2. Векторы

Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

A x + B y + C z + D = 0,

A x + B y + C

A x + B y + C

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Рис. 6

В ячейках:

A2:A4, B2:B4, C2:C4 – координаты вершин треугольника; D2:D4, E2:E4, F2:F4 – координаты соответствующих векторов;

G2:G4, H2:H4, I2:I4 – произведения соответствующих координат, причем для

определения угла B необходимо взять BA = −AB , так как векторы должны иметь начало в одной точке;

G6: I6– скалярные произведения; D9:F9 – длины векторов; D12:F12– углы в радианах;

G12 – сумма всех найденных углов в радианах; D14:F14– углы в градусах;

G14 – сумма всех найденных углов в градусах.

Результат найденного угла A подтверждает результат, найденный вручную. А значение в ячейке G14 является проверкой суммы углов треугольника. ◄

Три вектора

1.3. Векторное произведение векторов

a, b, c

образуют упорядоченную тройку ( или

про сто тройку ) векторов , если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векторов их

располагают в порядке следования. Тройка некомпланарных векторов

называется правой ( левой ) тройкой , если после приведения их к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой

векторами a и b , откуда поворот от a к b на меньший угол кажется (рис. 7а)

совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке) .

Орты

декартовой

векторов (рис. 7б).

системы координат образуют правую тройку

k	j
	j
i

		7а			7б
		Рис. 7

					и b называется вектор c
Векторным произведением векторов a					и b называется вектор c
(обозначение: a b )2, длина которого равна			a	b	sin , где	– угол между
(обозначение: a b )2, длина которого равна			a	b	sin , где	– угол между


	и	b , а направление перпендикулярно векторам a				и b , при этом
векторами a	и	b , а направление перпендикулярно векторам a				и b , при этом
векторы a,	b, c	образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения:

1)	a b = −b a ;
2)	a (b + c )= a b + a c ;
3)	( a ) b = (a b)= a ( b);
4) если a b = 0 , то a \|\| b , т.е. векторы a и b коллинеарны;
5)	площадь параллелограмма, построенного на векторах		a	и b
известно, равна		S = a b sin , т.е. модулю векторного произведения:
		S = a b .
Если векторы a и b заданы своими координатами
		a = (ax ;ay ;az ) , b = (bx ;by ;bz ) ,

то векторное произведение вычисляется по формуле

a b = (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k =

,как

(20)

(21)

i −

j +

k .

2 Для векторного и скалярного произведений в литературе употребляются и другие обозначения: для скалярного – (a, b ), для векторного – a, b .

Используя теорему разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки [4], формулу (21) можно записать в виде символического определителя, удобного для запоминания,

i		j		k
a b = a	x	a	y	a	z	.
	x		y		z
b		b	y	b
x			y	z

(22)

Пример 6. Найти векторное произведение векторов

a = (2; −4;7)

b = (5;−1;4)

Решение. Используя определитель (22), получаем

i	j	k
a b = 2	−4	7 = (−16 + 7)i − (8 − 35) j + (−2 + 20)k = −9i + 27 j +18k.
5	−1	4

◄

Пример 7. Найти площадь треугольника

ABC

, если

A(1,3, −2)

B(−2,1, 2)

C(4, −3, −1) .
Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :								)
AB =	(		)			(		)
AB =		−3;−2;4		,	AС =		3;−6;1
Вычислим векторное произведение AB AC								:

i	j	k	(		)		(			)		(		)
			(		)		(			)		(		)
AB AC = −3	−2	4 =		−2 + 24		i −		−3	−12		j +	18	+ 6		k = 22i +15 j + 24k.
3	−6	1

Площадь треугольника ABC равна половине площади

параллелограмма, построенного на векторах AB и AC . Тогда по свойству 5) и формуле (20) получаем

S =	1	AB AC =	1	22	2	+15	2	+ 24	2	=	1	484 + 225 + 576 =	1	1285	17,92.
	2		2								2		2

◄

1.4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов

(обозначение: abc ) называется число, вычисляемое как (a b ) c , т.е. abc = (a b ) c.

Свойства смешанного произведения: 1) abc = bca = cab;

(23)

				14
2)	abc = −b ac;
3)	если	a b c 0	, то три вектора в указанном порядке образуют правую
тройку,	если	a b c 0		, то – левую тройку, а если	a b c = 0 , то векторы

компланарны, т.е. смешанное произведение ненулевых векторов показывает их взаимное расположение в пространстве.

Если векторы a , b

и c представлены в координатах, т.е.

a = (ax ;ay ;az ) ,

b = (b	;b	y	;b )
x		y	z

(c	x	;c	y	;c	z	)
	x		y		z

, то

abc

вычисляется по формуле

a	x	a
	x
a bc = b		b
	x
c	x	c
	x

y	a	z

y	b .
		z
y	c	z

(24)

Тогда условие компланарности векторов

a	x	a	y	a	z

принимает вид

a bc = b		b	y	b		= 0.				(25)
	x		y		z					(25)
c	x	c	y	c	z
	x		y		z
Объем параллелепипеда, построенного на векторах							a ,	b	и	c ,

образующих правую (левую) тройку, равен смешанному произведению этих векторов (смешанному произведению этих векторов, взятому с противоположным знаком). В общем случае

	V = abc .	(26)
		(26)
Пример 8. Компланарны ли векторы:
a = 2i −10 j ,	b = i + 2 j − k ,	c = −2i + 3 j + k ?

Решение. Найдем смешанное произведение (24), (вычисление определителя третьего порядка см. в [4]),

				2	−10	0	2	−10	0	2	−10
			a b c =	1	2	−1 = −1		5	0 =	2	−10			= 0	.
			a b c =	1	2	−1 = −1		5	0 =	−1		5		= 0

				−2	3	1	−2	3	1
				−2	3	1	−2	3	1
		Следовательно, векторы компланарны.											(			)	(	◄
													(			)	(	)
Пример			9. Даны	вершины			пирамиды:		A(3, −1,		2),	B		4, 2, −3			, C 1,6, 2		,
	(	)
D		0, −4,1	. Найти объем пирамиды.

Решение. Рассмотрим векторы AB,	AC, AD
AB = (4 − 3;2 +1;−3 − 2)
(			)
AC = 1 − 3;6 +	1;	2 − 2		=
AD = (0 − 3;−4 +		1;1 − 2)

инайдем их координаты:

=(1;3;−5),

(−2;7;0), = (−3;−3;−1).

Объем пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD . Вычислим смешанное произведение векторов (24)

1	3	−5
(AB AC ) AD = −2	7	0 .
−3	−3	−1

Определитель легко вычислить в программе EXCEL [4], используя функцию МОПР (рис. 8).

Рис. 8

Получаем объем пирамиды

V =	−148	= 24,(6)	24,7.
	6

◄

2.Элементы аналитической геометрии

2.1.Плоскость в пространстве

Пусть заданы ненулевой вектор

N = ( A; B;C)

и точка

M	(x	,
0	0

y	0	, z	0	)
	0		0

Через заданную точку перпендикулярно заданному вектору можно провести плоскость и только одну.

Из определения перпендикуляра к плоскости следует, что он перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости. Следовательно, вектор

N = ( A; B;C) перпендикулярен прямой, проходящей через точку
и любую точку	M (x, y, z)	, лежащую в плоскости (рис. 9).

M	0	(x	, y	0	, z	0	)
	0	0		0		0

M0 900

Р M

			Рис. 9
Введем вектор	M	0	M = (x − x	; y − y	; z − z	)	. Тогда верно
Введем вектор		0	0	0	0		. Тогда верно

перпендикулярности двух векторов (19) N и M 0M для любой точки

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.

условие

M :

(27)

Полученное уравнение называется уравнением плоскости,

проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению .

Это уравнение, раскрывая скобки, можно привести к виду

										Ax + By + Cz + D = 0,	(28)
											(28)
где		D = −Ax			0	− By	0	− Cz	0	. Число D зависит от вектора	N = ( A; B;C) и точки
					0		0		0
M	0	(x	, y	, z	)	.
	0	0	0	0		.

Уравнение (28) называется общим уравнением плоскости . Вектор

(

A, B,C) называется нормалью к плоскости.

Пусть заданы три точки, не лежащие на одной прямой:

M	(x	,
1	1

y	, z )
1	1

M	2	(x	, y	2	, z	2	)
	2	2		2		2

и	M

3	(x	,
3	3

y	, z	3	)
3		3

. Через такие три точки можно провести

плоскость и только одну. Для любой точки

M (x,

y, z)

, лежащей в плоскости,

три вектора: M1M , M1M 2 , M1M3 M1M 3 неколлинеарны.

– компланарны, причем векторы M1M 2 и

Используя формулу (25), получим

проходящей через три заданные точки :

x − x		y − y			z − z
	1			1			1
x	− x	y	2	− y	z	2	− z
2	1		2	1		2	1
x	− x	y		− y	z		− z
3	1		3	1		3	1

Пусть заданы два неколлинеарных вектора

уравнение

= 0. a = (ax ; ay ; az

плоскости ,

						(29)
)	, b =	(	x		y	z )
	, b =		b	; b		; b

и точка

M	(x	,
0	0

y	0	, z	0	)
	0		0

. Через заданную точку параллельно этим векторам

можно провести	плоскость	и только одну. Для любой точки M (x, y, z) ,
лежащей в плоскости, три вектора:			M0M , a и b	– компланарны.
Используя	формулу	(25),	получим	уравнение плоскости ,

параллельной двум заданным векторам и проходящей через заданную точку :

			x − x0	y − y0	z − z0	= 0.
			ax	ay	az	= 0.		(30)
			bx	by	bz
Заметим,		что вектором нормали			к плоскости является			векторное
произведение	a b		.
произведение			.
Пример 10. Плоскость P проходит через точку M 0 (2, −2,5) и имеет вектор
нормали N (3;−1;2). Написать уравнение плоскости							P .

Решение. Так как известен вектор нормали и точка, принадлежащая плоскости, то по формуле (27) получаем

3(x − 2) − ( y + 2) + 2(z − 5) = 0 .

Раскроем скобки, тогда

17
3x − y + 2z −18 = 0.	◄
	◄

Пример 11. Найти уравнение плоскости, если проекцией точки M1 (4, −2,5) на искомую плоскость является точка M 2 (1,3, −4) .

Решение. Так проекция точки на плоскость есть основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, то за вектор нормали можно принять

вектор M1M 2 , и решение задачи сводится к предыдущей. Рекомендуем студентам проделать вычисления самостоятельно.

Ответ:	−3x + 5y − 9z − 48 = 0	.					◄
Ответ:		.					◄
Пример 12. Найти уравнение плоскости,					проходящей через точки		A(2, 4,3) ,
B(1, −5, 2)	и C(8,1, −3) .
Решение. Используем формулу (29), тогда
	x − 2		y − 4		z − 3
	1 − 2		−5 − 4		2 − 3	= 0.
	8 − 2		1 − 4	−3 − 3

Вынесем множитель 3 из третьей строки и сократим на него. После этого разложим определитель по элементам первой строки [4]:

x − 2	y − 4	z − 3		−9	−1		−1	−1
−1	−9	−1	= (x − 2)			− ( y − 4)
				−1	−2		2	−2
2	−1	−2

		(x − 2)(18 −1) − ( y − 4)(2 + 2) + (z − 3)(1 +
			17(x − 2) − 4( y − 4) +19(z − 3) = 0
			17x − 4 y +19z − 75 = 0.

+ ( 18)

;

z − 3)		−1	−9	= 0;
z − 3)		2	−1	= 0;
		2	−1
= 0	;

◄

Пример 13.

P : x − 3y + 2 1

Даны две плоскости

z + 5 = 0

P2 : 4x − y + z − 3 = 0

и точка

M	(2,0,5)
0

Написать

уравнение плоскости, перпендикулярной двум заданным и проходящей через заданную точку.

Решение. Если плоскости перпендикулярны, то и их нормали

перпендикулярны. Следовательно, нормали к плоскостям P	и P	параллельны
1	2

искомой плоскости.	Нормали			к		P1	и	P2
N1 = (1;−3;2), N2 = (4;−1;1). Тогда по формуле (30) получаем
		x − 2	y	z − 5
		1	−3		2	= 0,
		4	−1		1
(x − 2)	−3	2 − y	1	2	+ (z − 5)		1	−3 = 0,
	−1	1	4	1			4	−1

−(x − 2) + 7 y +11(z − 5) = 0,

−x + 7 y +11z − 53 = 0.

соответственно:

◄

Пример 14. Найти расстояние от точки

M	(2, −3,5)
0

до

плоскости

4x + 2 y + z −13 = 0 .
Решение. Расстояние	d	от

равно длине перпендикуляра , плоскость (рис. 10).

точки

M 0 (

опущенного
M.0	90	M


O

x	, y	0	,
0		0

из

z0 ) до плоскости этой точки на

Рис. 10 Длина указанного перпендикуляра равна величине проекции вектора

M 0M , где

M –

любая точка плоскости,

на вектор нормали к плоскости.

Возьмем на плоскости точку

M (0,0,13)

. Тогда вектор M0M = (−2;3;8)

. Вектор

нормали к плоскости N = (4;2;1)

. Используя формулу (18), получаем

d =

−8 + 6 + 8

1,3.

◄

+ 2

В общем виде формулу для расстояния от плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 до

точки M0 (x0 , y0 , z0 ) можно написать в двух вариантах. Первый вариант:

A(x − x

) + B

(y − y

) + C (z − z

)

d =

+ B

+ C

где (x, y, z )

– координаты любой точки, лежащей на плоскости. Так как для

этой точки

Ax + By + Cz = −D

, то

A(x − x0 )+ B (y − y0 )+ C (z − z0 ) = −Ax0 − By0 − Cz0 − D ,

и получаем другой вариант формулы

d =

Ax0 + By0 + Cz0

+ D

(31)

A2 + B2 + C 2

2.2. Прямая в пространстве

Пусть

заданы вектор

s =

(

m;n; p

), параллельный прямой, и точка

M 0 (x0 , y0 , z0 ) , принадлежащая этой

прямой.

Для любой точки M (x, y, z) ,

лежащей

на

прямой,

вектор

s = (m;n; p)

параллелен

вектору

M 0M = (x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) . По условию параллельности двух векторов (11)

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(32)
m		n
				p

Уравнения (32) называются каноническими уравнениями

а вектор s = (m; n; p) – направляющим вектором прямой .
В канонических уравнениях одно или два из чисел	l, m,
В канонических уравнениях одно или два из чисел

прямой,

p	могут

оказаться равными нулю. Обращение в нуль знаменателя означает обращение в нуль и соответствующего числителя.

Вводя параметр t , систему уравнений (32) можно переписать в виде

x = mt + x			,
	0

y = nt + y0 ,
	z = pt + z	.
	z = pt + z	.
	0

(33)

Уравнения (33) называются параметрическими уравнениями прямой . Из параметрических уравнений прямой при необходимости можно получать, задавая разные значения параметра, любое количество точек, принадлежащих прямой.

Для получения уравнений прямой , проходящей через две

заданные точки	M1 (x1, y1	, z1 )	и		M 2 (x2 , y2				, z2 )		достаточно в качестве
направляющего вектора взять вектор				M1M 2		= (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) :
	x − x		=	y − y		=	z − z			.
		1			1				1		(34)

	x	− x	y		− y		z		− z
								2
	2	1		2	1				1

Прямую в пространстве можно определить и как пересечение двух различных и не параллельных плоскостей

(35)

Так как плоскости не параллельны и не совпадают, то нормали к плоскостям не коллинеарны, и нарушается хотя бы одна из пропорций

A	=	B	=	C	.
1	=	1	=	1	.
1		1		1
A		B		C
2		2		2

Уравнения (35) называются общими уравнениями пространстве.

Пример 15. Написать уравнения прямой, проходящей через точку

прямой в

M	(3, 2, −1)
0

и параллельной вектору через точку M1 (1, −1,0) .

s = 2i + 3 j − k

. Проверить проходит ли эта прямая

Решение. По формуле (32) записываем уравнения прямой

x − 3	=	y − 2	=	z +1	.
2		3		−1

Для проверки, принадлежит ли точка координаты в полученные уравнения

1 − 3	=	−1 − 2	=	0 +1	.

2		3		−1

M	1

прямой, подставим ее

Равенства верны, следовательно, точка M1 принадлежит прямой.

◄

Пример 16. Написать уравнения прямой, проходящей через точку

и середину отрезка

AB , где

A(3, 2, −3), B(−1, 4, −1) .

M	(3, 2, −1)
0

Решение. Определим координаты точки

–

середины

формулам (13)

x =

3 −1

=1,

2 + 4

−3 −1

= −2,

и запишем уравнения прямой, проходящей через две точки C

x −1

y − 3

z + 2

3 −1

2 − 3

−1 + 2

x −1

y − 3

+ 2

−1

отрезка

и M 0

(34)

по

◄

Пример 17. Написать уравнения прямой, проходящей через начало координат

и параллельной прямой	x − 5	=	y	=	z + 5	.

2			3		−2
Решение. Если две прямые			параллельны, то они имеют одинаковые
направляющие векторы. По формуле (32), с учетом того, что точка							O(0,	0, 0)

принадлежит искомой прямой, записываем уравнения прямой в канонической форме

x	=	y	=	z	.
2		3		−2

Пример 18. Прямая задана как пересечение двух плоскостей

3x + 2 y + 3z + 4 = 0,

4x + 4 y + 5z + 6	= 0.

◄

Записать уравнения прямой в канонической и параметрической формах.

Решение. Отметим, что нормали плоскостей:

N1 = (3;2;3)и

N2 = (4;

коллинеарны, следовательно, такая прямая существует. Для записи канонической (или параметрической) форме необходимо

4;5)

– не

прямой в иметь

направляющий вектор s и какую-либо точку M1 на прямой. Так как линия

пересечения принадлежит каждой из плоскостей, то она перпендикулярна их нормалям. Следовательно, за направляющий вектор прямой можно взять

векторное произведение нормалей N1 N2 . Определим этот вектор по формуле (22)

i	j	k	2	3		3	3		3	2
s = 3	2	3 =			i −			j +			k = −2i − 3 j + 4k.
			4	5		4	5		4	4
4	4	5

Точку на прямой найдем, получив какое-нибудь решение системы

3x + 2 y + 3z + 4 = 0,

4x + 4 y + 5z + 6 = 0.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1сем

#
07.03.2023760.1 Кб721. Линейная алгебра.pdf
#
07.03.20231.39 Mб722. Векторы.pdf
#
07.03.2023678.08 Кб733. Функции и пределы.pdf
#
07.03.2023392.96 Кб704. Бесконечно малые и непрерывности.pdf
#
07.03.2023421.15 Кб704.1 Бесконечно малые и непрерывности2.pdf
#
07.03.2023445.37 Кб715. Производные.pdf
#
07.03.2023459.15 Кб696. Исследование функции.pdf