ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Пробник целой методички / Методичка_ОЛЛ(2)

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Второй семестр

А. Б. Алексеев

2022 г.

СПбГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича

Санкт-Петербург, пр. Большевиков, д. 22

1

Оглавление

2

9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

9.1. Несобственный интеграл 1-го рода.

Напомним, что определённый интеграл ∫ ( ) в основном

рассматривался при условии непрерывности функции ( ) на замкнутом конечном интервале [ , ]. Здесь мы рассмотрим вопрос определения интеграла для неограниченных интервалов. Такие интегралы называются

н е с о б с т в е н н ы м и и н т е г р а л а м и 1 - г о р о д а .

существует или бесконечен, то говорят, что и н т е г р а л р а с х о д и т с я .

Аналогично строится определение несобственного интеграла и для других видов неограниченных интервалов. А именно, пусть функция ( )

несобственный интеграл ∫−+∞∞ ( ) определяется как двойной предел:

1.

Решение. Для ≠ 1 найдем первообразную, используя интеграл 1 из таблицы 2, и подставим в формулу Ньютона-Лейбница, тогда

3

Если > 1, то предел конечен и ∫1+∞ = −11, если < 1, то предел бесконечен и интеграл расходится.

Для = 1 первообразная ( ) = ln стремится к +∞ при → +∞. Следовательно, предел бесконечен и интеграл расходится. ◄

Решение. Воспользуемся первообразной подынтегральной функции, найденной в примере 4 п.7.5. Тогда

Замечание. Для несобственного интеграла (9.3) вводится характеристика, которая называется главным значением интеграла. А именно,

по определению г л а в н ы м з н а ч е н и е м и н т е г р а л а (9.3) называется предел

Здесь при нахождении предела концы промежутка симметрично уходят на бесконечность. Очевидно, если интеграл (9.3) сходится, то его значение совпадает с главным значением (9.4). Но возможны ситуации, когда интеграл (9.3) расходится, а главное значение (9.4) - конечно.

Пример 3. Интеграл ∫−+∞∞ x22x+1 dx

Интеграл ∫+∞ 2 расходится из-за того, что первообразная ( ) =

−∞ 2+1

2+1

[− , ] равен нулю (см. лемму 2 п.8.5). ◄

Для сходящихся несобственных интегралов справедливы все свойства определённого интеграла.

4

В дальнейшем утверждения будем формулировать для интегралов вида (9.1), подобные утверждения верны и для интегралов (9.2) и (9.3).

Теорема 1.

Если функция ( ) непрерывна на интервале [ , +∞), то интегралы ∫+∞ ( ) и ∫+∞ ( ) сходятся или расходятся одновременно для любого

> .

Доказательство очевидно в силу непрерывности функции ( ) на интервале [ , ] и равенства

∫+∞ ( ) = ∫с ( ) + ∫с+∞ ( ) ■

Теорема 2.

Если функция ( ) непрерывна на интервале [ , +∞), ( ) – ее

первообразная, причем существует конечный предел lim ( ) = , то

→∞

интеграл (9.1) сходится и равен − ( ).

Доказательство следует из формулы Ньютона-Лейбница.■

Рассмотрим несобственный интеграл с положительной подынтегральной функцией. В этом случае (см.п.8.2) интеграл с переменным верхним пределом является возрастающей функцией аргумента . Тогда из теоремы о пределе монотонной функции (п.2.3) следует

Лемма.

Если существует постоянная > 0 такая, что для любого значения >выполнено неравенство

∫ ( ) ≤ ,

то интеграл ∫+∞ ( ) сходится, причем

∫+∞ ( ) ≤ .

В противном случае интеграл ∫+∞ ( ) расходится.■

На эту лемму опирается доказательство теорем, которые называются

признаками сходимости.

Теорема 3.

Пусть функции ( ) и ( ) непрерывны на интервале [ , +∞). Пусть существует интервал [ , +∞), ≤ , на котором выполнено неравенство 0 ≤( ) ≤ ( ). Тогда:

5

1) если расходится интеграл ∫+∞ ( ) , то расходится и интеграл

∫+∞ ( ) ;

2) если сходится интеграл ∫+∞ ( ) , то сходится и интеграл

∫+∞ ( ) .

Доказательство. Докажем второе утверждение, доказательство первого из него следует методом «от противного».

Пусть сходится интеграл ∫+∞ ( ) = . Тогда из теоремы 1 следует, что сходится интеграл ∫+∞ ( ) ≤ , и для любого > интеграл ∫ ( ) ≤ . Из условия 0 ≤ ( ) ≤ ( ) и (8.10) следует, что

∫ ( ) ≤ ∫ ( ) ≤ .

Остается сослаться на лемму и теорему 1. ■

Теорема 4.

Пусть функции ( ) и ( ) непрерывны на интервале [ , +∞), ( ) > 0, ( ) > 0 и

lim ( ) = ,

→+∞ ( )

∫+∞ ( ) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Зададим число , 0 < < . Для этого числа существует число > 0 такое, что из неравенства > следует неравенство

| ( ) − | < . Последнее неравенство равносильно системе неравенств:

( − ) ( ) < ( ) < ( + ) ( ).

Остается сослаться на теоремы 1 и 3. ■

На практике в качестве функции сравнения удобно использовать степенную функцию. Это следует из примера 1.

Для произвольной (знакопеременной) непрерывной функции доказано

(см. [2]) утверждение: если сходится интеграл ∫+∞ | ( )| , то сходится и интеграл ∫+∞ ( ) . ■

Это утверждение позволяет ввести два новых понятия для интегралов от функций, которые принимают значения любого знака.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл ∫+∞ cos x dx.

0 x2+1

Решение. Очевидна оценка подынтегральной функции: | cos2+1 | ≤ 21+1. Интеграл

8

Аналогично, через двойной предел, определяется несобственный интеграл в том случае, когда функция стремится к бесконечности во внутренней точке интервала.

Пример 1. Интеграл ∫01 dxxp сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1.

Доказательство так же, как и в примере 1 п.9.1 использует первообразную степенной функции. При < 1

◄

Замечание. Для несобственного интеграла (9.8) также вводится главное значение интеграла. А именно, по определению г л а в н ы м з н а ч е н и е м и н т е г р а л а (9.8) называется предел

Очевидно также, если интеграл (9.8) сходится, то его значение совпадает с главным значением (9.9). Но возможны ситуации, когда интеграл (9.8) расходится, а главное значение (9.9) – конечно.

Для интеграла (9.7) главное значение можно ввести аналогичным образом.

9

Для сходящихся несобственных интегралов 2-го рода также справедливы все свойства определённого интеграла.

Сформулируем утверждение для интеграла (9.5), аналогичное теореме 2. Подобные утверждения верны и для остальных интегралов.

интеграл (9.5) сходится и равен − ( ).

Доказательство, очевидно, также следует из формулы НьютонаЛейбница. ■

Для положительной подынтегральной функции верны признаки сходимости, аналогичные теоремам, сформулированным для несобственных интегралов 1-го рода.

На практике также в качестве функции сравнения удобно использовать степенную функцию. Это следует из примера 1.

В частности, подынтегральная функция из примера 2 удовлетворяет оценке сверху через степенную функцию с показателем = 1/2, что обеспечивает сходимость интеграла.

Аналогичным образом для функций, принимающих значения любого знака, вводятся понятия абсолютной и условной сходимости и доказываются соответствующие утверждения.

Замечание. Несобственные интегралы могут сразу содержать особенности, присущие интегралам 1-го и 2-го родов. При исследовании сходимости таких интегралов надо «разделять трудности».

Пример 3. При z > 0 исследовать на сходимость интеграл (гаммафункцию)

Γ(z) = ∫0+∞ z−1 − .

Решение. Разобьем интеграл на сумму двух слагаемых, каждое из которых содержит только одну особенность:

∫0+∞ z−1 − = ∫01 z−1 − + ∫1+∞ z−1 − .