7. Действия с матрицами на компьютере в EXCEL
Рассмотрим применение табличного процессора EXCEL для работы с матрицами.
Процессор EXCEL работает с числовыми матрицами и может осуществлять следующие операции:
1.сложение (вычитание) матриц, умножение матриц на число,
2.преобразования матрицы с целью получения нулей,
3.вычисление определителя матрицы,
4.транспонирование матрицы,
5.нахождение обратной матрицы.
Сложение матриц, умножение матрицы на число, преобразование матрицы осуществляются с помощью строки формул. Для нахождения определителя матрицы, транспонированной матрицы, обратной матрицы, а также для умножения матриц следует пользоваться соответствующими встроенными функциями: МОПРЕД; ТРАНСП; МОБР; МУМНОЖ. К сожалению, нет встроенной функции для определения ранга матрицы. Ранг придется находить переходом к эквивалентной матрице. Такой же переход полезен и для исследования линейных систем.
Сложение матриц.
Рис.3
Вячейки
Вячейки
Вячейку
A2 :
A4 : A7
D2 введена матрица A . D5 введена матрица B . введена формула = A1 + A4
и скопирована в диапазон
A7 :
D8
.
Умножение матрицы на число.
32
Вячейки
Вячейку
Вячейку
|
Рис.4 |
B2 : F 4 введена матрица A , |
|
A2 |
введено число = −5 . |
B6 |
введена формула = $ A$2 * B2 |
и скопирована в диапазон
B6 :
F 8
.
Вычисление определителя, транспонирование, нахождение обратной матрицы.
Перечисленные операции проводятся с помощью соответствующих встроенных функций. При выполнении операций транспонирования, умножения матриц, нахождения обратной матрицы необходимо предварительно
выделить диапазон ячеек для записи результата. Результат получается нажатием клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (ввод массива).
Рис.5
В ячейки A2:D5 введена матрица A , в ячейки F2:H5 В ячейку G15 введем формулу =МОПРЕД, аргумента A2:D5 , получаем значение определителя
- матрица B .
заполним поле значений матрицы A .
33
Пример 14. Вычислить обратную матрицу для A2:D5 .
Выделим диапазон ячеек |
A12:D15 |
для записи обратной матрицы. Те- |
перь надо вызвать Мастер функций, выбрать имя функции МОБР, ввести в
поле значений аргумента функции |
A2:D5 |
и нажать клавиши |
||
CTRL+SHIFT+ENTER (ввод массива). |
|
|
|
|
Пример 15. Умножить матрицы |
A |
и |
B . |
|
Определим размерность матрицы |
|
AB (результата умножения): 4 3 , и |
||
выделим диапазон F7:H11 для записи этой матрицы.
Для умножения надо вызвать Мастер функций, выбрать имя функции МУМНОЖ, ввести в поле значений 1 аргумента функции первую матрицу, в поле 2 – вторую матрицу, и нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER (ввод массива). В ячейках F7:H11 − результат умножения AB .
Вычисление ранга матрицы.
Будем последовательно получать нули в первом, втором и т.д. столбцах ниже диагональных элементов.
Рис.6
В ячейки C1:H5 введем матрицу (пример 10).
34
|
Получим нули в первом столбце матрицы B2:G6 . Для этого в ячейку |
A7 |
введем формулу = −$C2/$C$1 и скопируем ее в ячейки A7:A10 , в ячейку |
C7 |
введем формулу = $A7 * B$1+B2 и скопируем ее в ячейки C7:H10 . |
Аналогично получаем нули во втором столбце. В ячейку A12 введем формулу = -$D8/$D$7 и скопируем ее в ячейку A13:A14 . В ячейку D12 введем формулу =$A12*C$7+C8 и скопируем ее в ячейки C12:H14 .
Дальше получаем нули в третьем столбце. В ячейку A16 введем формулу = -$E8/$E$7 и скопируем ее в ячейку A16:A17 . В ячейку E16 введем формулу =$A16*E$16+E17 и скопируем ее в ячейки E16:H17 .
Получили полностью нулевые строки. Ниже копированием значений (специальная вставка) записана преобразованная матрица (нули ниже диагонали опущены). Следовательно, ранг матрицы равен трем.
8. Решение систем линейных уравнений в EXCEL
Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера. Для этого используем уже решенный пример 9.
x − |
x |
− |
x |
+ |
|
2x |
+ x |
= |
5, |
||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
x |
|
− x |
|
+ |
x |
− x |
= |
2, |
|||
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
−x |
+ x |
|
+ 2x |
|
− x |
|
− 2x |
= −7, |
||
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
2x + x |
− x |
|
+ 2x |
|
− x |
= |
3, |
|||
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
3x − x |
− 2x |
|
+ x |
|
+ x |
= |
10. |
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
В EXCEL реализована функция вычисления определителей (см. п.7). Запишем матрицу коэффициентов и матрицы, полученные из нее заменой по очереди всех столбцов на столбец свободных членов. Листинг вычислений представлен на рис. 8:
35
Рис. 8
Матрицы записаны в диапазонах
A2:E6, |
A9:E13, A15:E19, A21:E25, |
A27:E31,
A33:E37
, а значения определителей – в ячейках
G7, G14, G20,
G26, G32,
I2:I6.
G37
. Столбец свободных членов – в G2:G6. Решение системы – в
Тот же пример решим с помощью обратной матрицы. В EXCEL реа-
лизованы функции для нахождения обратных матриц и перемножения матриц (см. п.7). Листинг решения представлен на рис. 9. В диапазоне B2:F6 записана матрица коэффициентов, в ячейках H2:H6 – вектор свободных
36
членов, в диапазоне системы, полеченное
H2:H6 .
B8:F12 обратная матрица, в ячейках как результат умножения матрицы
H8:H12 B8:F12
– решение на матрицу
Рис. 9
Предложим еще один способ решения линейных систем в EXCELL. Возможно, для систем он не покажется эффективным, однако знакомство с ним полезно для решения задач оптимизации, в частности задач линейного программирования. Инструментом для этого метода служит процедура Поиск решения, которая находится в Надстройках. После вызова процедуры появляется окно, представленное на рис. 11.
Покажем решение системы на примере.
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1, |
|||
|
− x2 − x3 − 2x4 |
|
|
3x1 |
= −4, |
||
►Пример 16. Решить систему |
|
|
|
2x1 |
+ 3x2 − x3 − x4 |
= −6, |
|
x + 2x + 3x − x = −4. |
|||
1 |
2 |
3 4 |
|
Рис. 10
В ячейки B3 : E5 введена матрица коэффициентов n −1 уравнений системы, в B6 : E6 – коэффициенты последнего уравнения, в ячейки G3:G6 -
37
столбец свободных членов. Ячейки B1:E1 отведем для значений неизвестных. В ячейках F3:F6 сосчитаем сумму произведений коэффициентов каждого уравнения на неизвестные (для этого воспользуемся встроенной функцией СУММПРОИЗВ). Выберем ячейку F6 в качестве целевой и вызовем процедуру Поиск решения. В окошке установим, что целевая ячейка должна быть равной свободному члену последнего уравнения, и заполним поля. В поле «изменяя ячейки» введем B1:E1. В поле «ограничения» бу-
дем вводить первые |
n −1 |
уравнения. А именно, значение в ячейке F3 |
должно равняться заданному значению в ячейке G3 (1-е уравнение). Аналогично добавляем два других уравнения. После заполнения всех полей нажи-
маем |
. |
|
Решение системы находится в ячейках B1:E1. |
Рис. 11
38
Литература
1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1977.
2.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство «Лань», 1998.
3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.
4.Данко П.Е, Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1999. Ч.1.- 304 с. - Ч.2. - 416 с.
5.Фридман Г. Н., Леора С.Н. Математика & Mathematica. Избранные задачи для избранных студентов. – Невский Диалект, БХВ-Петербург , 2010,
299с.
6.Пащенко И.Г. Excel 2007. -М.: Эксмо, 2009. -496 с.
39
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................. |
3 |
|
1. |
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ ......................................................... |
4 |
1.1. Основные понятия......................................................................................................................................... |
4 |
|
1.2. Действия с матрицами. ................................................................................................................................. |
5 |
|
2. |
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА .................................................................... |
8 |
3. |
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ................... |
13 |
4. |
РАНГ МАТРИЦЫ ................................................................................................. |
16 |
5. |
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ............................................................... |
18 |
5.1 Основные понятия........................................................................................................................................ |
18 |
|
5.2. Решение систем по формулам Крамера. .................................................................................................. |
20 |
|
5.3. Решение системы с помощью обратной матрицы. ................................................................................ |
21 |
|
5.4. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса ................................................................. |
22 |
|
5.5. Однородные системы. ................................................................................................................................. |
27 |
|
6. |
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ ..... |
29 |
7. |
ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ НА КОМПЬЮТЕРЕ В EXCEL ............................. |
32 |
ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................... |
39 |
|
40