ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Методички от Алексеева PDF (в порядке посылаемости) — копия / 1сем / 5. Производные

Рис. 14

Производная функции ( ) в точке равна тангенсу угла наклона касательной (г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й ), проведённой к графику функции в этой точке, что хорошо видно на рисунке 14.

Уравнение касательной в точке 0 имеет вид

= ( − 0) + ( 0),

Пример 4.1. Для функции = производная ′ = 1 в любой точке. Это следует из того, что ∆ ( ) = ∆ = ∆ . ◄

Также из определения производной (4.2) следует Теорема 1. Пусть = ( ). Тогда в любой точке производная ′ =

0.

Доказательство. Очевидно, что в любой точке приращение функции

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м . Если в точке существует производная ′( ), то функция ( ) называется д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в этой точке.

Через односторонние пределы можно ввести односторонние производные

′( − 0) – производная слева в точке и ′( + 0) - производная справа в

точке . Из теоремы 4 (об односторонних пределах) п. 2.3, следует Теорема 2. Для существования производной ′( ) в точке необходимо

и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны односторонние

Пример 4.3. Производная функции = | | равна 1 при > 0, равна –1 при < 0 и не существует в точке = 0. ◄

Если какая-то из односторонних производных в точке равна бесконечности, это значит (см. г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й ), что касательная при приближении к этой точке становится вертикальной.

Пример 4.4. Найдем производную функции = √| |. Если ≠ 0, то

Если → +0, то ′ → +∞, если → −0, то ′ → −∞ (см. рис.15).

Рис.15

4.2.СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ

4.2.1.Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x , то она непрерывна

в этой точке.

Доказательство.

Из существования конечного предела (4.2) и теоремы 2 из п. 2.1 следует,

что

Замечание. Обратное неверно. То есть из непрерывности функции не следует существования её производной. Например, функция = | | непрерывна на всей числовой оси, но в точке = 0 у неё нет производной.

4.2.2. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями

Приведем свойства производных, связанные со сложением, умножением и делением дифференцируемых функций.

Пусть функции ( ) и ( ) - дифференцируемы в точке , = . Тогда верны следующие формулы.

1.c = 0,

2.(cf ( x)) = cf ( x),

3.( f ( x) g( x)) = f ( x) g ( x),

4.( f ( x)g( x)) = f ( x)g( x) + f ( x)g ( x),

Доказательство 1-ой приведено выше (см. (4.3)). Остальные доказательства опираются на теоремы о пределах и теорему из п. 4.2.1. Приведем для примера

Доказательство 4-ой. Зададим приращение аргумента ∆ и найдем приращение функции ( ) = ( ) ( ):

∆ ( ) = ( + ∆ ) ( + ∆ ) − ( ) ( ) = ( + ∆ ) ( + ∆ ) −( ) ( + ∆ ) + ( ) ( + ∆ ) − ( ) ( ) = ∆ ( ) ( + ∆ ) + ( )∆ ( ).

Используем формулу (4.6). Тогда

∆ ( ) = ( ′( )∆ + (∆ )∆ ) ( + ∆ ) + ( )( ′( )∆ + (∆ )∆ ).

Здесь (∆ ) → 0 и (∆ ) → 0 при ∆ → 0. Разделим на ∆ и устремим ∆ → 0. Тогда

∆ ( ) = ′( ) ( + ∆ ) + ( ) ′( ) + (∆ ) ( + ∆ ) + (∆ ) ( ) →

∆

′( ) ( ) + ( ) ′( ),

т.к. ( + ∆ ) → ( ) в силу непрерывности функции ( ). ◄

4.2.3. Производная обратной функции

Теорема. Если = ( ) - обратимая дифференцируемая функция, то

обратная функция = ( ) тоже является дифференцируемой функцией,

причем производные взаимно-обратных функций в точках и , связанных соотношениями = ( ) и = ( ), удовлетворяют равенству