Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

7.6 - 7.8 Методы интегрирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

321.17 Кб

Скачать

☆

7.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Нахождение первообразных из множества элементарных функций возможно только для некоторых классов функций, в частности, для рациональных дробей (1.8).

Рациональная дробь

( ) = ( )( )

называется правильной, если степень знаменателя больше степени числителя, т.е. > , и неправильной в противном случае.

7.6.1. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби четырех типов:

;

−

;

( − )

;

2+ +

(2+ +)

Здесь , , –

вещественные

числа, -

натуральное

число,

> 1,

дискриминант = 2 − 4 < 0.

Дроби 1-го и 2-го типов интегрируются, как показано в примере 2 п. 7.3.

∫

= | − | + ,

(7.11)

−

∫

+ , > 1.

(7.12)

( − )

(1− )( − )

−1

Дробь 3-го типа интегрируется, как в примере 1 п. 7.4. В результате:

∫

ln(2 + + ) +

2 −

+ .

(7.13)

2+ +

√4 −2

Для интегрирования дроби 4-го типа используется замена = + 2 и

алгоритм понижения степени знаменателя, как в примере 4 п. 7.5, (см., например, [2]).

7.6.2. Интегрирование правильных рациональных дробей

Для правильной рациональной дроби верно утверждение: любая правильная дробь раскладывается в сумму простейших дробей

(доказательство см. в [2]). ■

Следовательно, для интегрирования правильной дроби ее надо разложить на простейшие и проинтегрировать их.

Алгоритм разложения дроби на простейшие состоит в следующем.

Сначала пишут разложение знаменателя дроби на множители, в соответствии с ним - необходимый вид разложения дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами, затем находят числовые значения коэффициентов, используя сочетание двух методов: метода подстановки и метода приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Пример 1. Разложить дробь на простейшие.

3+1

Решение. Знаменатель дроби раскладывается на множители как сумма кубов:3 + 1 = ( + 1)( 2 − + 1). Тогда разложение дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами имеет вид:

3 = + + .3+1 +1 2− +1

Приведя к общему знаменателю и приравняв числители, получим равенство 3 = ( 2 − + 1) + ( + )( + 1). Отсюда, подставляя = −1 и = 0, находим коэффициенты = −1 и = 1. Далее, приравняв коэффициенты при степенях 2, получим + = 0, то есть = 1. Окончательное разложение имеет вид:

3 = −1 + +1 . ◄3+1 +1 2− +1

Рассмотрим пример интегрирования правильной дроби. Пример 2. Найти интеграл ∫ 33+1.

Решение. Используем разложение подынтегральной дроби на простейшие, полученное в примере 1, и интеграл из примера 1 п. 7.4. Тогда

∫

= − ∫

+ ∫

( +1)

= − | + 1| +

ln( 2 − + 1) +

3+1

2− +1

2 −1

(2− +1)

2 −1

√3

+ =

+ √3

+ . ◄

( +1)2

√3

7.6.3. Интегрирование неправильных рациональных дробей

Для неправильной рациональной дроби имеет место следующая

Теорема (доказательство см. в [2]). Неправильная рациональная дробь представима в виде

		( )				( )
				=	( ) +			,	(7.14)
			( )	=	( ) +		( )	,	(7.14)
			( )	−			( )

где	( ) и ( ) – многочлены степеней − и , < , соответственно.
−

■

Из формулы (7.14) следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример. Найти интеграл ∫ (6−1) .

2(2+1)2

Решение. Проведем деление многочленов в подынтегральной функции, тогда

6−1	= 1 −	24+ 2+1
			.
2(2+1)2		2(2+1)2

Разложение получившейся правильной дроби на простейшие имеет вид:

24+ 2+1

−

2(2+1)2

2+1

(2+1)2

Тогда, используя таблицу и пример 4 п. 7.5, получим

(6−1)

∫

= ∫(1 −

−

) = +

− +

2(2+1)2

2+1

(2+1)2

(2+1)

+ + = +

+ .

◄

(2+1)

7.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Пусть подынтегральная функция имеет вид


( ) = ( , (	+					+
			)		, (		) , … ),	(7.15)
	+					+
где - рациональная функция своих аргументов, ≠ , а								, , … -
рациональные числа. Тогда, сделав замену
=		+		,				(7.16)

		+
где - общий знаменатель всех дробей						, , … , получим интеграл от
рациональной дроби с аргументом .

Доказательство. В этом случае показатели степени , , … являются целыми числами. Из равенства (7.16) следует, что

= − , = ( − ) −1 . − ( − )2

Тогда при подстановке в (7.15) получаем рациональную функцию от аргумента . ■

Пример. Найти интеграл

x +

Решение. Замена (7.16) в этом случае имеет вид

x = t

dx =

dt =

− t +1−

6 t

dt =

x +

dx =

+ t

t +1

= 2t

− 3t

+ 6t

− 6ln t +1 + C

= 2

x − 3

x + 6

x − 6ln

+1 + C.

◄

Примеры интегрирования других иррациональных выражений см. в [2].

7.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Пусть подынтегральная функция имеет вид

( ) = ( , ),

(7.17)

где - рациональная функция своих аргументов. Тогда замена

=		(7.18)
	2

приводит к интегралу от рациональной дроби с аргументом .

Доказательство. Так как t = tg	x	, то	x = 2arctgt, dx =	2
Доказательство. Так как t = tg	2	, то	x = 2arctgt, dx =	+ t
			1	+ t

косинус выражаются через тангенс половинного угла по формулам:

. Функции синус и

2tg

− tg

2 x

1 − t2

sin x =

, cos x =

+ t2

1+ tg

2 x

+ tg

2 x

1 + t2

Следовательно, при подстановке в (7.17) получаем новую рациональную функцию от аргумента . ■

Пример 1. Найти интеграл 22 +−cossin xx dx .

Решение. Сделаем замену t = tg

2 −

2 − sin x

+ t

2dt

dx =

+ cos x

1− t

1+ t

Разложение дроби на простейшие имеет вид

	4t	2	− 4t + 4
(
	t2 +			)(	t2	)
			3			+1

	4t2 − 4t + 4				=	At + B			+	Mt + N
(	2	)(	2	)			2				2
						t		+ 3		t	+1
	t + 3		t +1

Приведя к общему

4t	2	− 4t + 4

знаменателю, получаем

(

)

(

)

(

)

t2 + 3

= At

+ B

+ Mt

+ N

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях:

A + M = 0,

B + N = 4,

t :

A + 3M = −4,

B + 3N = 4.

Следовательно,

A = 2, B = 4, M = −2, N = 0 .

− 4t + 4

+ 4

−2t

dt =

dt +

dt −

dt =

(

)(

)

+ 3

= ln(t

+ 3) +

arctg

t − ln(t

+1) = ln

arctg

t =

1− t

2 +

arctg

t =

Подставляя t

−

tg	x	, получаем
tg	2	, получаем
	2
sin x			dx =ln (2 + cos x)+	4		1		x	+ C .
					arctg		tg			◄
cos x								2
				3		3
				3		3

Для подынтегральной функции ( , ), обладающей некоторой симметрией, возможна другая, более простая, замена переменной. В частности, возможны следующие варианты.

1. Если, R (−sin x,cos x) = −R (sin x,cos x)то подстановка t = cos x .

2.Если R (sin x, −cos x) = −R (sin x,cos x)то подстановка t = sin x .

3.Если R (−sin x, −cos x) = R (sin x,cos x)то подстановка t = tgx (или t = ctgx ).

sin

Пример 2. Найти интеграл

dx .

2 + cos x

Решение. Так как

R (sin x, −cos x)

= −R (sin x,cos x)

сделаем подстановку

t = cos x

sin3 xdx

sin2

x sin xdx

cos x = t,

t2 −1

dt =

t − 2

dt =

2 + cos x

+ cos x

−sin xdx = dt

t + 2

t +

=t2 − 2t + 3ln t + 2 + C

sin

xdx cos

− 2cos x + 3ln (2 + cos x)+ С.

2 + cos x

◄

Пример 3. Найти интеграл

sin2 x

dx .

4sin2

x − cos2 x

Решение. Так как

R (−sin x, −cos x)

= R

(sin x,cos x)

сделаем подстановку

t = ctgx

dx =

d (ctgx)

ctgx − 2

+ C .

◄

ctgx + 2

4sin

x − cos

− ctg

x sin

ctg

x − 4

Соседние файлы в папке 1сем

#
07.03.2023392.96 Кб704. Бесконечно малые и непрерывности.pdf
#
07.03.2023421.15 Кб704.1 Бесконечно малые и непрерывности2.pdf
#
07.03.2023445.37 Кб715. Производные.pdf
#
07.03.2023459.15 Кб696. Исследование функции.pdf
#
07.03.2023404.74 Кб697. Дифференциалы и интегралы функций.pdf
#
07.03.2023321.17 Кб687.6 - 7.8 Методы интегрирования.pdf
#
07.03.2023410.99 Кб698. Определённый интеграл.pdf
#
07.03.2023517.4 Кб688.6 Вычисление площади с помощью определённого интеграла.pdf