ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Методички от Алексеева PDF (в порядке посылаемости) — копия / 1сем / 7. Дифференциалы и интегралы функций

6.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ

6.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 1-ГО ПОРЯДКА И ЕГО СВОЙСТВА

где дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то есть

= ∆.

Из формулы (6.1) следует, что производную ′( ) можно рассматривать как отношение дифференциалов .

Геометрический смысл дифференциала и его отличие от приращения функции видны на рисунке 19.

Рис. 19

Из (4.6) следует связь между приращением функции ∆ ( ) и ее

где (∆ ) – бесконечно малая при ∆ → 0.

Следовательно, дифференциал отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка и используется поэтому в приближенных вычислениях вместо приращения функции.

Свойства 1-го дифференциала. 1. (( )) = ( ), = .

2.(( ) + ( )) = ( ) + ( ).

3.(( )( )) = ( )( ) + ( )( ).

4. (( )( )) = ( )( )− ( )( ).

5. Дифференциал 1-го порядка обладает свойством инвариантности, то есть выражение для дифференциала одинаково в случаях, когда х – независимая переменная или сама является функцией.

Доказательство. Пусть = ( ), = ( ).

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

= ( ( ( ))) = ′ ′ = ′ . ■

Доказательства остальных свойств дифференциала следуют из свойств производных (п. 4.2.2).

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И ИХ СВОЙСТВА

Пусть функция = ( ) имеет производную –го порядка в точке .

Д и ф ф е р е н ц и а л о м - г о п о р я д к а ф у н к ц и и ( ) в этой точке называется дифференциал от дифференциала ( − 1)-го порядка, то есть

Из формулы (6.4) следует, что производную –го порядка ( )( ) также

можно рассматривать как отношение ( ).

Для дифференциалов высших порядков сохраняются свойства 1. и 2. Свойства 3. и 4. усложняются, так как усложняются формулы для производных высших порядков, в частности, свойство 3. записывается через биномиальные коэффициенты . Например,

2( ) = (′′ + 2′ ′ + ′′)( )2 = 2 + 2 + 2 . (6.5)

Свойство инвариантности 5. не сохраняется для дифференциалов высших порядков.

7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

7.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

Пусть функция ( ) определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси. Функция ( ) называется первообразной функции ( ), если во всех внутренних точках промежутка функция ( ) имеет производную и

Легко проверить, что первообразная у функции не единственна.

Свойства первообразных одной функции сформулируем в виде двух теорем.

Теорема 1. Если функция ( ) – первообразная функции ( ), то и функция 1( ) = ( ) + , где - любая постоянная, также является первообразной той же функции ( ).

Доказательство. Условие (7.1) для функции 1( ) проверяется дифференцированием

1′( ) = ( ( ) + )′ = ′( ) + ′ = ( ) + 0 = ( ). ■

Верно и обратное утверждение.

Теорема 2. Пусть 1( ) и 2( ) – две первообразные одной функции ( ) на некотором промежутке. Тогда на этом промежутке

1( ) − 2( ) = ,

где – постоянная.

Доказательство. Введем функцию ( ) = 1( ) − 2( ). Очевидно, ее производная на нашем промежутке равна нулю:

′( ) = 1′( ) − 2′( ) = ( ) − ( ) = 0.

Остается сослаться на п. 5.2 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). ■

7.2.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Неопределенным интегралом от функции ( ) называется совокупность всех первообразных этой функции и обозначается

Выражение ( ) в (7.2) называется подынтегральным выражением, а ( ) – подынтегральной функцией , процесс отыскания первообразных – интегрированием.

где ( ) – первообразная функции ( ).

Такой прием называется подведением под знак дифференциала.

В частности, его можно применить для доказательства (7.4).

Пример 1. Найти интеграл ∫ ( +1) .

2− +1

Решение. Используя производную знаменателя, разложим интеграл в сумму двух интегралов:

∫2− +1 = 2 ∫ 2− +1 + 2 ∫ 2− +1.

Впервом интеграле сделаем замену: = 2 − + 1, = (2 − 1) .

Тогда (заметим, что > 0)

Во втором интеграле (см. пример 5 п. 7.3) в знаменателе выделим полный квадрат

2 − + 1 = ( − 12)2 + 34

исделаем замену: = − 12 , = . Тогда

Следовательно,