ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Методички от Алексеева PDF (в порядке посылаемости) — копия / 1сем / 4.1 Бесконечно малые и непрерывности2

2.5. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Для сравнения бесконечно малых при → 0 используется предел их отношения.

Бесконечно малые ( ) и ( ) называются бесконечно малыми о д н о г о п о р я д к а , если

то ( ) и ( ) называются э к в и в а л е н т н ы м и .

то ( ) называется бесконечно малой в ы с ш е г о п о р я д к а п о с р а в н е н и ю с бесконечно малой ( ).

сравнимы между собой.

Для бесконечно малых верны следующие свойства.

1. Если α (x) β (x), β (x) γ (x), то α (x) γ (x).

2. Пусть α (x) β (x). Тогда γ( x) = α (x)− β (x) – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них:

Другими словами, если под знаком предела бесконечно малая входит как сомножитель в некоторое выражение, то ее можно заменить на ей эквивалентную. Это утверждение называется п р и н ц и п о м э к в и в а л е н т н о с т и .

2.6. ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

На основании замечательных пределов можно составить таблицу

Таблица эквивалентных бесконечно малых, их свойства и теоремы о пределах используются для нахождения пределов.

Примеры:

стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной.

Примеры:

2.7. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ

Для сравнения бесконечно больших также используется предел их отношения. Не останавливаясь подробно, заметим, что определения бесконечно больших о д н о г о п о р я д к а , э к в и в а л е н т н ы х и п р и н ц и п э к в и в а л е н т н о с т и с о х р а н я ю т с я .

В частности, многочлен при x → эквивалентен своему старшему члену,

Аналогично находятся пределы и для выражений, содержащих дробные степени.

Решение. Выделив старшие степени в числителе и знаменателе, получим

остальные основные элементарные функции непрерывны в любой точке , где они определены. Тогда из свойств непрерывных функций следует очень важная

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. ◄

В частности, эта теорема применяется для нахождения пределов.

Аналогично с определением односторонних пределов вводится понятие

н е п р е р ы в н о с т и ф у н к ц и и с п р а в а и с л е в а в точке 0. А именно, если

то функция ( ) называется непрерывной справа в точке 0.

Из теоремы об односторонних пределах п. 2.3. следует еще одно,

3.2. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА МНОЖЕСТВЕ, И ИХ СВОЙСТВА

Функция ( ) называется н е п р е р ы в н о й в о т к р ы т о м и н т е р в а л е

( ; ), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если в граничных точках и замкнутого промежутка [ ; ] функция( ) непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то она называется н е п р е р ы в н о й н а з а м к н у т о м п р о м е ж у т к е [ ; ].

Для функций, непрерывных на замкнутом промежутке имеют место

теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.

Теорема Вейерштрасса.

Пусть функция ( ) непрерывна на [ ; ]. Тогда она на этом промежутке достигает наибольшего и наименьшего значений, то есть существуют точки1, 2, принадлежащие [ ; ], такие что ( 1) = , ( 2) = , где – наименьшее, а - наибольшее значения ( ).

Теорема Больцано-Коши.

Пусть функция ( ) непрерывна на [ ; ], – наименьшее, а - наибольшее значения ( ) на [ ; ]. Тогда для любого числа , ≤ ≤ , существует хотя бы одно число , ≤ ≤ , такое что ( ) = .

3.3. КЛАССИФИКАЦИЯ РАЗРЫВОВ

Если функция ( ) не является непрерывной в точке 0, то есть нарушается любое определение непрерывности, то говорят, что функция

имеет р а з р ы в в точке 0.

Классификация разрывов строится по нарушениям определения (3.5), то есть связана с поведением функции слева и справа от точки разрыва.

Если оба односторонних предела в точке 0 конечны, то говорят, что в этой точке р а з р ы в п е р в о г о р о д а . При этом различают два типа разрывов.

У с т р а н и м ы й р а з р ы в . Так называется разрыв, если односторонние

определена в точке 0. Такую функцию можно «исправить», сделать непрерывной.

(рис. 1) (теорема 3 из свойств непрерывных функций). При этом выполнено (3.6), а именно,

С к а ч о к . Так называется разрыв, если односторонние пределы конечны, но они не равны между собой.

Решение. Функция непрерывна на каждом из заданных промежутков, но может терпеть разрыв на границах. Определим непрерывность в точках:

один из односторонних пределов обращается в бесконечность или не существует.

На рисунке 3 изображены примеры функций, имеющих разрыв второго рода.

Рис. 3