41
|
2 |
+ y |
2 |
, |
z = x |
|
|
||
|
|
|
|
|
z = 2x + 2 y. |
||||
|
|
|
|
|
Исключая переменную z, получаем уравнение, описывающее проекцию этой линии на плоскость x0y.
А именно,
x2 + y2 = 2x + 2 y (x −1)2 + ( y −1)2 = 2.
Это уравнение окружности с центром в точке |
(1,1) |
радиуса |
|
рис. 34).
R = |
2 |
(см.
Рис. 35 Кривую пересечения параметрически можно описать так:
x =1 + |
2 cost, y =1 + |
2 sin t, z = 4 + 2 |
2(sin t + cos t) = 4 + 4sin(t + |
4 |
), 0 t 2 . |
|
|
|
|
|
Или так: |
|
|
x = 2cost(sin t + cost), y = 2sin t(sin t + cost), z = 4(1 + sin 2t), − |
t 3 |
. |
4 |
4 |
|
◄
Пример 41. Касательная плоскость к параболоиду |
z = x |
2 |
+ y |
2 |
параллельна |
|
|
плоскости |
z = 2x + 2 y. |
|
Найти точку касания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Уравнение касательной плоскости к параболоиду |
z = x |
2 |
+ y |
2 |
в |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
точке с координатами |
(x |
, y |
, z |
0 |
) |
имеет вид (см. уравнение 45 и пример 39) |
|
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
2x |
|
(x − x ) + 2 y |
( y − y ) − (z − z |
0 |
) = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как эта плоскость параллельна плоскости |
2x + 2 y − z = 0 |
, то |
|
|
|
|||||||||||||
x |
=1, y |
0 |
=1. |
0 |
|
|
Тогда из уравнения параболоида получаем
z |
0 |
= 2. |
|
|
◄
42
Литература
1.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии.— М.: Наука.,
Физматлит., 2005.— 240 с: ил.
2.Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии.— М.: Наука.,
Физматлит., 1998.— 240 с: ил.
3.Данко П.Е, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 2006. Ч.1.- 304 с. - Ч.1. - 416 с.
4.Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. – СПб. : Питер, 2003с.
Дополнительная:
5.Алексеев А.Б., Филиппова А.Ф. Элементы линейной алгебры. (методические указания) ––СПбГУТ. ––43с. ил.
6.Павлов Н. Excel – готовые решения. Бери и пользуйся! / Николай Павлов.
–М.: Книга по Требованию, 2014. –382 с. ISBN 978-5-519-01837-1.
Оглавление |
|
Введение.............................................................................................................. |
3 |
1. Элементы векторной алгебры в трехмерном пространстве....................... |
4 |
1.1. Векторы. Основные определения и линейные операции .................... |
4 |
1.2. Скалярное произведение векторов ........................................................ |
9 |
1.3. Векторное произведение векторов ...................................................... |
11 |
1.4. Смешанное произведение векторов .................................................... |
13 |
2. Элементы аналитической геометрии ......................................................... |
15 |
2.1. Плоскость в пространстве .................................................................... |
15 |
2.2. Прямая в пространстве ......................................................................... |
18 |
2.3. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве ...... |
21 |
2.4 Кривые на плоскости и в пространстве ............................................... |
33 |
2.5 Поверхности второго порядка .............................................................. |
37 |
Литература ........................................................................................................ |
42 |