ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Методички от Алексеева (в порядке посылаемости) / 2сем / 6. Линейное неоднородное ДУ второго порядка

6.8.3. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (6.44)

где , и - непрерывные функции. Уравнение (6.31) из п. 6.8.1 называется соответствующим ему линейным однородным уравнением. Теорема существования и единственности для уравнения (6.44) выполняется аналогичным образом в силу непрерывности функции и коэффициентов и .

Для уравнения (6.44) верны следующие свойства.

1) Если - решение уравнения (6.31), а – решение уравнения (6.44) то, очевидно, из свойства линейности

(6.45)

– также решение уравнения (6.44). ■

2) Если – решение уравнения , а – решение уравнения , то, также очевидно, что есть решение уравнения . ■

Теорема 6.4 (об общем решении). Пусть и – линейно независимые решения линейного однородного уравнения (6.31), и – произвольные постоянные. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения (6.44) имеет вид:

, (6.46)

где – частное решение уравнения (6.44). ■

Таким образом, задача отыскания общего решения уравнения (6.44) приводится к нахождению двух частных линейно независимых решений уравнения (6.31) и какого-нибудь частного решения уравнения (6.44).

Зная два линейно независимых решения однородного уравнения (6.31), можно найти и частное решение уравнения (6.44), а следовательно, и его общее решение. Этот способ называется методом вариации произвольных постоянных Лагранжа.

А именно, частное решение можно найти в виде

, (6.47)

где и – линейно независимые решения уравнения (6.31). Имея не одну, а две искомые функции и , мы можем подчинить их, кроме уравнения (6.44), еще одному условию (уравнение (6.48)). Тогда можно проверить, что из уравнения (6.44) получится уравнение (6.49). Следовательно, и находятся из линейной системы уравнений

(6.48)

которая имеет единственное решение, так как ее определителем является вронскиан . Найдя из нее и , интегрируем и находим и , а затем по формуле (6.47) и . ■

Пример 6.10. Найти общее решение уравнения

. (6.49)

Решение. Уравнению (6.49) соответствует однородное уравнение (6.37) из примера 6.8. Его два линейно независимых решения: и . Найдем вронскианm

.

Это главный определитель сиysстемы (6.48). Для формул Крамера нужны еще два определителя:

и .

Следовательно, и . Первообразные:

.

По формуле (6.47) найдем частное решение

и, окончательно, общее решение (6.46) уравнения (6.49):

. ► (6.50)

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного (аналогично решается и для однородного) уравнения (6.44) с начальными условиями

. (6.51)

Для того чтобы найти решение этой задачи, необходимо сначала найти общее решение (6.46) неоднородного уравнения (6.44), затем подставить начальные условия (6.51) и решить относительно и получившуюся систему линейных алгебраических уравнений:

(6.52)

Система (6.52) имеет единственное решение, так как ее определителем является вронскиан .

Остается подставить найденные числа и в формулу (6.46). ■

Пример 6.11. Найти решение уравнения (6.49)

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Подставим в решение (6.50) заданные начальные условия. Система (6.52) примет вид

Так как , . Окончательно,

. ►

6.8.4. Рассмотрим уравнение (6.44) с постоянными коэффициентами и

. (6.53)

Если правая часть уравнения (6.53), функция имеет специальный вид, для нахождения частного решения наряду с методом вариации можно применять метод подбора, другими словами, метод неопределенных коэффициентов, который состоит в том, что вид частного решения предполагается известным, а неизвестные его коэффициенты находят путем подстановки в уравнение (6.53). Для этого метода подходят следующие случаи:

1. Если , где – вещественное число, – многочлен степени , то частное решение неоднородного уравнения (6.53) можно искать в виде:

а) , если не является корнем характеристического уравнения (6.39);

_б) , если является простым корнем характеристического уравнения (6.39) ;

в) , если является двукратным корнем характеристического уравнения (6.39) .

Здесь -- многочлен степени с неизвестными коэффициентами.

2. Если , где и -- вещественные числа, -- многочлены степени и соответственно, то частное решение неоднородного уравнения (6.53) можно искать в виде:

а) , если не является корнем характеристического уравнения (6.39);

б) , если является корнем характеристического уравнения (6.39).

Здесь -- многочлены степени с неизвестными коэффициентами, где -- наибольшее из чисел и . ■

Пример 6.12. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Соответствующее однородное уравнение рассмотрено в примере 6.9. Характеристическое уравнение имеет корни и . Разобьем функцию на два слагаемых , и для каждого в отдельности найдем частные решения и . Тогда частное решение заданного уравнения .

Так как у функции показатель степени и не совпадает с корнями характеристического уравнения, многочлен – многочлен 1-й степени ( ), то частное решение следует искать в виде

.

Подставим в уравнение . После сокращения на получим равенство для коэффициентов и

,

которое должно выполнятся при любом значении . Отсюда . Следовательно, .

У функции показатель совпадает с корнем характеристического уравнения, многочлен , то есть . Тогда частное решение нужно искать в виде

.

Подставим в уравнение . После упрощения получим равенство

,

из которого (в силу линейной независимости функций и ) получаем, что . Следовательно, .

Окончательно, общее решение заданного уравнения имеет вид

. ►

Пример 6.13. Найти решение уравнения(решить двумя способами)

Лапласом (пример 7.11) и обычным (этот пример 6.13)

,

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Характеристическое уравнение (6.39) для соответствующего однородного уравнения имеет вид

. Его корни и , и

– общее решение этого однородного уравнения. Применим метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения заданного неоднородного уравнения.

В нашем случае показатель степени , совпадает с одним корнем характеристического уравнения, многочлен – многочлен 1-й степени ( ), следовательно, частное решение надо искать в виде

.

Найдем производные и подставим в уравнение . После сокращения на получим равенство для коэффициентов и

,

которое должно выполнятся при любом значении . Отсюда . Следовательно, и

– общее решение неоднородного уравнения.

Подставим в полученное решение заданные начальные условия. Система (6.52) примет вид

Ее решение: . Окончательно,

. ►

Пример 6.14. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее нулевым начальным условиям

Решение. Характеристическое уравнение (6.39) для однородного уравнения имеет вид

. У него двукратный корень , и тогда общее решение:

.

Так как у функции показатель степени , совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения, многочлен – многочлен 0-й степени ( ), то частное решение следует искать в виде

.

Подставим в уравнение . После сокращения на получим равенство для коэффициента

.

Отсюда . Следовательно, , и общее решение заданного неоднородного уравнения:

.

Подставим в полученное решение нулевые начальные условия. Система (6.52) примет вид

Ее решение: . Окончательно,

. ►