Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

4. Бесконечно малые и непрерывности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

392.96 Кб

Скачать

☆

2.5. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Для сравнения бесконечно малых при → 0 используется предел их отношения.

Бесконечно малые ( ) и ( ) называются бесконечно малыми о д н о г о п о р я д к а , если

lim	α (x)	= c, c 0, c .
lim	β (x)	= c, c 0, c .
x→x	β (x)
0
В частности, если
	lim		α (x)	=1	,
	lim		β (x)	=1	,
	x→x		β (x)
	0

то ( ) и ( ) называются э к в и в а л е н т н ы м и .

Обозначение: ( )~ ( ).
Если
lim	α (x)	= 0	,
lim	β (x)	= 0	,
x→x	β (x)
0

то ( ) называется бесконечно малой в ы с ш е г о п о р я д к а с бесконечно малой ( ).

Обозначение: α (x) = o (β (x))

при → 0 Читается:

α (x)

п о с р а в н е н и ю

есть	- малое по

сравнению с β (x)при

α (x)

Если lim ( )

x→x0 β x

→ x0 .

не существует, то бесконечно малые ( ) и ( ) не

сравнимы между собой.


Для бесконечно малых верны следующие
1. Если α (x)	β (x), β (x)		γ (x), то α (x)
2. Пусть α (x)		β (x). Тогда γ( x) = α (x

свойства.

γ (x).

)− β (x)

– бесконечно малая

высшего порядка по сравнению с каждой из них:
α (x)		β (x), γ( x) = α (x)−β (x) γ( x) = o (α (x)); γ( x) =
3.	Если α (x) = o (β (x)), то ( ) +( ) ~ ( ).
4.	Если α (x) α1 (x), β (x)			β1 (x), то
		lim	α (x) f ( x)		= lim	α1 (x) f ( x)	.
				β (x)		β1 (x)
		x→x0			x→x0

o (β (x))

Другими словами, если под знаком предела бесконечно малая входит как сомножитель в некоторое выражение, то ее можно заменить на ей эквивалентную. Это утверждение называется п р и н ц и п о м э к в и в а л е н т н о с т и .

2.6. ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

На основании замечательных пределов можно составить таблицу

эквивалентных бесконечно малых при

x → 0 .

sin x

tgx

arc sin x

arctgx

1− cos x

−1

x ln a,

−1

x),

log

(1+ x)

ln (1

+ x)

ln a

(1+ x)

−1

γ x.

Заметим, что слева от знака эквивалентности стоят различные функции, а справа степенная функция.

Таблица эквивалентных бесконечно малых, их свойства и теоремы о пределах используются для нахождения пределов.

Примеры:

1− cos5x

25x

/ 2

lim

= lim

1+ 2x −1

x→0 x

x→0

1− 2

3x ln 2

lim

ln 2

x→0

Если при вычислении пределов с неопределенностью

0

0

переменная

стремится к числу, отличному от нуля, то для возможности использовать таблицу, сначала необходимо сделать замену переменной.

Примеры:

sin 3 x

y =1− x,

sin (3 − 3 y)

1) lim

y → 0,

= lim

x→1 sin 2 x

y→0 sin (2 − 2 y)

x =1− y

lim

sin 3 y

3 y

= −

y→0 sin (−2 y)

−2 y

2) lim

1+ cos x

y =1− x,

→ 0,

x→1 x

− 2x +1

=1− y

1− cos y

lim

y→0

= lim	1+ cos (
		2
y→0	y

− y)	=

2.7. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ

Для сравнения бесконечно больших также используется предел их отношения. Не останавливаясь подробно, заметим, что определения

бесконечно больших о д н о г о п о р я д к а ,

э к в и в а л е н т н ы х и п р и н ц и п

э к в и в а л е н т н о с т и с о х р а н я ю т с я .

В частности, многочлен при x → эквивалентен своему старшему члену,

т.е.

−1 + + ~ , → ∞.

−1

Следовательно,

lim

an xn + an−1xn−1 + ... + a0

= lim

an xn

xm + b

xm−1 + ... + b

x→ b

m−1

После

сокращения

степеней

получаем один из

следующих

ответов:

(n m);

(n = m); 0(n m) .

Аналогично находятся пределы и для выражений, содержащих дробные

степени.

Пример. Найти lim

4 − 5x + x

x→

+ 4x

+ 45 + 2x

Решение. Выделив старшие степени в числителе и знаменателе, получим

3x4 − 5x + x

lim

= lim

3 .

◄

x→ 3

x6 + 4x2 + 45 + 2x

x→

3.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

3.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция ( ) называется н е п р е р ы в н о й	в точке 0, если она
определена в этой точке, ее окрестности и
lim ( ) = (0).	(3.1)
→0

То есть для непрерывной функции возможен переход к пределу под знаком функции. Справедлива следующая очевидная

Теорема. Пусть ∆ = − 0, ∆ ( 0) = ( 0 + ∆ ) − ( 0).

Функция ( ) непрерывна в точке 0 тогда и только тогда, когда

lim ∆ ( 0) = 0.	(3.2)
∆ →0

Другими словами функция ( ) непрерывна в точке 0 тогда и только тогда, когда при стремлении к нулю приращения аргумента ∆ приращение функции ∆ ( 0) тоже стремится к нулю. Следовательно, утверждение (3.2) служит определением непрерывности функции в точке, эквивалентным (3.1).

Верны следующие теоремы, описывающие свойства функций, непрерывных в некоторой точке.

Теорема 1. Сумма непрерывных функций непрерывна. Доказательство следует из теоремы о пределе суммы. ◄ Теорема 2. Произведение непрерывных функций непрерывно. Доказательство следует из теоремы о пределе произведения. ◄

Теорема 3. Частное непрерывных функций непрерывно в той точке, в которой знаменатель не равен нулю.

Доказательство следует из теоремы о пределе частного. ◄ Теорема 4. Сложная функция, построенная из непрерывных функций,

непрерывна.

Доказательство. Пусть функция ( ) непрерывна в точке 0, а функция= ( ) непрерывна в точке 0, причем 0 = ( 0). Зададим приращение ∆ = − 0. Тогда получим для сложной функции = ( ( )) приращение

∆ = ( ( )) − ( ( 0)) = ( ) − ( 0) = ∆ ( 0). В силу (3.2) ∆ → 0 при

∆ → 0 и, следовательно, также ∆ → 0. ◄ Это свойство распространяется на любое конечное число функций,

участвующих в сложной функции.

Теорема 5. Обратная к монотонной непрерывной функции тоже непрерывна.

Доказательство. Пусть монотонная функция = ( ), непрерывная в

точке 0, имеет обратную функцию = ( ), причем 0 = ( 0) и 0 =( 0). В силу взаимно-однозначной зависимости утверждения ∆ → 0 и ∆ →

0 равносильны, то есть, как из первого следует второе, так и из второго – первое, что означает непрерывность функции = ( ) в точке 0. ◄

Формула (2.3) и теорема о пределе постоянной доказывают, что функции= и = непрерывны в любой точке вещественной оси. Доказано, что и остальные основные элементарные функции непрерывны в любой точке , где они определены. Тогда из свойств непрерывных функций следует очень важная

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения. ◄

В частности, эта теорема применяется для нахождения пределов.

Пример. Найти

lim x→

x+1 3x

(сравните решение этого примера на

прошлой лекции).
Решение. Воспользуемся свойствами логарифма ab = eb ln a	и
возможностью перехода к пределу под знаком непрерывной функции

x +1		3x
x +1
lim
x→ x + 3

	x+1	lim		2	lim		−	2
	3x ln	lim	3x ln 1−		lim	3x	−
= lim e	x+3	= ex→		x+3	= ex→			x+3
x→

e	−6

.◄

Аналогично с определением односторонних пределов вводится понятие

н е п р е р ы в н о с т и ф у н к ц и и с п р а в а и с л е в а в точке 0. А именно, если

(0 − 0 ) = (0),	(3.3)
то функция ( ) называется непрерывной слева в точке 0. Если
(0 + 0 ) = (0),	(3.4)

то функция ( ) называется непрерывной справа в точке 0.

Из теоремы об односторонних пределах п. 2.3. следует еще одно,

эквивалентное (3.1), определение непрерывности функции в точке 0
(0 − 0 ) = (0 + 0 ) = (0).	(3.5)

3.2. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА МНОЖЕСТВЕ, И ИХ СВОЙСТВА

Функция ( ) называется н е п р е р ы в н о й в о т к р ы т о м и н т е р в а л е

( ; ), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если в граничных точках и замкнутого промежутка [ ; ] функция ( ) непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то она называется н е п р е р ы в н о й н а з а м к н у т о м п р о м е ж у т к е [ ; ].

Для функций, непрерывных на замкнутом промежутке имеют место

теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.

Теорема Вейерштрасса.

Пусть функция ( ) непрерывна на [ ; ]. Тогда она на этом промежутке достигает наибольшего и наименьшего значений, то есть существуют точки1, 2, принадлежащие [ ; ], такие что (1) = , (2) = , где – наименьшее, а - наибольшее значения ( ).

Теорема Больцано-Коши.

Пусть функция ( ) непрерывна на [ ; ], – наименьшее, а - наибольшее значения ( ) на [ ; ]. Тогда для любого числа , ≤ ≤ , существует хотя бы одно число , ≤ ≤ , такое что ( ) = .

3.3. КЛАССИФИКАЦИЯ РАЗРЫВОВ

Если функция ( ) не является непрерывной в точке 0, то есть нарушается любое определение непрерывности, то говорят, что функция

имеет р а з р ы в в точке 0.

Классификация разрывов строится по нарушениям определения (3.5), то есть связана с поведением функции слева и справа от точки разрыва.

Если оба односторонних предела в точке 0 конечны, то говорят, что в этой точке р а з р ы в п е р в о г о р о д а . При этом различают два типа разрывов.

У с т р а н и м ы й р а з р ы в . Так называется разрыв, если односторонние

пределы равны одному и тому же числу, т.е.
( 0 − 0 ) = ( 0 + 0 ) = ,		(3.6)
но значение функции ( 0) не совпадает с числом		или функция не

определена в точке 0. Такую функцию можно «исправить», сделать непрерывной.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию y =	sin x	.
	x

Решение. Функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки			x = 0

(рис. 1) (теорема 3 из свойств непрерывных функций). При этом выполнено (3.6), а именно,

Следовательно, в точке Доопределив заданную

lim	sin x	=	lim	sin x	=1.
	x			x
x→−0			x→+0
x = 0	устранимый разрыв.

функцию в точке x = 0 , получаем непрерывную

	sin x			, x 0,
функцию				, x 0,	(рис. 2).
функцию	y =	x			(рис. 2).
			x = 0
	1,		x = 0

Рис. 1

Рис. 2

С к а ч о к . Так называется разрыв, если односторонние пределы конечны, но они не равны между собой.

( 0 + 0) ≠ ( 0 − 0 ).		(3.7)
Величиной скачка называется	разность между пределом справа и
пределом слева
= ( 0 + 0)	− ( 0 − 0).	(3.8)

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

x, x (− ;1),

y = 2x −1, x 1;2),2, x 2;+ ).

Решение. Функция непрерывна на каждом из заданных промежутков, но может терпеть разрыв на границах. Определим непрерывность в точках:

x =1, x = 2
lim	x =1, lim	(2x −1) =1, f		(1) = 2x −1	x=1	=1,
lim	x =1, lim	(2x −1) =1, f		(1) = 2x −1		=1,
x→1−0	x→1+0
x→1−0	x→1+0
lim	(2x −1) = 3,	lim	2 = 2 .
x→2−0		x→2+0
Следовательно, в точке			x = 1 функция непрерывна, а в точке				x = 2 имеет
скачок. Величина скачка равна –1.				◄
Р а з р ы в о м в т о р о г о			р о д а называется разрыв, в котором хотя бы

один из односторонних пределов обращается в бесконечность или не существует.

На рисунке 3 изображены примеры функций, имеющих разрыв второго рода.

Рис. 3

Соседние файлы в папке 1сем

#
07.03.2023760.1 Кб721. Линейная алгебра.pdf
#
07.03.20231.39 Mб722. Векторы.pdf
#
07.03.2023678.08 Кб733. Функции и пределы.pdf
#
07.03.2023392.96 Кб704. Бесконечно малые и непрерывности.pdf
#
07.03.2023421.15 Кб704.1 Бесконечно малые и непрерывности2.pdf
#
07.03.2023445.37 Кб715. Производные.pdf
#
07.03.2023459.15 Кб696. Исследование функции.pdf
#
07.03.2023404.74 Кб697. Дифференциалы и интегралы функций.pdf
#
07.03.2023321.17 Кб687.6 - 7.8 Методы интегрирования.pdf