИ2ОБР.
Для вычисления нормального распределения можно использовать функцию НОРМРАСП. Подробнее см. ниже в главе “Встроенные функцииExcel”.
Интервалы группировки и частоты попадания в эти интервалы могут быть взяты из задания 2.
Ниже приведен фрагмент листа Excelс примером вычислений, проводимых при построении критерия хи-квадрат для проверки гипотезы нормальности.
Пример.
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
|
1 |
Границы |
Выбор. частоты |
Вероятность |
Ожидаем. частоты |
Хи- квадрат |
| ||
|
2 |
|
|
0 |
|
| |||
|
3 |
117,05 |
0 |
0,001 |
0,15 |
0,151 |
Критический уровень | ||
|
4 |
118,05 |
1 |
0,013 |
1,19 |
0,031 |
значимости |
| |
|
5 |
119,05 |
3 |
0,071 |
5,86 |
1,395 |
9 ст.свободы |
| |
|
6 |
120,05 |
20 |
0,237 |
16,76 |
0,624 |
9 = |
0,101 | |
|
7 |
121,05 |
34 |
0,514 |
27,98 |
1,293 |
7 ст.свободы | ||
|
8 |
122,05 |
23 |
0,784 |
27,27 |
0,669 |
7 = |
0,041 | |
|
9 |
123,05 |
13 |
0,938 |
15,51 |
0,407 |
| ||
|
10 |
124,05 |
3 |
0,989 |
5,15 |
0,896 |
|
0,05 | |
|
11 |
125,05 |
4 |
0,999 |
0,99 |
9,076 |
| ||
|
12 |
>125,05 |
0 |
1 |
0,12 |
0,119 | |||
|
13 |
Всего |
101 |
|
101,00 |
|
Вывод | ||
|
14 |
|
|
|
|
|
Гипотеза нормальности не может быть принята или отвергнута | ||
|
15 |
|
|
|
X2= |
14,66 | |||
Порядок вычислений.
Скопировать ячейки A2:B11 с листа “Гисто”, содержащие выборочные частоты, на рабочий лист в ячейкиA3:B12.
В ячейке подсчитать B13общее число данных
=СУММ(B3:B12)
В столбце
C
(Вероятность)
вычислить значение гипотетической
функции распределения
:
в ячейку C3(напротив первой границы) ввести формулу
=НОРМРАСП(A3;Моменты!$B$4;Моменты!$B$6;1)
– напомним, что в ячейках B4иB6на листе “Моменты” хранятся среднее и стандартное отклонение;
скопировать ячейку C3во все ячейки столбцаCвплоть до ячейки, соответствующей последней границе (C11);
в
ячейке C2указать
значение 0(соответствует
),
а в ячейкеC12–
значение1(соответствует
).
В столбце
D (Ожидаемые
частоты) вычислить теоретические
частоты
:
в ячейку D3ввести формулу
= $B$13*(C3-C2)
скопировать ячейку D3в столбцеDдо ячейкиD12(напротив границы “>125,05”);
для контроля в ячейке D13 (Всего)вычисляется сумма значений в столбцеD(должно получиться число101).
В столбце
E (Хи-квадрат)вычислить слагаемые статистики
:
в ячейку E3ввести формулу
= (B3-D3)^2/D3
– в ячейке $B$13 хранится объем выборки;
скопировать ячейку E3в столбцеE до ячейкиE12;
в
ячейке E15вычислить сумму значений столбцаE– искомое значение статистики
.
Вычислить уровни значимости r-3,r-1:
в ячейки G6,G8 ввести формулы
=ХИ2РАСП(E15;10-1)
=ХИ2РАСП(E15;10-3)
“10” – это число групп, для каждого студента оно может быть разным.
Вывод в ячейке F11сделан в соответствии с правилом, описанным в пунктеVIIна стр. 36 пособия [4].
Замечание 1.При проверке гипотезы экспоненциальности необходимо заменить ячейки, в которых вычисляются значения вероятностей попадания в интервалы (пункт 2) в соответствии с формулой экспоненциального распределения
=1-EXP(-A3/Моменты!$B$4)
Критический уровень значимости
вычисляется при
и при
степенях свободы.
Замечание 2.При проверке гипотезы равномерности необходимо, во-первых, выбрать равномерное разбиение отрезка [0;1]. Во-вторых, нужно заменить ячейки, в которых вычисляются значения вероятностей попадания в интервалы (пункт 2) в соответствии с формулой равномерного распределения (см. введение)
=A3
Критический уровень значимости
вычисляется при
степени свободы.
Контрольные вопросы.
Сформулируйте статистическую задачу.
Как строится критерий согласия хи-квадрат?
33.
Почему критерий называется критерием согласия?
36.
Выпишите формулу тестовой статистики критерия согласия хи-квадрат. Почему эту статистику можно считать мерой близости выборочных данных к выдвинутой гипотезе?
33.
Какое распределение имеет статистика критерия хи-квадрат?
35.
Почему иногда приходится вычислять два критических уровня значимости?
36.
Чему равен критический уровень значимости при проверке гипотезы о равномерном (нормальном, экспоненциальном) распределении?
36.
Почему при построении критерия хи-квадрат нельзя выбирать интервалы группировки в зависимости от выборочных данных?
36.