ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Методички от Алексеева PDF (в порядке посылаемости) — копия / 1сем / 2. Векторы

Решение. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну. Для этого можно взять две точки на одной прямой, одну на

Пример 32. Написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые:

Решение. В примере 24 показано, что заданные прямые пересекаются. Через пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и при том только одну. Сведем решение к решению примера 13. Направляющие векторы прямых, параллельные искомой плоскости, найдены в примере 24. Точку, принадлежащую плоскости, можно взять на любой прямой, в том числе и точку пересечения (пример 24). Получаем

Решить пример можно и другим способом. Надо взять на одной прямой две точки, на другой одну точку и записать уравнение плоскости, проходящей через три точки (29). Рекомендуем это проделать самостоятельно и сравнить ответы.

32

Решение. Заданные прямые являются скрещивающимися (пример 27). Следовательно, существует единственная пара параллельных плоскостей, в которых лежат эти прямые. Направляющие векторы прямых параллельны каждой из плоскостей. Вектор нормали к плоскостям N = (1;10;8). Осталось на

каждой прямой взять по точке и воспользоваться формулой (27). Возьмем точку A(0,1, −2) l1 , получим уравнение первой плоскости:

x+10( y −1) + 8(z + 2) = 0,

x+10 y + 8z + 6 = 0.

Решение. Две точки симметричны относительно плоскости, если они лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости, и находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Нормаль к плоскости является направляющим вектором прямой, перпендикулярной плоскости. Уравнения

задают прямую, перпендикулярную плоскости, и проходящую через точку

прямая и точка.

аксиоме стереометрии через прямую и точку, не лежащую на прямой, можно провести плоскость и только одну (рис. 19).

В..А

Рис. 19

Возьмем на прямой точку B(1, −1, −3) и, соединив ее с точкой A(2,5, −6) ,

Другой вариант решения задачи: взять на прямой две точки и воспользоваться формулой 29. Рекомендуем читателям проделать вычисления самостоятельно.

2.4 Кривые на плоскости и в пространстве

Одним из удобных способов описания кривой ( l ) в трехмерном пространстве является задание трех уравнений вида

где каждому значению переменной t соответствует одна и только одна точка кривой (l), причем ( x(t), y(t), z(t) ) – координаты этой точки. Переменная t

называется параметром, а уравнения (36) – параметрическим заданием кривой (l).

Кривая (l) называется гладкой , если функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные x '(t), y '(t) и z '(t).

Если на кривой задано направление , то она называется путем . В уравнениях (36) направление можно связать, например, с возрастанием параметра t.

знаменателях уравнений (37), не должно равняться нулю.

Пример 36. Найти канонические уравнения касательной к винтовой линии

Рис. 20 Рис. 21

Решение. На рис. 19 нарисован один виток винтовой линии, соответствующий

Приведем несколько примеров таких кривых.

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R2.

36

Следовательно, уравнение касательной

соответственно, что приводит к стандартному уравнению y = y0 + f '(x0 )(x − x0 ),

37

2.5Поверхности второго порядка

Втрехмерном пространстве с декартовой системой координат

Если в уравнении (42) хоть одна из переменных x, y или z входит в квадрате (или две переменные перемножаются), то такая поверхность называется поверхностью второго порядка (точное определение см. [1]). Опишем несколько различных видов таких поверхностей.

поверхность, образованная точками, удаленными на расстояние R от центра.

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2.

На рис. 26 x0 = y0 = z0 = 0.

38

описывает эллипсоид вращения (в данном случае вокруг оси Z).

Если a = b = c = R , то эллипсоид превращается в сферу радиуса R (рис.

26).

Эллиптический параболоид (рис. 28) описывается уравнением

описывает конус (рис. 29).

39

Горизонтальные сечения – эллипсы, вертикальные сечения – гиперболы,

соответственно. Уравнение

описывает гиперболический параболоид (рис. 30).4

Рис. 31 Рис. 32 Горизонтальные сечения – эллипсы, вертикальные сечения – гиперболы. Уравнение

4 Аналогичные поверхности (по-другому ориентированные относительно осей координат)

описывают и уравнения: z = axy, (a 0); z = x2 − y2 , (a 0, b 0). a2 b2

40

описывает двуполостной гиперболоид (рис. 32). Здесь тоже горизонтальные сечения – эллипсы, а вертикальные сечения – гиперболы.

Замечание. Другое распределение знаков в уравнениях (43), (44) меняет ориентацию поверхности относительно осей координат.

Если в уравнение поверхности не входит одна из трех переменных x, y или z, то поверхность называется цилиндрической , и соответствующая координатная ось параллельна этой поверхности.

Например, уравнение

описывает эллиптический цилиндр , в горизонтальных сечениях которого

параболический цилиндр , в вертикальных (перпендикулярно оси y) сечениях которого парабола (рис. 34).

Пример 39. Написать уравнение касательной плоскости к параболоиду вращения z = x2 + y2 в точке с координатами (1, −1, 2).

Решение. Линию пересечения образуют точки, удовлетворяющие системе уравнений: