Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

7. Преобразование Лапласа

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

42.94 Кб

Скачать

☆

7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Как решить дифференциальное уравнение (преобр. Лапласа)

7.1. Функцией-оригиналом (или просто оригиналом) называется любая комплексно-значная функция действительного аргумента , удовлетворяющая условиям:

1. для всех отрицательных значений ;

2. , (7.1)

т. е. возрастает при не быстрее показательной функции, а именно, существуют такие постоянные и , что выполняется неравенство (7.1);

3. удовлетворяет условиям Дирихле на любом ограниченном интервале вида , , а именно, кусочно-непрерывна (т.е. обе функции на интервале имеют конечное число разрывов, причем первого рода) и кусочно-монотонна (т.е. обе функции на интервале имеют конечное число участков монотонности).

Наименьшее число из всех чисел , для которых справедливо неравенство (7.1), называется показателем роста оригинала (точнее, – нижняя грань множества возможных чисел ).

Пример 7.1. Найти показатель роста для функции Хевисайда (единичной функции):

(7.2)

Решение. Показатель роста , т.к. условие 2 с этим показателем выполняется в виде равенства: . ►

Очевидно, что любая функция , удовлетворяющая условиям 2 и 3, становится функцией-оригиналом после умножения на единичную функцию . Поэтому в дальнейшем считаем такое умножение выполненным, не записывая функцию в обозначениях, если это понятно по смыслу изложения. В частности, вместо самой функции можно просто писать .

Как и в примере 7.1, легко доказать, что для оригиналов и показатель роста , а для оригинала показатель роста . ►

7.2. Преобразованием Лапласа оригинала называется интегральное преобразование (оператор) вида:

, (7.3)

где – комплексная переменная. Результат преобразования - комплексно-значная функция называется изображением.

Теорема 7.1 (существования). Если – оригинал с показателем роста , то интеграл (7.3) сходится при . При этом функция является регулярной (см. теорию функций комплексного переменного) при и удовлетворяет неравенству

, (7.4)

где – постоянная из неравенства (7.1). ■

Теорема 7.2 (единственности). Если и – оригиналы, имеющие одно и то же изображение , то функции и могут отличаться только в точках разрыва. ■

Теорема 7.2 позволяет считать, что между оригиналами и изображениями существует взаимно-однозначное соответствие. Это соответствие принято обозначать символом:

Пример 7.2. Изображение единичной функции Хевисайда:

Доказательство. Вычислим интеграл (7.3), подставив :

так как интеграл сходится только при . ►

7.3. Приведем свойства преобразования Лапласа.

Теорема 7.3 (линейности). Пусть , , и – комплексные числа. Тогда

. (7.5)

Доказательство формулы (7.5) следует из линейности интеграла (7.3). ■

Теорема 7.4 (подобия). Пусть , . Тогда

. ■ (7.6)

Теорема 7.5 (смещения). Пусть , – комплексное число. Тогда

. ■ (7.7)

Пример 7.3. Пусть – комплексное число. Тогда изображение функции :

Доказательство. Применим к единичной функции теорему смещения и получим нужную формулу. ■

Пример 7.4. Изображение функции :

Доказательство. Используя формулу Эйлера, пример 7.3 и теорему линейности, получим

. ■

Аналогично получаются формулы изображений для функций:

Теорема 7.6 (запаздывания). Пусть , . Тогда

. (7.8)

Доказательства формул (7.6), (7.7) и (7.8) проводятся с помощью замены переменной под знаком интеграла (7.3). ■

Заметим, что в формуле (7.8) у функций и аргументы одинаковы. В частности из примера 7.4 и формулы (7.8) следует, что

Пример 7.5. Найти изображение функции

Решение. Преобразуем функцию таким образом, чтобы применима была формула (7.8):

Тогда

. ►

Теорема 7.7 (о дифференцировании оригинала). Пусть и – оригиналы, причем . Тогда

, (7.9)

где .

Следствие. Пусть , ,…, – оригиналы, причем . Тогда

(7.10)

где .

Доказательства формул (7.9) и (7.10) опираются на формулу интегрирования по частям. ■

Теорема 7.8 (о дифференцировании изображения). Пусть функция . Тогда

.. ■ (7.11)

Пример 7.6. Изображение функции :

Доказательство. Применим к единичной функции теорему о дифференцировании изображения и получим нужную формулу. ►

Пример 7.7. Изображение функции :

Доказательство. Используя пример 7.4 и теорему о дифференцировании изображения, получим

. ►

Аналогично получаются формулы изображений для функций:

Пример 7.8. Изображение функции :

Доказательство. Эта формула получается из примера 7.6 и теоремы смещения. ►

Можно написать и другое доказательство этой формулы с помощью теоремы о дифференцировании изображения. Рекомендуем провести его самостоятельно.

Теорема 7.9 (об интегрировании оригинала). Пусть . Тогда

. (7.12)

Доказательство. Введем функцию

Очевидно, . К функции применим формулу (7.9). Тогда , где . Отсюда и получается формула (7.12). ■

Теорема 7.10 (об интегрировании изображения). Пусть и криволинейный интеграл сходится в области регулярности функции , т. е. при . Тогда

. (7.13)

Доказательства формул (7.11) и (7.13) следуют из свойств регулярных функций. ■

7.4. Из свойств преобразования Лапласа следует Таблица оригиналов и изображений.

7.5. Теорема о дифференцировании оригинала позволяет решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть – оригинал, . Рассмотрим задачу Коши с начальными условиями при , а именно:

(7.14)

Здесь – заданные числа. Будем искать решение на множестве оригиналов ( ). Применим преобразование Лапласа к задаче (7.14), используя формулу (7.10) при всех необходимых значениях . Получим алгебраическое уравнение для неизвестной функции :

, (7.15)

где

Многочлен называется характеристическим многочленом задачи (7.14), – многочлен степени не выше , зависит от начальных условий.

Решив уравнение (7.15), найдем

(7.16)

и, восстановив оригинал, получим решение задачи (7.14). Заметим, что, если в задаче (7.14) начальные условия – нулевые, то решение (7.16) принимает вид:

. ■ (7.17)

Пример 7.9. Решить задачу Коши

Решение. Здесь . Уравнение (7.15) принимает вид:

Следовательно,

Разложив дробь на простейшие, приведем изображение к сумме табличных:

Наконец, используя таблицу, получим решение задачи:

. ►

Аналогично решаются задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. С помощью преобразования Лапласа они сводятся к системам линейных алгебраических уравнений.

Пример 7.10. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений:

Решение. Применив преобразование Лапласа, получим систему линейных алгебраических уравнений:

Решая ее, например, методом Крамера, получим

, .

Окончательно, используя таблицу, получим решение исходной задачи Коши

. ►

Если начальные условия в задаче Коши (7.14) заданы в точке , то надо сделать замену переменной , ввести новую неизвестную функцию . Для этой функции начальные условия задаются при , а производные, по правилу дифференцирования сложной функции, равны: . К полученной задаче Коши для функции и применяем преобразование Лапласа.