Пример 1.1. Найти частные производные функции
.
Решение. Считая постоянным, находим производную по
.
Считая постоянным, находим производную по
.
◄
1.6. Допустим, что у функции в точке и ее окрестности существуют частные производные первого порядка. Тогда они являются в этой окрестности функциями, у которых могут существовать частные производные в точке .
Частными производными второго порядка функции в точке называются частные производные от ее частных производных первого порядка. А именно,
или
,
или
,
(1.14)
или
,
или
.
(1.15)
Производные (1.15) называются смешанными. Доказано, если смешанные частные производные непрерывны, то они совпадают:
.
(1.16)
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков, и для них верно утверждение (в случае непрерывности) о равенстве смешанных производных независимо от порядка дифференцирования. Поэтому в дальнейшем для них будем называть только порядок производной, а не порядок дифференцирования.
Пример 1.2. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Частные производные первого порядка найдены в примере 1.1. Тогда по формулам (1.14) и (1.15)
,
,
.
◄
1.7. Пусть у функции в точке существуют частные производные. Ее полным дифференциалом в этой точке называется выражение
,
(1.17)
где дифференциалы
независимых переменных
и
равны приращениям, то есть
и
.
Доказаны следующие свойства полного дифференциала.
Полное приращение (1.6) функции связано с полным дифференциалом соотношением
,
где
и
стремятся к нулю при
и
.
Свойство инвариантности. В случае функции от одной переменной, известно, что выражение ее первого дифференциала не зависит от того, является ли ее аргумент независимой переменной или функцией от другой переменной. Это свойство остается справедливым и в случае функции двух переменных. А именно, пусть функция является сложной функцией . Тогда ее полный дифференциал равен
.
(1.18)
Доказательство. Подставим в (1.18) выражения частных производных (1.12) и (1.13). Тогда полный дифференциал преобразуется к виду
,
совпадающему с (1.17). ■
Свойство инвариантности позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции двух переменных:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
1.8. Пусть функция в точке имеет частные производные 2-го порядка. Дифференциалом второго порядка для этой функции называется дифференциал от дифференциала функции. А именно,
.
(1.19)
Так как приращения
независимых переменных
играют роль постоянных, то
.
(1.20)
Если функция
имеет частные производные
–го порядка в точке
,
то по определению ее дифференциалом
-го
порядка в этой точке называется
дифференциал от дифференциала (
)-го
порядка, то есть
.
(1.21)
Для дифференциала
-го
порядка (1.21), используя биномиальные
коэффициенты
можно получить формулу, частным случаем
которой является формула (1.20).
1.9. Производной
функции
в точке
по направлению вектора
называется предел
,
(1.22)
если он существует
и конечен. Здесь точка
стремится к точке
параллельно вектору
(см. рис. 1), знак «плюс» берется в
знаменателе дроби, если вектор
сонаправлен с вектором
,
и «минус» - в противоположном случае.
Рис. 1.
Если
– угол между вектором
и осью
,
то для вычисления производной по
направлению используется формула
.
(1.23)
Аналогично (1.22)
определяется производная по направлению
для функции нескольких переменных, в
частности и для функции трех переменных
.
Если
– углы, образованные вектором
с осями
,
то в случае функции трех переменных
аналогом (1.23) является формула
.
(1.24)
1.10. Градиентом
функции трех переменных
в точке
называется вектор
,
(1.25)
где
– орты координатных осей
соответственно.
В двумерном случае градиент функции в точке принимает вид
.
(1.26)
Формула (1.24) (или
(1.23) в двумерном случае) представляет
собой скалярное произведение двух
векторов:
и
- орта вектора
(единичного вектора, сонаправленного
с вектором
).
Тогда, переписав скалярное произведение
через модули перемножаемых векторов и
косинус угла
между ними, получим
.
(1.27)
Из формулы (1.27)
следует, что производная по направлению
максимальна, если направление вектора
совпадает с направлением вектора
(в этом случае
).
Следовательно, градиент функции
показывает направление максимально
быстрого возрастания этой функции.
Если вектор перпендикулярен вектору , то производная по этому направлению равна нулю:
,
(1.28)
то есть функция в этом направлении не меняется.
Поверхности в трехмерном пространстве, где
,
называются поверхностями уровня функции (линиями уровня, если функция зависит от двух переменных).
Следовательно, градиент функции перпендикулярен любой поверхности (линии) уровня этой функции.