8.6 Вычисление площади с помощью определённого интеграла

Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

= , = 2 = 2 + 2, φ: =

К р и в о л и н е й н ы м

с е к т о р о м

на плоскости (рис. 26)

называется

ф и г у р а , о г р а н и ч е н

н а я д в у м я

л у ч а м и , идущими из полюса под

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

517.4 Кб

Скачать

☆

8.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Как известно (см. (8.6)), к понятию определённого интеграла приводит задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

с полуосями: a и b .

x a

2		y	2
	+	y		=1
2	+	b	2	=1
2			2

рис. 23

Решение. Так как эллипс симметричен относительно осей координат достаточно вычислить площадь четвертой части, и умножить на 4. Получаем (см. пример 1 п.8.5)

= 4 ∫0 √1 − 22 = 4 ∫0 √ 2 − 2 = 4 42 = . ◄

Нетрудно понять, что площадь фигуры, заключённой между графиками функций = ( ), = ( ), где ( ) ≥ ( ) для [ , ], и прямыми =, = (рис. 24а), вычисляется по формуле

	(		)	(	)	(8.25)
= ∫	(			−	) .	(8.25)

а)	б)
	Рис. 24

Пример 2. Найти площадь фигуры, заключенной между линией

y =	1	и параболой	y =	1	x	2	.
	+ x2			2
1

Решение. На рисунке 24б представлена фигура, ограниченная указанными линиями.

Для определения граничных точек решая уравнение

1
1+ x	2
1+ x

1 2

x	2

получаем x1 = −1, x2

ось симметрии x = 0

=1	. На промежутке (−1;1)	1		1	x	2

		1+ x	2	2

, то (см. лемму 1 п. 8.5)

Так фигура имеет

	1		1			x	2			x	3
S = 2					−				arctgx −
				2				dx = 2
		1	+ x			2				6
	0

=− 1 2 3

◄

Для некоторых областей площадь удобнее вычислять, используя полярные координаты.

П о л я р н ы м и к о о р д и н а т а м и т о ч к и н а п л о с к о с т и

называется пара чисел ( , ), которые характеризуют положение точки относительно полюса и полярной оси. П о л я р н о й о с ь ю называется числовая полуось на плоскости, то есть полупрямая с масштабом и направлением, а п о л ю с о м – крайняя (начальная) точка этой полуоси. Число - расстояние от точки до полюса, а - угол поворота от полярной оси до направления на точку (см. рис. 25). Положительными считаются углы против часовой стрелки. Следовательно, : 0 ≤ < +∞, а : 0 ≤ < 2. Если точка совпадает с полюсом, то = 0, а может считаться любым.

Рис. 25 Если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а

полярная полуось – с положительной полуосью оси (см. рис. 27), то связь между декартовыми и полярными координатами точки выражается формулами:

углами и , < , и кривой, расстояние до точек которой зависит от угла, то есть представляет собой функцию ( ).

Рис. 26

Доказано (см. [2]), что площадь криволинейного сектора вычисляется с помощью интеграла

= ½ ∫ 2( ).	(8.26)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
R (φ) = a sin 3φ, a 0 .

Решение. Построение этой фигуры можно сделать, накладывая сетку полярной системы на декартову с помощью формул связи. Для построения мы

ограничимся простыми рассуждениями. Функция

sin 3φ имеет период

Достаточно построить линию

на

промежутке

, а затем

рисунок

поворачивать на

. При значении

φ=0 R = 0

. С увеличением угла

от

0 до

R (φ) увеличивается от 0 до

1, а затем от

до

уменьшается до 0

. На

промежутке

	;	2
	;	3
3		3

 

фигуры нет, так как

sin 3φ<0

(см. рис. 27).

Рис.27

В силу симметрии достаточно вычислить s половины лепестка (см. пример 4 п.7.3), а затем

- площадь заштрихованной умножить ее на шесть:


	1	6		2		2		a2	6	(1− cos 6φ)dφ=	a2		1		/6	a2
s =			a		sin		3φdφ=					φ −		sin 6φ	=	.
s =			a		sin		3φdφ=					φ −		sin 6φ	=	.
	2							4			4		6		0	24
		0							0						0

Тогда площадь всей фигуры равна

	a	2
S =		.	◄
	4

8.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть тело ограничено некоторой поверхностью и плоскостями =и = , < , причём площадь его сечения плоскостью, перпендикулярной к оси при произвольном [ , ] равна ( ).

Рис.28

Тогда можно доказать (см. [2]), что объём этого тела вычисляется по

формуле
= ∫	( ).	(8.27)

Пример 1. Сечением тела плоскостью, перпендикулярной оси и
проходящей через точку с абсциссой	x x 1;2	является квадрат, сторона

которого равна	1	. Найти объем тела.
которого равна	x	. Найти объем тела.
	x
Решение. Площадь сечения S( x) =			1
Решение. Площадь сечения S( x) =			x	2
				2

. Тогда объем тела (рис.28)

										V
	Пример						2. Вычислить
	x	2		y	2			2		x	2
2z =	x		+	y		и конусом z			=	x

	4			9						4
	4			9						4

	2	1			1	2

=				dx = −		= 0,5.
		x	2		x

	1					1

объем тела, ограниченного

	y	2
+	y		(см. [6]).
+	9		(см. [6]).
	9

◄

параболоидом

Решение. Вершины конуса и параболоида находятся в начале координат. Сечения, перпендикулярные оси и проходящие через точку , > 0, для обеих поверхностей являются эллипсами (рис.29).

Рис.29

Для параболоида:

, полуоси эллипса a = 2

2z , b = 3

18z

Для конуса:

=1, полуоси эллипса = 2 , = 3.

Сечение тела представляет собой фигуру, расположенную между двумя эллипсами. Следовательно, площадь сечения (см. пример 1 п.8.6):

( ) = (12 − 62).

				x	2		y	2				2		x		2			y	2
Решив систему уравнений: 2z =				x		+	y		и		z		=	x				+	y		, получаем, что

				4			9								4				9
				4			9								4				9
поверхности пересекаются при z = 0			(вершины) и									z = 2 .
Воспользовавшись формулой (8.27), где заменено на , вычислим
объем тела
	2	(12z − 6z		)dz		= (									)		2
			2							2				3			2
V =									6z		− 2z							= 8 .				◄

																	0
	0																0
	0

Пусть задана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции= ( ), осью и прямыми = и = , < . Если вращать эту трапецию вокруг оси , то получится тело вращения, объём которого вычисляется по формуле:

= ∫	2( ) .	(8.28)

Рис.30 Формула (8.28) является частным случаем формулы (8.27), поскольку (см.

рис.30) в поперечном сечении тела вращения – круг, следовательно, ( ) =2( ).

Пример 3. Вычислить объем тора (рис.31).

Решение. Тор можно представить как фигуру, полученную вращением окружности вокруг прямой, которую примем за ось (рис.32).

Рис.31

Рис.32

Пусть радиус окружности равен , а центр окружности находится от прямой на расстоянии , ≥ . Объем тора равен разности объемов, полученных от вращения верхней и нижней половин окружности.

Верхняя полуокружность является графиком функции 1( ) = +

√2 − 2 , нижняя полуокружность - график функции 2( ) = − √2 − 2. Тогда

= ∫

( ) − ∫

2( ) = ∫

( 2

( ) − 2

( )) =

− 1

−

∫

= 8 ∫

= 22 2 .

4 √2

−

√2 − 2 = 8

◄

−

8.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть кривая , заданная в трехмерном пространстве, в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющуюся от точки к точке. (Такие кривые называются гладкими). Разобьем ее на участков точками 0 = , 1, 2, … , = .

Рис. 33 Обозначим через ∆ длину отрезка, соединяющего точки −1 и , =

1, … , . Тогда длина ломаной (см. рис.33), вписанной в кривую , равна

	= ∑	∆ .	(8.29)
	=1

Длиной кривой называется конечный предел

= lim , (8.30)

→∞

не зависящий от способа разбиения, если ранг разбиения λ → 0, где

λ = max ∆ , = 1, … , .

(8.31)

Можно доказать (см. [2]), что для гладких ограниченных кривых предел (8.30) существует.

Пусть кривая в трехмерном пространстве (см. [6]) задана параметрически, то есть координаты точки на кривой вычисляются как значения функций, зависящих от дополнительной переменной (параметра) ,

< < : = ( ), = ( ), = ( ), где функции ( ), ( ) и ( ) имеют непрерывные производные для [ , ]. Доказано (см. [2]), что длина дуги в этом случае вычисляется по формуле

′2

( )

′2

( )

= ∫ √

( ) +

(8.32)

Для плоской кривой можно считать ( ) = 0, тогда формула (8.32)

принимает вид

′2( )

′2

= ∫ √

( ) .

(8.33)

Пример 1. Вычислить длину одного витка винтовой линии (рис.34)

x = a cos t, y = a sin t, z = ht .

Решение. Применяя формулу (8.32), вычисляем

= −a sin t,

yt = a cos t, zt = h ,

p =

−a sin t

a cos t

+ h

dt =

+ h

dt = 2

+ h

Рис.34 ◄

Если дуга является графиком однозначной функции = ( ), [ , ],< , то за параметр можно взять переменную . Тогда ′( ) = 1, и формула

(8.33) принимает вид
= ∫
= ∫	√1 + ′2( ) .					(8.34)

Пример 2. Вычислить длину дуги параболы		y =	1	x	2	от ее вершины до
Пример 2. Вычислить длину дуги параболы		y =	2	x		от ее вершины до
			2
точки A(2;2) (Рис.35).

Решение. Очевидно, что √1 + ′2( ) = √1 + 2. Применяя формулу (8.34) и пример 5 п.7.5, получаем

	1	(x				+ ln (x +			+1))	2
p =	1		x	2	+1		x	2
				2				2
	2									0
	2

5 +

1	ln (2	+
2

5 )

◄

Рис. 35

рис.36

Пример 3. Вычислить длину астроиды (рис.36, = ), кривой, которая

, > 0.

задается уравнением 3

+ 3

= 3

Решение. В силу симметрии кривой достаточно найти длину участка при

≥ 0, ≥ 0,

а затем умножить на

четыре.

Выразим через и найдем

производную

2 3

−1

= (3

− 3)2, ′ =

(3 −

3)2

(−

3 )

= − 3

(3 − 3)2.

Тогда

= 4 ∫

−1

◄

√1 + ′2 = 43 ∫

3 = 6.

Формула, подобная (8.34) получается и в том случае, когда дуга является

графиком однозначной

функции

= ( ),

[ , ],

< . Тогда

за

параметр можно взять переменную . Длина такой дуги вычисляется по формуле

= ∫
= ∫	√1 + ′2( ).	(8.35)

Если кривая описана в полярных координатах, т.е. расстояние до точек кривой от полюса определяется как функция ( ), причем кривая ограничена двумя лучами, идущими из полюса под углами и , < , (см. рис.26), то для вычисления длины дуги за параметр можно взять угол . Тогда, используя соотношения

= ( ) = ( ), = ( ) = ( ) ,

из формулы (8.33) получим, что длина дуги вычисляется с помощью интеграла

= ∫
= ∫	√2( ) + ′2( ) .	(8.36)

Пример 4. Вычислить длину кардиоиды R (φ) =1+ cos φ .

Решение. Кардиоида представлена на рисунке 32.

Рис. 32 Так как кривая симметрична относительно полярной оси, найдем длину

верхней половины и умножим ее на два. Интегрировать в этом случае надо от

0	до . Проведем вычисления						(		)			(		)
	R2	(φ) +	(	R (φ)	)	2 =		+ cos φ		2	+		−sin φ		2 = 2	+ 2cos φ
							1

и применим формулу (8.36)

Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). — М. 2003. т.1— 680с.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). — М. 2003. т.2— 864с.

3.Краснов М.Л. Вся высшая математика. Т.1. /М, Л. Краснов, Л. И. Киселев, М. И. Макаренко. – М., 2003, – 328с.

4.Краснов М.Л. Вся высшая математика. Т.2. /М, Л. Краснов, Л. И. Киселев, М. И. Макаренко. – М., 2004, – 192с.

5.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.,

1985.–384с.

6.Алексеев А.Б., Филиппова А.Ф. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие. СПб ГУТ, 2019,–

46с.

Соседние файлы в папке 1сем

#
07.03.2023445.37 Кб715. Производные.pdf
#
07.03.2023459.15 Кб696. Исследование функции.pdf
#
07.03.2023404.74 Кб697. Дифференциалы и интегралы функций.pdf
#
07.03.2023321.17 Кб687.6 - 7.8 Методы интегрирования.pdf
#
07.03.2023410.99 Кб698. Определённый интеграл.pdf
#
07.03.2023517.4 Кб688.6 Вычисление площади с помощью определённого интеграла.pdf