Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1. Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

760.1 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Введение

Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изложение материала.

В каждом параграфе содержатся основы теории, подробно разобраны примеры и приведены упражнения для самостоятельного решения. Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях

иформулировках утверждений выделены курсивом.

Сразвитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA (см.[5]). Но даже пакет Excel (см.[6]) позволяет решить достаточно много задач линейной алгебры. Этому посвящены последние параграфы настоящего пособия. Освоив предложенные методы решения задач «вручную», рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера.

В качестве дополнительных учебников с подробным изложением материала рекомендуем [1,3], а в качестве задачников – [2,4].

Авторы выражают искреннюю признательность Г.М.Тащияну за неоднократные полезные обсуждения.

1.Матрицы и действия с матрицами

1.1.Основные понятия.

М а т р и ц е й размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются э л е м е н т а м и м а т р и ц ы и обозначаются строчными буквами с двойным индексом: aij , где первый индекс (i) соответствует номеру

строки, а второй индекс ( j ) – номеру столбца. Матрица размера m n может

быть записана в одном из видов:

		a		a
			11	12
			a	a
			a	a
	A =		21	22
	A =


		am1		am2
либо	A = (aij ),	i =1, m;

	a
	1n
	a
	a
	2n


	amn
	j =1, n.

При запись Am

необходимости указать размер матрицы будем использовать

n .

Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются д и а - г о н а л ь н ы м и . Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули,

называется т р е у г о л ь н о й .

Матрица, состоящая из одной строки, называется м а т р и ц е й - с т р о к о й , а матрица, состоящая из одного столбца – м а т р и ц е й - с т о л б - ц о м . Обе такие матрицы называют также в е к т о р о м .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется н у л е в о й матрицей и обозначается .

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется к в а д р а т н о й , а число строк (столбцов) п о р я д к о м матрицы.

Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется д и а г о н а л ь н о й матрицей.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется е д и н и ч н о й матрицей и обозначается E .

Перестановка в матрице строк со столбцами называется транспонированием матрицы. Матрица, полученная таким образом из матрицы A , назы-

вается к ней т р а н с п о н и р о в а н н о й и обозначается

a11 a12

a1n

a11 a21

am1

A =

21 22

12 22

am1

am2

amn

a1n

a2n

amn

Заметим, что

(A	)
T	T
T

1.2.Действия с матрицами.

Вматематике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.

1. С р а в н е н и е м а т р и ц . Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:

A = B

aij

= b	, i,
ij

2. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:

C = A = A

cij

= a	, i,
ij

3. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:

C = A + B

cij = aij + bij ,

(C = A − B

cij = aij − bij ),

i, j .

Для перечисленных выше действий справедливы следующие свойства:

A = B, B = C A = C,
A = B B = A,
A + B = B + A,					A − B = A + (−B),
(A + B) + C = A + (B + C ),
	(		A) = (		) A,
1	2			1	2
( +				) A =	A + A,
	1	2		1	2

(A + B) = A + B, A + = A,

= ,

0 A = .

5. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу «строка на столбец»:

Рис.1 А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведе-

ний: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты умножения складываются. То есть, чтобы получить элемент cij мат-

рицы C = A B надо каждый элемент i −ой строки матрицы A умножить на

соответствующий по порядку При записи знак умножения (

элемент j −го столбца и результаты сложить. )может быть опущен: C = AB .

Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную к ней получаем квадратную матрицу.

Умножение матриц не коммутативно. Более того, при перестановке (коммутации) матриц подчас умножение не возможно. Те квадратные матрицы, для которых выполнено свойство A B = B A , называются к о м м у -

т а т и в н ы м и .

Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица E . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения: A(BC ) = (AB)C,

A(B + C ) = AB + AC,

AE = EA = A.

Отметим также свойство умножения и сложения для транспонированных матриц

T	T	T	;
A B		= (BA)	;

(A + B)T

= AT

+ BT

6. Возведение в степень. Для квадратных матриц возможно возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом очевидно, справедлив коммутативный закон умножения

A		= A A,	A	= A		A = A A	,	,
	2		3		2	2

A	n

= A	n−1	A =

A	n−1

►Пример 1.

а) Даны матрицы:

		2 −7 10 25		5		12			2		3		10		20	30
													10		20	30
A =		3 6 15 31	,	B =	−4 4		,		D =	4	−5	,	M =	40	50	60	.
		5 9 −2 14			1	3				7	3			40	50	60
		5 9 −2 14			1	3				7	3
Выполнить указанные действия:
1)	указать размер матрицы A ,
2)	записать элемент матрицы a21							,

3)		T	,
	найти: а) транспонированную матрицу A
4)	вычислить B + D ,
5)	вычислить X = D M ,	Y = M D, Z = M

рица).

б) матрицу M = 3 A ,

D + E , ( E - единичная мат-

Решение.

1)Матрица

2)Элемент

a21 = 3 .

A имеет 3 строки и 4 столбца, следовательно, ее размер 3 4 a21 находится во второй строке и первом столбце матрицы

3) Транспонированная матрица получается из исходной при замене строк на

столбцы, а для записи матрицы 3 A	необходимо все элементы матрицы	A
умножить на три:

		2	3	5
		−7	6 9
а)	AT =	−7	6 9		,
	10		15	−2
		25	31	14
		25	31	14

б)

	6	−21 30
M = 3 A =	9	18	45
M = 3 A =	9	18	45

	15 27		−6
	15 27		−6

	75
	93
	93

	42
	42

4) Матрицы складывать

и	D	имеют одинаковый размер, следовательно, их можно
			5	12		2		3		7		15
	B + D =		−4	4	+		4	−5	=		0	−1	.


			1	3			7	3			8	6

5) Число столбцов матрицы	D равно числу строк
тельно, возможно умножение	D3 2 M 2 3 , При этом

имеющую три строки и три столбца:

	2		3	10	20	30		2 10 + 3 40
X = D M =		4	−5	10	20	30	=		4	10	− 5 40
X = D M =		4	−5	40	50	60	=		4	10	− 5 40

		7	3						7	10	+ 3 40
		7	3						7	10	+ 3 40

						140		190			240
					X =	−160		−170			−180	.
					X =	−160		−170			−180	.

						190		290			390
						190		290			390

матрицы M . Следова-
получаем матрицу X 3 3 ,
2 20 + 3 50	2 30 + 3 60
4 20 − 5 50	4 30 − 5 60	.
4 20 − 5 50	4 30 − 5 60	.

7 20 + 3 50	7 30 + 3 60
7 20 + 3 50	7 30 + 3 60

Аналогично возможно и умножение

M 2 3

D3 2

, получаем матрицу

Y2 2

	10		20 30		2	3	10 2 + 20 4 + 30 7				10 3 + 20 (−5)+ 30 3
	10		20 30				10 2 + 20 4 + 30 7				10 3 + 20 (−5)+ 30 3
Y =		40 50 60			4	−5	=	40	2	+ 50 4 + 60 7	40 3 + 50 (−5)+ 60 3	=
		40 50 60						40	2	+ 50 4 + 60 7	40 3 + 50 (−5)+ 60 3
					7	3
					7	3
=	310		20	.
=	700		50	.
	700		50

Так как складывать можно только матрицы одного размера, матрицы Z необходимо взять единичную матрицу второго

для нахождения порядка:

	310	20		1	0		311	20
Z =	700	50	+	0	1	=	700	51	.	◄
	700	50		0	1		700	51

Упражнения.

1. Даны матрицы:

				2	−5	4						1	6		4								2	1
				3	−1	8						1	6		4			2	5				8	7
A =				3	−1	8		, B =				−4	−2		4	, C =		2	5		, P =		8	7	,
A =			2		6	1		, B =				−4	−2		4	, C =		6	8		, P =		3	−5	,
			2		6	1												6	8				3	−5
												3	1		8
				−1	3	4						3	1		8								−4	6
				−1	3	4																	−4	6
D =				2	−1		2		6		.
D =				−5	5	−2			3		.


Выполнить действия:
а)	A B ,				б)	D P + 2C , в)							C	2	− E , г)				T				T
а)	A B ,				б)	D P + 2C , в)							C		− E , г)			A A		, д) B A .
Ответы:
			34		26	20																45	43	−22
			31		28	72				−18			31				33	50				43	74	8
			31		28	72				−18			31				33	50				43	74	8
а)		−19			1	40	, б)								, в)		60	93	, г)			−22	8	41
		−19			1	40				24			74				60	93				−22	8	41
			−1		−8																	−1
			−1		−8	40																−1	26	20
	−12				29	42			33
д) 18					22	−16			14 .

	33				72	20			32

	−1
	26
	26

	20
	26
	26

2.Определители и их свойства

Оп р е д е л и т е л е м ( д е т е р м и н а н т о м ) n - г о порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера n n , вычисляемая

по определенному правилу (см., например, 1, 3 ). Обозначается определитель одним из следующих символов: A , , det A .

Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера 1 1, состоящей из одного числа, – равен самому числу:

A = (a) det A = a .

Для определителей второго и третьего порядков имеем:

			a		a
			11		12	= a11a22	− a12a21 ;
			a		a	= a11a22	− a12a21 ;
			a	21	a
				21	22
a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
a31	a32	a33

(1)

(2)

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):

Рис. 2 Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов,

соединенных на рисунке одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных простых схем не составлено, и для вычисления надо использовать упрощения, основанные на свойствах определителей.

Введем несколько важных понятий.

М и н о р о м

Mij

определителя

n −го порядка называется определи-

тель, полученный из данного вычеркиванием

−ой строки и

−го столбца.

В общем случае минором прямоугольной матрицы называется любой определитель, полученный из нее в результате вычеркивания каких-то строк или столбцов. В частности, сам определитель квадратной матрицы тоже является ее минором. Миноры Mij выделены в силу их важности

для приложений.

А л г е б р а и ч е с к и м д о п о л н е н и е м detA называется выражение

A	= (−1)
	i+
ij

к э л е м е н т у

j	Mij .

aij

определителя

Для вычисления определителя ные формулы через определители ( n

n −

−го порядка справедливы рекуррент- 1)−го порядка:

det A =

= a

+ a

i =1, n

i 2

k =1

det A = akj Akj

= a1 j A1 j + a2 j A2 j +

+anj Anj ,

j =1, n .

k =1

(3)

(4)

Формулы представляют разложение определителя: (3) − по элементам строки, (4) − по элементам столбца, и, в частности, показывают, что определитель не изменяется при перестановке строк со столбцами, т.е. определители исходной матрицы и транспонированной к ней равны.

Свойства определителей

Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.

1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

2.Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен нулю.

3.Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

4.Перестановка двух строк определителя изменяет знак определителя.

5.Если строку определителя умножить на постоянное число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

6.Сумма произведений элементов строки на соответствующие алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

7.Определитель можно представить в виде суммы определителей согласно формуле

a			a
	11			12
a	+ b	a	k 2	+ b
k1	k1		k 2	k 2
a			a
	n1			n2

8. Определитель

	a			a		a
		1n		11			12
a	kn	+ b	=	a	k1	a	k 2
	kn	kn			k1		k 2
	a			a		a
		nn			n1		n2
a		a		a			a
	11	12	13				1n
	0	a		a			a
		22	23				2n
	0	0		a			a
			33				3n
	0	0	0				a
							nn

a
1n
a	kn	+
	kn
a
nn

= a a	22
11

a11 bk1 an1

a	a
12	1n
b	b
k 2	kn
a	a
n2	nn

nn .

То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

9. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: A B = A B .

►Пример 2. Вычислить определители:

1)	6	−5	, 2)		5
	6	−5			2
	2	4			2
	2	4			5
					5
	1	0		−1
6)	0	−1		−1
	a	b		c
	−1	−1		1

3−1

7−6

−1

d1 , 7)

2	0	6	45	9	1
, 3) 3	4	5 , 4)	90	1	2 , 5)
−1	0	2	90	−1	3

1 1 1 1 1

1 2 1 3 1

2 3 3 1 1 .

3 4 5 2 3

4 5 6 3 1

5	0	3
0	−2	10
0	0	3
0	0	0

5 0 2 4

Решение.

1) Определитель вычислим по формуле (1)

24 = 6 4 − 2 (−5) = 24 +10 = 34 .

2)Сравним вычисления по формуле (2) и по формуле (3). По формуле(2)6 −5

5	3	−1		(		)			(	)		((	)		(		)		)
5	3	−1

2	7	−6	= 5 7 8 + 3		−6		5	+		−1	2 4 −		−1	7 5 + 3 2 8 + 5		−6		4		= 289.
5	4	8

Для вычисления по формуле (3) возьмем вторую строку (выбор строки произволен) и вычислим миноры и алгебраические дополнения к элементам этой строки

M		=	3	−1	= 28,	M		=	5	−1
	21		4	8			22		5	8

A	= −28,	A	= 45,
21		22

=45,

A23

M		=	5
M	23	=	5
	23

−5 .

	3	=
	4	=
	4

По формуле (3) имеем

	2
3) В определителе	3
	−1

5	3
2	7
5	4
0	6
4	5
0	2

−1 −6 = 2(−28)+ 7 45 − 6 (−5) = 289 . 8

во втором столбце имеется два нуля. Восполь-

зуемся формулой (4) и выберем для разложения второй столбец

2	0	6	2	6 = 4 (4 + 6) = 40 .
3	4	5 = 4	2	6 = 4 (4 + 6) = 40 .
−1	0	2	−1	2
−1	0	2
			45	9	1
4) Первый столбец определителя 90				1	2	имеет общий множитель. Вы-
			90	−1	3

несем этот множитель за знак определителя

45	9	1	1	9	1
90	1	2 = 45 2		1	2 = 45(−17) = −765 .
90	−1	3	2	−1	3

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1сем

#
07.03.2023760.1 Кб721. Линейная алгебра.pdf
#
07.03.20231.39 Mб722. Векторы.pdf
#
07.03.2023678.08 Кб733. Функции и пределы.pdf
#
07.03.2023392.96 Кб704. Бесконечно малые и непрерывности.pdf
#
07.03.2023421.15 Кб704.1 Бесконечно малые и непрерывности2.pdf
#
07.03.2023445.37 Кб715. Производные.pdf

	a			a		a
		1n		11			12
a	kn	+ b	=	a	k1	a	k 2
	kn	kn			k1		k 2
	a			a		a
		nn			n1		n2
a		a		a			a
	11	12	13				1n
	0	a		a			a
		22	23				2n
	0	0		a			a
			33				3n
	0	0	0				a
							nn

	a			a		a
		1n		11			12
a	kn	+ b	=	a	k1	a	k 2
	kn	kn			k1		k 2
	a			a		a
		nn			n1		n2
a		a		a			a
	11	12	13				1n
	0	a		a			a
		22	23				2n
	0	0		a			a
			33				3n
	0	0	0				a
							nn

	a			a		a
		1n		11			12
a	kn	+ b	=	a	k1	a	k 2
	kn	kn			k1		k 2
	a			a		a
		nn			n1		n2
a		a		a			a
	11	12	13				1n
	0	a		a			a
		22	23				2n
	0	0		a			a
			33				3n
	0	0	0				a
							nn