А. Б. Алексеев, А.Ф. Филиппова
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Методические указания
СПбГУТ
2018
2
Рецензент
Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом СПбГУТ
Алексеев А. Б.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии : методические указания / А. Б. Алексеев, А.Ф. Филиппова, – СПб,: Издательство СПбГУТ,2018. – 42 с.
Даны основные положения векторной алгебры в применении к аналитической геометрии, необходимые для успешного освоения других разделов математики и ее приложения к техническим дисциплинам.
Приведена необходимая литература.
Предназначено для студентов I курса всех специальностей.
© А. Б. Алексеев, А.Ф. Филиппова.,2018 ©Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального
образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича», 2018
3
Введение
Данное пособие дает возможность студентам ознакомиться с основами векторной алгебры и аналитической геометрии в трехмерном пространстве и состоит из двух соответствующих разделов. Оно предназначено студентам 1- го курса, помогает научиться решать задачи и может быть полезно всем, кого интересует достаточно компактное изложение материала.
Вкаждом параграфе изложены теоретические сведения и приведены формулы, необходимые для решения задач, а также разобраны примеры, иллюстрирующие применение этих формул.
Решение многих задач можно (и рекомендуется) проводить различными способами. Ряд задач требует вычислений, и студентам предлагается обращаться к использованию цифрового процессора EXCEL, для чего указаны стандартные функции EXCEL [4,6].
Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом.
Вкачестве дополнительных задачников и учебников с подробным изложением материала рекомендуем [1-3].
Авторы выражают благодарность А.О. Жарановой за помощь в оформлении рисунков
4
1.Элементы векторной алгебры в трехмерном пространстве
1.1.Векторы. Основные определения и линейные операции
Векто ром в трехмерном пространстве называется направленный отрезок.
B
A
Рис. 1 Вектор обозначается либо двумя буквами – своим началом и концом –
AB , либо одной малой буквой a со стрелкой. |
|
|
|||
Длина |
этого |
отрезка |
называется модулем |
( длиной) вектора и |
|
обозначается |
AB |
или, |
соответственно, |
|
В векторной алгебре |
a . |
|||||
рассматриваются свободные векторы, то есть два вектора равны, если их можно совместить благодаря параллельному переносу.
Направление вектора рассматривается либо относительно других векторов, либо относительно системы координат. Углы, которые образует вектор с осями декартовой системы координат, будем обозначать , , . Так
как эти углы могут меняться только в пределах от 0 до (углы измерены в радианах, что и будем считать в дальнейшем), то между углами и их
косинусами |
есть |
взаимно |
однозначное |
соответствие. |
Поэтому |
cos , cos , cos называются направляющими косинусами вектора. Для |
|||||
них выполняется тождество |
|
|
|
||
|
|
cos2 + cos2 + cos2 =1. |
(1) |
||
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется |
|||||
нулевым , его обозначают 0 |
. Длина нулевого вектора равна нулю, а |
||||
направление считается произвольным. |
|
|
|||
Вектор, |
длина |
которого |
равна единице, а |
направление |
совпадает с |
направлением числовой оси, называется единичным вектором или ортом
этой оси и обозначается координат обозначаются
i,
e . Орты осей декартовой системы j, k .
Векторы называются коллинеарными или параллельными
(обозначение: ||), если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых, при этом, если их направления одинаковые, то они называются
|
5 |
|
|
|
|
с о напра вл е нн ы ми |
(обозначение: ), |
в |
противном |
случае |
– |
противополо жно направленными (обозначение: )1.
Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости. Два вектора всегда компланарны.
Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора к общему началу, для этого отложим от некоторой точки
, равные, соответственно, заданным векторам a |
и b (рис. |
А
О
Рис. 2
a и b . Приведем их O векторы OA и OB
2).
В
Углом между векторами
a
и
b
называется угол
= AOB
=
(a ,b
)
.
Угол между сонаправленными векторами равен 0 радиан, между противоположно направленными – π.
|
|
|
Если угол между векторами равен |
2 |
, то такие векторы называются |
|
перпендикулярными или ортогональными (обозначение: ).
Линейными операциями над векторами называются следующие действия: сложение векторов , вычитание векторов и умножение вектора на число .
Суммой векторов |
a |
и |
b |
называется вектор |
c |
(обозначение: |
a + b |
), |
|
|
|
|
|
||||||
построенный с помощью "правила |
параллелограмма " или "правила |
||||||||
треугольника " . Для нескольких векторов используют "правило многоугольника ".
a
a a + b
b
3а
b
a |
|
b |
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
a + b |
3б
Рис. 3
a
a
b |
c |
|
|
b |
|
|
c |
|
s |
a + b + c + s |
|
3в
s
1 Нулевой вектор в силу произвольности его направления считается коллинеарным, ортогональным (см. ниже) с любым другим вектором.
6
По "правилу параллелограмма" совмещаем начальные точки векторов |
a |
|
и b и достраиваем фигуру до параллелограмма. Вектор, исходящий из общего начала и совпадающий с диагональю, является суммой векторов (рис. 3а). По "правилу треугольника" начало второго вектора совмещаем с концом первого. Суммой векторов является вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом второго (рис. 3б). На рисунках видно, что результат одинаков. Из "правила треугольника" вытекает "правило многоугольника" для нескольких векторов (рис. 3в).
Произведением вектора |
a на |
число |
|
называется |
вектор |
b , |
|||||||||
|
|||||||||||||||
(обозначение: |
a ), коллинеарный вектору |
a , имеющий длину b |
= a |
, то |
|||||||||||
же направление, что и |
a |
, если |
|
0 |
, и противоположное, если |
0 |
. Если |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
= 0 , то вектор b |
– нулевой вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычитание |
|
двух |
векторов |
|
определяется как операция, обратная |
||||||||||
сложению. А именно, |
вектор c называется разностью двух векторов |
a и b |
|||||||||||||
(обозначение: |
a − b |
), |
если |
a = b + c |
. Из "правила треугольника" получаем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
вектор, совпадающий с другой диагональю параллелограмма, (см. рис. 4а). Вычитание двух векторов равносильно сложению первого вектора со вторым, умноженным на минус единицу (рис. 4б),
a − b = a + (−1)b .
a |
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
a − b |
|
|
4а
Рис. 4
Свойства линейных операций:
1)a + = b a ,
2)a + (b + c )= (a + b )+ c = a + b + c ,
3)1 ( 2a ) = ( 1 2 )a = 2 ( 1a ),b +
4) |
( 1 + 2 )a = 1a + 2a , |
5) |
(a + b )= a + b . |
a − b
a
4б
−b −b
7
Равенство
b = a
является условием ко ллинеарности векторов a и b .
(2)
|
Проекцией вектора AB на ось |
l |
(обозначение: npl AB ) называется |
длина отрезка A1B1 (рис. 5), взятая со знаком "+", если направление вектора |
|||
A1B1 |
совпадает с направлением орта оси |
|
e (угол между векторами AB и e |
острый ), и со знаком "-", если эти направления противоположны (угол между векторами AB и e тупой).
Рис. 5
|
Для проекции вектора на ось верно соотношение |
|
|
|
|||||||
|
|
np AB = AB cos |
( |
AB,e |
) |
. |
|
|
(3) |
||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||
Также верны свойства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
npl (a + b)= npl a + npl b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) npl a = npl a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) если вектор a |
перпендикулярен оси l , то npl a = 0 |
; |
|
|
|||||||
4) |
если вектор |
a параллелен оси |
l , то |
npl a = a |
, если |
вектор и ось |
|||||
одинаково направлены, и npl a = −
a 
, если они противоположно направлены.
Если направление |
оси l совпадает с |
направлением вектора |
b , то |
|||||||
npl a = |
|
a |
|
cos , где |
– угол между векторами |
a и b . В этом случае проекция |
||||
|
|
|||||||||
npl a называется проекцией вектора |
a |
на вектор b и обозначается npb a |
||||||||
|
||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекции вектора |
a на оси декартовой системы координат называются |
|||||||||
координатами вектора и обозначаются, соответственно, ax , ay , az . |
|
|||||||||
Любой вектор |
a |
единственным |
образом выражается через |
свои |
||||||
проекции (раскладывается по координатам) и записывается так: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a = axi + ay j + azk , |
(4) |
|||
или так: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a = (ax ;ay ;az ). |
(5) |
|||
Нулевой вектор имеет все координаты, равными нулю: 0 = (0;0;0).
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина вектора a |
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a = |
a |
2 |
+ a |
2 |
+ a |
2 |
, |
|
|
|
||||
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а направляющие косинусы вектора – по формулам: |
|
|
|
|||||||||||||
|
cos = |
a |
x |
, cos |
= |
a |
y |
, cos = |
a |
z |
. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
a |
a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(6)
(7)
На основании единственности представления вектора через координаты справедливы формулы:
a |
x |
= b |
, |
||
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
||
1) a = b ay = by , |
|||||
|
a |
|
= b |
, |
|
|
z |
||||
|
z |
|
|||
(8)
2) a + b = (a |
x |
+ b ; |
a |
y |
|
+ b |
; |
a |
z |
+ b ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) a = ( a |
; a |
y |
; |
a |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из формул (2), (8), (10) получаем условие |
|
коллинеарности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов |
a |
и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
= |
a |
y |
= |
a |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находится в |
точке |
|
|
M (x, y, z) , называется |
|
|
радиус - вектором этой точки |
|||||||||||||||||||||||||||||
(обозначение: |
OM |
|
или просто r ) и записывается |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = xi + yj + zk . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Любой вектор |
AB |
|
выражается через радиус-векторы, |
проведенные в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
точки начала и конца этого вектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB = OB − OA = (xB − xA; yB − yA; zB − zA ). |
(12) |
||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Даны точки |
M1 |
(1, −3, 4) |
|
|
и M 2 (2,3, −5) . Найти координаты вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||
M1M 2 , его модуль и направляющие косинусы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. На основании формул (12), (6), (7) записываем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M1M 2 = (2 −1;3 − (−3); −5 − 4) = (1;6; −9) |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M 2 = |
1 + 36 + 81 = 118 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos = |
|
|
1 |
|
, cos = |
|
|
|
6 |
|
, cos = − |
|
9 |
|
. |
◄ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|||||
Пример 2. Даны векторы: a = 3i + 2 j + k ,
b = −i +
j
+ 4k
,
c = i
+ 4 j
+ k
.
Найти и , при которых вектор d = 3a − 2b и вектор c коллинеарны. Решение. По формулам (9), (10) и условию коллинеарности (11) получаем
d = 3(3i + 2 j + k )− 2(−i + j + 4k )=11i + 4 j − 5k ,
9
|
|
= |
4 |
= |
|
. |
|
11 |
4 |
−5 |
|||
|
|
|
|
|||
Откуда |
=11, |
|
= −5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти координаты точки |
M , делящей отрезок |
|||||
, считая от конца M1 . |
|
|
|
|
|
|
M M |
2 |
1 |
◄
в отношении
Решение. Обозначим (x, y, z) координаты точки M . По условию |
M1M |
|
= , а |
|||||||||||||||
MM 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
векторы M1M = (x − x1; y − y1; z − z1 ) и |
|
MM 2 = (x2 |
− x; y2 − y; z2 |
− z ) коллинеарны, |
||||||||||||||
так как точки M1, M , M 2 лежат на одной прямой. Тогда M1M = MM 2 |
и по |
|||||||||||||||||
формуле (10) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x − x |
= (x − x), |
y − y |
= (y |
2 |
− y ), |
z − z = |
(z |
2 |
− z ). |
|
||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда находим координаты точки M : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x = |
x1 + x2 |
, y = |
y1 + y2 |
, |
z = |
z1 + z2 |
. |
|
|
|
(13) ◄ |
||||||
|
1 + |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание. |
Выведенные при решении задачи формулы используются п р и |
|||||||||||||||||
де ле н и и о т р е зк а в за д а н н о м о тн ош е н и и .
1.2.Скалярное произведение векторов
Скалярным |
произведением векторов |
a |
называется число, |
определяемое формулой a |
b |
векторами a и b. Таким образом, |
|
|
|
a b = a b cos . |
|
С учетом формулы (3) получаем
и b cos
(обозначение: |
a b ) |
, где – угол между
(14)
a b = a np b, |
a b = b np a. |
a |
b |
(15)
Свойства скалярного произведения:
1) |
a a = a |
2 |
, то есть |
a = |
a a ; |
|
2)a b = b a ;
3)a (b + c) = a b + a c ;
4)( a) b = (a b) = a ( b );
5) |
a b = 0 a b . |
|
|
Если векторы a и b разложены по координатам, |
a = (ax ;ay ;az ) , |
b = (bx ;by ;bz ) , то их скалярное произведение вычисляется по формуле |
||
|
a b = axbx + ayby + azbz . |
(16) |
10
Используя (14), (15), (16) и (6), запишем формулы для расчета угла между векторами, проекции вектора на вектор и условие перпендикулярности двух векторов.
Косинус угла
между векторами
a = (a |
x |
;a |
y |
;a |
z |
) |
|
|
|
|
и
b = (b |
;b |
y |
;b ) |
x |
|
z |
вычисляется по формуле
cos = |
|
a b |
= |
|
axbx + ayby + azbz |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
b |
|
|
ax2 + a2y + az2 bx2 + by2 + bz2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проекция вектора a = (ax ;ay ;az ) на вектор b = (bx ;by ;bz ) :
|
a b |
|
a b |
|
+ a |
b |
y |
+ a b |
|
||||||
np a = |
= |
x |
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
z |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
b |
|
|
|
b |
2 |
+ b |
2 |
+ b |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z |
|
|
||||
(17)
(18)
Условие перпендикулярности для ненулевых векторов:
a b = a b |
+ a |
b |
y |
+ a b |
= 0. |
x x |
y |
|
z z |
|
|
Пример 4. Даны два вектора: a = (2; ;4), b = (3;1;−4). |
|||||
Найти значение параметра |
|
, |
при |
котором |
|
перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
Решение. По формуле (19) получаем |
|
|
|
|
|
(19)
эти векторы
|
|
|
|
a b = 2 3 + −16 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−10 = 0 ; =10 . |
|
|
|
|
|
|
◄ |
||||
Пример 5. Вершины треугольника расположены в точках A(−3, 4, 2), B(1,5,6), |
||||||||||||||||
C(4, −2,7) . Найти все углы и длины сторон треугольника. |
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Найдем длины сторон AB и |
AC и угол |
BAC . Для этого запишем |
||||||||||||||
векторы AB и |
AC |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB = (4;1;4), |
AC = (7;−6;5). |
|
|
|
|
|||||||
Длины сторон AB и AC определим по формуле (6): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AB = |
16 +1 +16 = 33 , |
AC = 49 + 36 + 25 = |
110 . |
|||||||||||||
Для определения угла используем формулу (17): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos A = |
AB AC |
= |
4 7 +1 ( |
−6)+ 4 5 |
= |
|
42 |
|
|
0,697. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
AB |
AC |
16 |
+1 +16 |
49 + 36 + 25 |
33 |
|
110 |
|
|||||||
По значению косинуса определяем угол BAC 0,8 |
радиан или 80 градусов. |
|||||||||||||||
Аналогично вычисляют другие стороны и углы. Все вычисления проведем в программе EXCEL [4 ]. Листинг вычислений: