Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1. Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

760.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

x		+		x
а)	1			2
	2x		+ 5x

		1		2
2x			+ 2x
		1		2
			+ 7x2
г) 3x1
	x	−		x

	1			2

Ответы: а)

	x		+ x	+ 3x	=11,
= 8,		1	2	3
= 8,			+ 3x2 + 7x3
= 31.	б) x1		+ 3x2 + 7x3		= 23,
= 31.		x	+ x	+ 4x =15.


		1	2	3

+7x3 = 86,

+18x3 = 236,

=−8.

(3;5); б) (1;−2;4); в) (5;−1;2


в)
в)

)

г)

2x		+ 2x		+ 7x		= 22,
	1	2			3
x	+	3x	+ 7x		=16,
1		2		3
2 x		+ 4x		+11x		= 28.
	1	2			3

(0;8;10).

5.4. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим линейную систему общего вида:

+ a

= b ,

+ a

= b

+ a

= b .

Теорема Кронекера-Капелли.

Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы ( rang (A)) был равен рангу расши-

ренной матрицы ( rang (A)).

Пусть rang (A) = rang (A)= r . Тогда верны следующие утверждения. 1. Если ранг матрицы r равен числу неизвестных n , то система имеет

единственное решение.
2. Если ранг матрицы r	меньше числа неизвестных, то система имеет

бесконечное множество решений. При этом

n − r

неизвестных, которые

называются с в о б о д н ы м и н е и з в е с т н ы м и , принимают произвольные значения. Говорят, что система имеет n − r с т е п е н е й с в о б о д ы .

Метод Гаусса (исключение неизвестных) состоит в том, что с помощью умножения уравнений на ненулевые числа и сложения в первом уравнении оставляем все неизвестные, во втором на одно меньше, в третьем на два меньше и т.д. Эту операцию (назовем ее процедурой Гаусса) удобно проводить, используя матрицы. Она аналогична процедуре, используемой для отыскания ранга матрицы.

Составим расширенную матрицу системы и отделим для удобства свободные члены вертикальной линией. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Элементарные преобразования матрицы проводим только для строк.

Умножая первую строку на соответствующие коэффициенты и прибавляя к лежащим ниже строкам, получим нули в первом столбце. Затем проделываем такую же процедуру со второй строкой, третьей и т.д., до предпоследней строки. В результате преобразований получаем матрицу, по которой можно записать систему, равносильную исходной.

	Рассмотрим примеры на три ситуации, возникающие при исследова-
нии линейных систем.
1)	rang (A) rang (A).	Система несовместна.

►Пример 8.

Решить систему уравнений методом Гаусса:

x		+		x	+	x	+	x		= 5,
	1			2		3		4
	2x		− 3x		+	x	−	x	= 0,
	2x		− 3x		+	x	−	x	= 0,
		1		2		3		4
	5x			+ 4x			+ 2x			=12,
	5x			+ 4x			+ 2x			=12,
		1				3		4
	3x		+ 4x		− 2x		+ 6x			= −1.
	3x		+ 4x		− 2x		+ 6x			= −1.
		1		2		3		4
		1		2		3		4
2x			− 4x		+ 6x		− 4x			= −11.
		1		2		3		4

Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:

1 1			1	1	5	1 −2			)	+2	1		1 1 1		5
2		−3 1		−1	0		(					0	−5	−1 −3	−10
							(		)
							1	−5		+3
							(		)	+5
							1 −2
							1	−3		+4
	5	0	4	2	12		(		)			0	−5	−1 −3	−13	.
							→
	3	4	−2 6		−1							0	1 −5 3		−16

	2	−4 6		−4								0	−6	4 −6	−21
					−11

Как и в примере 2 над стрелкой указаны выполняемые операции.

Для удобства вычислений переставим четвертую строку на место второй и за счет второй строки получим нули во втором столбце во всех строках ниже второй, а затем за счет третьей строки - в третьем столбце:

1		1	1	1	5		1		1	1	1	5		1		1	1	1	5
	0	1	−5	3	−16	2 5+3		0	−5	−1	−3	−10			0	−5	−1	−3	−10

	0	−5	−1	−3	−13	2 5+4		0	0	−26	12	−93	3 (−1)+4		0	0	−26	12	−93
						→							→							.
						2 6+5							3 (−1)+5
	0	−5	−1	−3	−10			0	0	−26 12		−90			0	0	0	0	3


	0	−6	4	−6	−21			0	0	−26	12	−117			0	0	0	0	−24

В четвертой, пятой строках легко было получить нули, умножив третью строку на минус единицу и прибавив ее к четвертой и пятой.

По преобразованной матрице определяем: rang( A)

следовательно, данная система уравнений несовместна. Ответ: система не

= 3

, rang( A) = 4

имеет решений. ◄

rang (A) =

rang (A)=

. Система совместна и имеет единственное реше-

ние. В результате преобразований приходим к ступенчатой системе, решение которой легко находится.

►Пример 9. Решить систему уравнений методом Гаусса

x1 − x2 − x3 + 2x4 + x5							= 5,
x			− x	+ x	− x		=	2,
	1		3	4	5
		+ x2	+ 2x3	− x4 − 2x5 = −7,
−x1		+ x2	+ 2x3	− x4 − 2x5 = −7,
2x + x			− x	+ 2x − x = 3,
	1	2	3		4	5
3x − x			− 2x	+ x	+ x		=	10.
	1	2	3	4	5

Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее (последнее действие – перестановка 4-й и 5-й строк):

1			−1	−1	2	1	5		1(−1)+2	1

	1		0	−1	1	−1	2		1+3		0
									1(−2)+4

	−1		1	2	−1	−2	−7		1(−3)+5		0
								→
	2		1	−1	2	−1	3				0


	3		−1	−2	1	1	10				0

	1		−1	−1	2	1	5				1
		0	1	0	−1	−2	−3		3(−1)+4			0


→		0	0	1	1	−1	−2		3(−1)+5			0
									→
		0	0	1	1	3	2					0

		0	0	1	−3	2	1					0

−1	−1	2
1	0	−1
0	1	1
3	1	−2
2	1	−5
−1	−1	2
1	0	−1
0	1	1
0	0	0
0	0	−4

1 −2 −1 −3 −2

1 −2 −1 4 3

5
−3		2(−3)+4
−3

−2		2(−2)+5
−2	→
−7
−7

−5
−5
5
−3
−3
		4	5
−2		4	5
−2		→
4
4
3
3

	1	−1	−1	2	1
						5
	0	1	0	−1 −2		−3

→	0	0	1	1	−1	−2	.
	0	0	0	−4	3	3

	0	0	0	0	4	4

		Ранг	основной			матрицы равен рангу расширенной матрицы

rangA = rang A = 5 и равен числу неизвестных. Следовательно, система сов-

местна и имеет единственное решение. По преобразованной матрице составляем систему, равносильную исходной

−

+ x

−

− 2x

= −3,

− x

= −2,

− 4x

+ 3x

= 3.

= 4.

Полученная система имеет ступенчатый вид и легко решается.
Ответ:	(	)	.◄
		2;−1;−1;0;1
rang (A) = rang (A) n . Система совместна, но имеет бесконечное мно-

жество решений. Это множество решений находим, перенося слагаемые со свободными неизвестными в правую часть уравнений.

►Пример 10. Решить систему уравнений

−

+ x

= 5,

− x

= 2,

−x

+ x

+ 2x

− x

− 2x

= −7,

+ 2x

− 2x = 0,

+ 2x

+ 3x

− 6x

= −7.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

1		−1 −1 2			1	5	1 −1 +2				1 −1 −1 2					1	5
1					−1 2		(		)
1		0	−1 1		−1 2		1+3		)			0	1	0	−1 −2		−3	(	)
							(		)	+4								(	)		+4
							1	−1		+4								2	−1		+4
							(		)									(		)
	−1	1	2	−1 −2		−7	→					0	0	1	1	−1	−2	→
	1	0	0	2	−2	0						0	1	1	0	−3	−5
	1	0	0	2	−2	0						0	1	1	0	−3	−5
	1	1	2	3	−6	−7						0	2	3	1	−7	−12
	1	1	2	3	−6	−7						0	2	3	1	−7	−12

1		−1	−1	2	1	5		1		−1	−1	2	1

	0	1	0	−1	−2	−3	3(−1)+4		0	1	0	−1	−2


→	0	0	1	1	−1	−2	3(−3)+5		0	0	1	1	−1
							→
	0	0	1	1	−1	−2			0	0	0	0	0


	0	0	3	3	−3	−6			0	0	0	0	0

	5
	−3
	−3

	−2
	0
	0
	0
	0

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

rangA =

rang A =

, число неизвестных равно пяти. Следовательно, система

совместна, но имеет бесконечное множество решений. Число степеней свободы равно двум. Выберем свободными неизвестными x4 , x5 и выразим че-

рез них x1, x2 , x3 :

x		−	x	−	x	= 5 − 2x	− x	,
	1		2		3	4	5
			x2			= −3 + x4	+ 2x5 ,		отсюда получаем
			x2			= −3 + x4	+ 2x5 ,		отсюда получаем
					x	= −2 − x	+ x .
					x	= −2 − x	+ x .
					3	4		5

Ответ запишем в виде вектора-столбца.

x			= −2x	+ 2x		,
		1	4		5
	x		= −3 + x		+ 2x

		2		4		5,
	x		= −2 − x		+ x .

		3		4		5
		− 2t + 2s
		−3 + t + 2s


=		−2 − t + s			,	t, s
			t

			s

◄

Выбор свободных неизвестных можно делать по-разному. Однако не всякие n − r неизвестных можно принять свободными. Необходимо, чтобы коэффициенты при остальных r неизвестных составили базисный минор.

	1	−1	1
Так, если за базисный минор принять минор	0	1	−2 0	, то свободными
	0	0	−1

неизвестными

X = (4 + 2u;1 +

будут

2u + 3v; u;

x	,
3
v; 2 + u

x4 , + v

ирешение принимает вид

u,v R.

Рекомендуем студентам по-

лучить это решение самостоятельно и сделать проверку.

Упражнения.

Исследовать и решить системы уравнений:

		2x		+	x	− x	= 9,
		1			2	3
1)			+ 2x2			+ 4x3 = 4,
	−x1
		2x	+		x + 4x		=14.

		1			2	3

2x1 + x2 − 2x3 = 7,

2)−x1 + 3x2 + 2x3 = 5,

3x1 + 5x2 − 2x3 =19.

		2x		+ x		+ 2x	= 7,
			1	2		3
3)			+ 3x2			− 2x3 = 5,
3)	x1		+ 3x2			− 2x3 = 5,
			+ 5x			+ 2x =12.
	5x		+ 5x			+ 2x =12.
		1			2		3

		(		)
	Ответ:			4;2;1 .
	12 − 4t
Ответ:	t		, t R.
Ответ:	t		, t R.
	8,5 − 3,5t
	8,5 − 3,5t

Ответ: .

	2x		+	x		−	x	+ 2x	=12,
	1			2			3	4
	−x	+ 2x				+ 4x		+ 3x	= 4,
	−x	+ 2x				+ 4x		+ 3x	= 4,
4)	1			2			3	4
4)	2x	+		x	+ 4x			− 2x	= −10,
	2x	+		x	+ 4x			− 2x	= −10,
	1			2			3	4
	x	+ 3x			+ 5x			+ 2x	= 3.
	1			2			3	4

Ответ:

(		)
1;2;	−2;3

2x					+ x		−		x	+ 2x		= 4,
			1			2			3		4
		−x			− 2x			+ 2x			+ 3x		=10,

			1				2			3	4
		2x				+ 4x			+ 4x − 2x				=12,

					1			2			3		4
		5 x			+ x			−	x		+ 9x	= 22.

			1				2		3		4
2x					+ x		−		x	+ 2x		=1,
			1			2			3		4
		4x			+ 2x			− 2x			+ 4x		= 2,

			1				2			3	4
		2x				+ x		+ 4x			− 2x		= 3,

					1		2			3	4
2 x					− x			− 5x			+ 3x		= 4.
			1			2				3	4
2x				+ x			−		x	+ 2x =1,
		1				2			3		4
	4x			+ 2x			− 2x			+ 4x		= 2,

		1				2			3		4
		2x				+ x		+ 4x			− 2x	= 3,
							2
				1					3		4
				+ 4x					+ x		+ 4x		= 4.
8 x
		1				2				3	4

−

−4

Ответ:

, t R.

−

1,85 − 0,05t

−2,3 −1,1t

Ответ:

, t R..

0, 4 + 0,8t

Ответ:

5.5. Однородные системы.

Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (т р и в и а л ь н о е ) решение.

Если ранг матрицы A однородной системы на единицу меньше числа неизвестных, то система имеет одну степень свободы, и ее решение можно записать через миноры матрицы A . Для этого в матрице A необходимо оставить n −1 линейно независимых строк, а затем вычислить миноры, поочередно вычеркивая столбцы и изменяя знак при каждом переходе.

Так для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными

a11x1 + a12 x2 + a13 x3			= 0,	(12)
				(12)
a21x1	+ a22 x2	+ a23 x3	= 0,

решение имеет вид:

= −

x3 =

t , где

один из определителей второго порядка не равен нулю.

, если хотя бы

►Пример 11. Решить систему

−x

− 2x

+ 2x

= 0,

+ 4x

− 4x

= 0,

2 x

−

= 0.

Решение.

−1

−2

Матрица коэффициентов

A =

−4

;

det A

−1

Минор

−1

−2

Следовательно,

ранг матрицы

−1

	−1	−2	2
=	2	4	−4 = 0.
	2	−1	−1

коэффициентов равен

двум и на единицу меньше числа неизвестных. Второе уравнение в системе пропорционально первому, и его можно убрать и получить систему вида

(12). Матрице

эквивалентна матрица

−1		−2
	2	−1

2 −1

, имеющая две линейно

независимых строки. Тогда решение получаем в виде:

x	=	−2	2	t = 4t, x		= −	−1	2	t = 3t, x	=	−1
					2
1		−1	−1				2	−1	3		2

Ответ можно записать в виде вектора

	−2	t = 5t
	−1	t = 5t
	−1

4 X = 35

t; t R .◄

Упражнения.

Решить системы:

1)	2x1 + 4x2 − 4x3 = 0,
		− x2	− x3
	2 x1			= 0;

=0,

2)2x1 + 4x2 − 4x3 = 0,5 x1 − 2x2 − x3 = 0;− 2x2 + x3x1

x		− 2x +			2x	= 0,
	1		2		3
	2x		+ 4x	− 4x			= 0,

		1	2		3
	5 x		+ 6x	− 6 x			= 0,

		1	2		3
7 x			+10x		−10 x = 0.
		1	2				3

		4				2				0
Ответы: 1)		3	t ;	2)		3	t ;	3)		1	t ; t R .
Ответы: 1)	X =	3	t ;	2)	X =	3	t ;	3)	X =	1	t ; t R .
		5				4				1
		5				4				1

6. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Комплексное число называется с о б с т в е н н ы м ч и с л о м квадрат-
ной матрицы A , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец)	X ,
такой, что выполнено равенство
AX = X .	(13)
Вектор X называется в этом случае с о б с т в е н н ы м в е к т о р о м матрицы
A , соответствующим числу .
Собственный вектор определяется с точностью до множителя, т. к.

если X	удовлетворяет уравнению (13), то и вектор t X , где t – любое число,
не равное нулю, тоже удовлетворяет уравнению (13).
Матричное уравнение (13) эквивалентно однородной системе
	(a11 − )x1		+ a12 x2 +	+ a1n xn = 0,
		+ (a22 − )x2 +
	a21x1	+ (a22 − )x2 +		+ a2n xn = 0,	(14)
					(14)

			+ an2 x2 +	+ (ann − )xn = 0.
	an1x1		+ an2 x2 +	+ (ann − )xn = 0.

Для того чтобы система (14) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

a		−		a			a
11				12			1n
	a		a	22	−		a
	21			22			2n		= 0.
									= 0.
	a	n1		a		a	nn	−
		n1		n2			nn

(15)

Уравнение (15) называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и м уравнением для матрицы A и представляет собой алгебраическое уравнение n - ой степени относительно . Его корни и являются собственными числами матрицы A .

Если матрица A - диагональная, т.е.



	A =
	A =

с разными числами по диагонали


1
0
0
(	i

0

2
0
	, i
k

0
0
0	,	(16)





n
k ), то собственные числа сов-

падают с диагональными элементами Как известно из курса алгебры


матрицы		A .
	, уравнение (15) имеет, по крайней
1	, уравнение (15) имеет, по крайней

мере, один корень и, следовательно, у любой матрицы есть хотя бы одно собственное число, а пример с матрицей (16) показывает, что у матрицы

размера n n максимум n собственных чисел. Чтобы найти собственные числа, надо решить уравнение (15). Для нахождения собственных векторов решается система (14) при найденных значениях .

►Пример 12. Найти собственные числа матрицы

		2	8
		−4	1
		−4	1

		8	−2
		8	−2

	5
	3


	−6

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его

2 −

−4

1 −

= 0 .

−2

−6 −

Вычислим определитель:

2 −

−2

2 2+3

3ñò î ëáåö (−2)+2

−4

1 −

−4

1 −

−4

−5 −

−2

−6 −

−2

−

2 −

+ 3 −18).

= −4

5 +

3 = ((2 − )(5 + ) + 8) = − (

Уравнение

(

+ 3 −18)= 0

имеет

три

действительных

1 = 3,

= 0,

= −6

, которые и являются собственными числами.

5
3	=
−

корня:

◄

►Пример 13. Найти собственные векторы для матрицы

A примера 12.

Решение. Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить систему (14), подставив в нее значение числа . Найдем собственный вектор для числа 1 = 0 . Для этого решим од-

		2x	+ 8x	+ 5x	= 0,
		1	2	3
нородную систему			+ x2	+ 3x3	= 0,
	−4x1
		8x	− 2x	− 6x	= 0.

		1	2	3

Ранг матрицы этой системы равен двум, на единицу меньше числа неизвестных. Решение (см. пример 11) найдем через миноры матрицы

				2	8	5	:
				−4	1	3	:
				−4	1	3
	8	5		2	5			2	8
x1 =	1	3 t =19t, x2	= −	−4 3 t = −26t, x1 =				−4	1 t = 34t.

			19
Итак, собственный вектор имеет вид	X1	=	−26	t , где t	любое число, не рав-
Итак, собственный вектор имеет вид	X1	=	−26	t , где t	любое число, не рав-

			34
			34
ное нулю. Аналогично находятся два других вектора.					◄

Упражнения.

Найти собственные числа, и для действительных собственных чисел найти собственные векторы матриц:

	2		1	1		−3					1	4			3		−6		8	−2		−1		−2	3
1)	2		1	1		−3			, 3)		−8	2			−5	, 4)		5	2	8	, 5)		1	−2	1	,
1)			, 2)						, 3)		−8	2			−5	, 4)		5	2	8	, 5)		1	−2	1	,
		3	4		3	1					−2	−8			−6			3	−4	1			1	3	−4
											−2	−8			−6			3	−4	1			1	3	−4

	−2		1	1			2			1	0
6)		−2	−1	3		, 7)			1	3	−1		.
6)		−2	−1	3		, 7)			1	3	−1		.

		1	1	−2				−1		2	3
		1	1	−2				−1		2	3

Ответы:
1)		1 =1: x= (−1;1), 2							= 5 : x= (1;3)					;

2)	1
3)	1
4)	1
5)	1
6)	1

=1 + 3i, 2 =1 − 3i				;
= 3 : x	= (−1;−2;2),				= 0 :
1				2
= −6 : x = (8;−1;−4),						= 3
	1	)		2
	(	)
= 0 : x	= 1;1;1		,	= −2 : x			2
1			2				2

= −3 : x1 = (−1;5;4), 2 = −2

x2	= (−26;				−19;34), 3 = −6 : x3 = (−4;1;8);
			(		)				(	)
: x	2	=		−2;	−2;1	, = 0 : x	3	=		−35; −19;21
	2					3	3
= (1; −1; −1), 3						= −5 : x3 =	(−11; −1;14);

: x2 = (1;−1;1), 3 = 0 : x3 = (1;1;1);

;

1 = 2 , 2

= 3 + i, 3

= 3 − i

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1сем

#
07.03.2023760.1 Кб721. Линейная алгебра.pdf
#
07.03.20231.39 Mб722. Векторы.pdf
#
07.03.2023678.08 Кб733. Функции и пределы.pdf
#
07.03.2023392.96 Кб704. Бесконечно малые и непрерывности.pdf
#
07.03.2023421.15 Кб704.1 Бесконечно малые и непрерывности2.pdf
#
07.03.2023445.37 Кб715. Производные.pdf