6.4. Уравнение Бернулли

Обобщением линейного дифференциального уравнения 1-го порядка является уравнение Бернулли:

, (6.18)

причем показатель степени можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Делим обе части уравнения на :

и вводим вместо новую искомую функцию . Тогда производная , и уравнение (6.18) приводится к линейному уравнению, которому удовлетворяет функция .

Пример 6.4.

Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию: .

Решение. Найдем сначала общее решение заданного уравнения. Для этого делим уравнение на и вводим замену . Получим линейное уравнение вида

.

Его общее решение

Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Подставив заданное начальное условие, получим уравнение для постоянной :

,

из которого следует (т.к. ), что . Окончательно, искомое решение:

.

6.5. Уравнением в полных дифференциалах и интегрирующим множителем

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение, которое может быть преобразовано к виду

, (6.19)

причем выражение в левой части (6.19) является полным дифференциалом некоторой функции , то есть (см. п. 4.6.) для функций и выполнено условие (4.20):

.

Тогда общее решение уравнения (6.19)

,

где – произвольная постоянная.

Пример 6.4.

Решить уравнение: .

Решение. Расписав производную через дифференциалы, приведем уравнение к виду (6.19):

.

В примере 4.4. проверено условие (4.20), и найдена функция . Тогда общее решение уравнения имеет вид

.

Если выражение не является полным дифференциалом, т. е. не выполняется условие (4.20), то всегда можно найти такую функцию , что выражение обратится в полный дифференциал, то есть . Всякая такая функция называется интегрирующим множителем выражения . Для того чтобы функция была интегрирующим множителем, в силу (4.20), необходимо и достаточно выполнение равенства

,

которое, будучи переписано в виде

, (6.20)

можно рассматривать как уравнение для определения множителя . В общем случае этим уравнением трудно пользоваться, так как оно является дифференциальным уравнением в частных производных, задача интегрирования которого сложнее, чем задача интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения.

Проще решить задачу, если удается найти интегрирующий множитель в виде функции, зависящей только от одной переменной, а именно, или . Тогда из (6.20) следует, что функция удовлетворяет условию

, (6.21)

а функция –

. (6.22)

Условие (6.21) значит, что выражение

зависит только от , а условие (6.22) значит, что выражение

зависит только от .

Пример 6.4.

Решить уравнение: .

Решение. Распишем производную через дифференциалы и приведем уравнение к виду (6.19):

.

Следовательно,

.

Производные:

Тогда разность производных равна

Очевидно, подходит условие (6.21), (а не (6.22)), которое принимает вид уравнения

.

Его решение: . Получим уравнение в полных дифференциалах:

.

Функцию находим, вычисляя криволинейный интеграл

.

Окончательно, общее решение нашего уравнения:

1 Функция называется однородной порядка или степени k, если

для любого допустимого числа . Однородная функция нулевого порядка (условие (6.12)) называется просто однородной.