ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Методички от Алексеева PDF (в порядке посылаемости) — копия / 1сем / 6. Исследование функции

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Главную роль при исследовании поведения функции и построении ее графика играет производная этой функции. Основные моменты исследования опираются на следующие теоремы.

5.1. Теоремы о дифференцируемых функциях

некоторой внутренней точке 0 ( , ) функция ( ) достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Тогда в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.

′( 0) = 0.

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай наибольшего значения. Так как функция ( ) достигает своего наибольшего значения во внутренней точке 0 ( , ), то точка 0 является точкой локального максимума. Докажем, что в точке 0 производная функции ( ) равна нулю. Напомним, что

′( 0) = lim ( 0+∆ )− ( 0). ∆ →0 ∆

Поскольку ( 0) - точка максимума функции ( ), то

( 0 + ∆ ) − ( 0) ≤ 0.

′( 0 + 0) ≤ 0.

Так как производная ′( 0) существует, из равенства (4.4) следует, что полученные неравенства выполняются только в случае ′( 0) = 0.

Случай наименьшего значения рассматривается аналогично. ◄

Теорема Ролля.

Пусть функция ( ) непрерывна на замкнутом интервале [ , ] и дифференцируема внутри этого интервала, т.е. при ( , ), причём ( ) =( ). Тогда существует такая точка 0 ( , ), что ′( 0) = 0.

Доказательство.

1)Если функция ( ) = С = , то её производная равна нулю (см. (4.3)) в любой точке ( , ).

2)Если функция ( ) - не константа, то в силу равенства значений функции на концах

по теореме Вейерштрасса существует такая внутренняя точка 0 ( , ), что значение( 0) является наибольшим или наименьшим значением функции ( ) на интервале [ , ].

Для доказательства теоремы остается сослаться на теорему Ферма. ◄

Теорема Лагранжа.

Пусть функция ( ) непрерывна на интервале [ , ] и дифференцируема внутри этого интервала. Тогда существует такая точка 0 ( , ), что

существует такая точка 0 ( , ), что ′( 0) = 0. Но ′( ) = ′( ) − . Следовательно,

′( 0) − = 0, откуда

′( 0) = = ( )− ( ). ◄−

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что если дифференцируемая функция на концах интервала принимает равные значения, то хотя бы в одной точке интервала касательная к графику функции горизонтальна, а геометрический смысл теоремы Лагранжа – в том, что хотя бы в одной точке интервала касательная к графику функции параллельна секущей, проходящей через концы графика (см. рис. 16).

доказательство теоремы Лагранжа, приходим к формуле (5.6). ◄

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при ( ) = .

5.2. Возрастание, убывание, экстремумы функции

Теорема (Необходимое и достаточное условие постоянства функции).

Функция ( ) = на промежутке ( , ) тогда и только тогда, когда

′( ) = 0 при ( , ).

Доказательство. 1) Если ( ) = на промежутке ( , ), то (см. (4.3))

′( ) = 0 при ( , ).

2)Пусть ′( ) = 0 при ( , ). Возьмем из этого промежутка две

любые точки 1 и 2 такие, что 1 < 2, и применим к ним формулу Лагранжа (5.2). Так как производная в любой точке равна нулю, то ( 1) = ( 2) и, следовательно, функция ( ) принимает одно и то же значение во всех точках промежутка, то есть является константой. ◄

Теорема (Необходимое условие возрастания (убывания) функции).

Если функция ( ) возрастает (убывает) и дифференцируема во всех точках промежутка ( , ), то ′( ) ≥ 0 ( ′( ) ≤ 0) при ( , ).

Доказательство. Пусть ( ) возрастает. Тогда ∆ ( ) = ( + ∆ ) − ( ) > 0 при

Аналогичным образом рассматривается случай убывающей функции. ◄

Теорема (Достаточное условие возрастания (убывания) функции).

Если функция ( ) дифференцируема и ′( ) > 0 ( ′( ) < 0) при ( , ), то ( ) возрастает ( ( ) убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Пусть ′( ) > 0. Пусть 1 и 2 - произвольные точки из промежутка ( , ) такие, что 1 < 2. По теореме Лагранжа (формула (5.2)) существует такая точка

0, 1 < 0 < 2, что

( 2) − ( 1) = ′( 0)( 2 − 1).

Поскольку выполняются неравенства ′( 0) > 0, 2 − 1 > 0, то ( 2) − ( 1) > 0, и следовательно, ( ) - возрастающая функция.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда ′( ) < 0. ◄

Теорема (Необходимое условие существование экстремума).

Пусть при ( , ) функция ( ) непрерывна и точка 0 ( , ) является точкой экстремума этой функции. Тогда производная ′( ) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Если производная ′( ) в точке экстремума 0 и ее окрестности существует, то утверждение теоремы следует из теоремы Ферма.

◄

Замечание. Если в некоторой точке 0 производная функции ( ) равна нулю (такие точки называются с т а ц и о н а р н ы м и или

п о д о з р и т е л ь н ы м и н а э к с т р е м у м для этой функции), то из этого не следует, что 0 - точка экстремума функции.

Например, рассмотрим функцию = 3. Её производной является функция ′ = 32, ′(0) = 0, но точка 0 = 0 не является точкой экстремума функции, так как = 3 > 0 для > 0 и = 3 < 0 для < 0.

Теорема (Достаточное условие существования экстремума).

Пусть функция ( ) непрерывна в некоторой окрестности точки 0 и дифференцируема в этой окрестности за исключением, быть может, самой точки 0. Тогда:

1)если при переходе через точку 0 слева направо производная ′( ) меняет знак с плюса на минус, то 0 - точка максимума;

2)если при переходе через точку 0 слева направо производная ′( ) меняет знак с минуса на плюс, то 0 - точка минимума;

3)если при переходе через точку 0 производная ′( ) не меняет знака, то в точке 0 нет экстремума.

Доказательство. Докажем пункт 1). Действительно, если левее точки 0 производная положительна, а правее – отрицательна, то левее точки 0 функция возрастает, а правее – убывает. Следовательно, 0 - точка максимума.

Аналогично доказываются пункты 2) и 3). ◄

Замечание. Если производная существует в точке экстремума и ее окрестности и непрерывно меняется от точки к точке (что обеспечивает непрерывное изменение касательной), то такой экстремум называется г л а д к и м , если производная в точке экстремума не существует, то экстремум называется о с т р ы м .

5.3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции

Напомним определение: функция ( ), ( , ), называется выпуклой (вогнутой), если её график расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции (см. рисунки 8 и 17). Приведённое определение предполагает дифференцируемость функции в точках ( , ), т.к. существование касательной равносильно существованию производной ′( ) (геометрический смысл производной).

Рис. 17

Теорема (Достаточный признак выпуклости (вогнутости) функции).

Пусть функция ( ) при ( , ) имеет вторую производную ′′( ), причем ′′( ) < 0 ( ′′( ) > 0). Тогда ( ) выпукла (( ) вогнута) на этом промежутке.

Доказательство. Пусть , 0 ( , ), ≠ 0. Проведем касательную к графику функции в точке 0: = ′( 0)( − 0) + ( 0). Обозначим для удобства через ( ) значение ординаты на касательной в точке и рассмотрим

( ) − ( ) = ( ) − ( 0) − ′( 0)( − 0).

К разности ( ) − ( 0) применим формулу (5.5), считая ∆ = − 0. Тогда

( ) − ( ) = ′( 0 + ∆ )∆ − ′( 0)∆ = ( ′( 0 + ∆ ) − ′( 0))∆ .

Аналогично, применяя формулу (5.5) к разности ′( 0 + ∆ ) − ′( 0), получим

( ) − ( ) = ′′( 0 + 1 ∆ ) ∆ ∆ = ′′( 1) ∆ 2, где , 1 (0,1), 1 ≠ 0.

Следовательно, если ′′( 1) < 0, то график функции ( ) в точке ниже касательной, если ′′( 1) > 0, то график выше касательной. ◄

Теорема (Достаточное условие существования точек перегиба).

Пусть функция ( ) непрерывна в точке 0 и некоторой ее окрестности. Пусть в этой окрестности существует вторая производная ′′( ) за исключением, быть может, самой точки 0. Если при переходе через точку 0 производная ′′( ) меняет знак, то 0 - точка перегиба.

Доказательство следует из теоремы о выпуклости (вогнутости) функции). ◄