Теорема 1.
Если функция
непрерывна на интервале
,
то интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно
для любого
Доказательство
очевидно в
силу непрерывности функции
на интервале
и равенства
■
Теорема 2.
Если функция
непрерывна на интервале
,
– ее первообразная, причем существует
конечный предел
,
то интеграл (9.1) сходится и равен
.
Доказательство следует из формулы Ньютона-Лейбница.■
Рассмотрим
несобственный интеграл с положительной
подынтегральной функцией. В этом
случае (см.п.8.2) интеграл с переменным
верхним пределом
является возрастающей функцией аргумента
.
Тогда из теоремы о пределе монотонной
функции (п.2.3) следует
Лемма.
Если существует
постоянная
такая, что для любого значения
выполнено неравенство
,
то интеграл сходится, причем
.
В противном случае интеграл расходится.■
На эту лемму опирается доказательство теорем, которые называются признаками сходимости.
Теорема 3.
Пусть функции
и
непрерывны на интервале [
.
Пусть существует интервал [
,
,
на котором выполнено неравенство
.
Тогда:
1) если расходится
интеграл
,
то расходится и интеграл
;
2) если сходится интеграл , то сходится и интеграл .
Доказательство. Докажем второе утверждение, доказательство первого из него следует методом «от противного».
Пусть
сходится интеграл
.
Тогда из теоремы 1 следует, что сходится
интеграл
,
и для любого
интеграл
.
Из условия
и (8.10) следует, что
.
Остается сослаться на лемму и теорему 1. ■
Теорема 4.
Пусть функции
и
непрерывны на интервале [
,
и
,
где
.
Тогда интегралы
и
сходятся
или расходятся одновременно.
Доказательство.
Зададим число
.
Для этого числа
существует число
такое, что из неравенства
следует неравенство
.
Последнее неравенство равносильно
системе неравенств:
.
Остается сослаться на теоремы 1 и 3. ■
На практике в качестве функции сравнения удобно использовать степенную функцию. Это следует из примера 1.
Пример 4. Выяснить сходится или расходится интеграл
Решение. Для
очевидна оценка подынтегральной функции:
.
Так как
сходится,
то сходится и заданный интеграл.◄
Для произвольной
(знакопеременной) непрерывной функции
доказано (см. [2]) утверждение: если
сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
.
■
Это утверждение позволяет ввести два новых понятия для интегралов от функций, которые принимают значения любого знака.
Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Несобственный интеграл называется неабсолютно или условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.
Для абсолютно сходящихся интегралов верна теорема, которая является следствием теоремы 3.
Теорема 5.
Пусть функции
и
(
)
непрерывны на интервале [
.
Пусть
.
Тогда, если сходится интеграл
,
то абсолютно сходится интеграл
,
причем
.
■
Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение.
Очевидна оценка подынтегральной функции:
.
Интеграл
.
Следовательно, интеграл сходится абсолютно, причем
.
◄