]

Оглавление

6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1

6.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1

6.2. с разделенными переменными 3

Пример 6.1. 3

6.3. Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка 3

Пример 6.2. 4

6.4. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка 4

Пример 6.3. 5

6.4. уравнение Бернулли 5

Пример 6.4. 6

6.5. Уравнением в полных дифференциалах и интегрирующим множителем 6

Пример 6.4. 6

Пример 6.4. 7

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения

6.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое, кроме независимой переменной и неизвестной функции, входят производные этой функции или ее дифференциалы.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

, (6.1)

где – независимая переменная и – искомая функция этой переменной. Число - наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

В частности, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

. (6.2)

Решением (частным решением) дифференциального уравнения называется любая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Частные случаи уравнений (6.1) и (6.2):

, (6.3)

(6.4)

называются дифференциальными уравнениями, разрешенными относительно старшей производной.

В простейшем случае, уравнение (6.4) имеет вид

. (6.5)

Нахождение его решений есть основная задача интегрального исчисления, и все множество этих решений дается формулой

, (6.6)

где – какая-то первообразная функции , – произвольная постоянная. Таким образом, уравнение (6.5) имеет семейство решений, зависящее от произвольной постоянной, при этом любое частное решение получается из формулы (6.6) при конкретных значениях постоянной .

Аналогично, уравнение (6.2) (или (6.4)) имеет семейство решений , зависящее от произвольной постоянной, из которого получаются частные решения при конкретных значениях постоянной . Такое решение называется общим решением уравнения (6.2) (или (6.4)).

Общим решением уравнения (6.1) (или (6.3)) является семейство решений , зависящее от произвольных постоянных , из которого получаются частные решения при конкретных значениях постоянных .

Задача, в которой требуется найти решение дифференциального уравнения (6.4), удовлетворяющее начальному условию

, (6.7)

где , – заданные числа, называется задачей Коши.

Доказана Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка (6.4).

Пусть функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную в окрестности точки с координатами ( , ). Тогда задача Коши для уравнения (6.4) с условием (6.7) имеет в этой окрестности единственное решение.

Если известно общее решение уравнения (6.4), то, используя условие (6.7), получим уравнение

для отыскания значения постоянной , соответствующего решению заданной задачи Коши.

Уравнение (6.4) может иметь решения, которые не получаются из общего решения ни при каком значении постоянной . Такие решения называются особыми решениями. Они могут существовать только в окрестности тех точек , где не выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. То же самое верно и для уравнения - го порядка (6.3). (Подробнее (см.[.]). Здесь мы особые решения рассматривать не будем.)

Задача Коши для уравнения - го порядка (6.3) формулируется с помощью условий:

, , (6.8)

где , – заданные числа. Для этой задачи Коши также доказана теорема существования и единственности.

Пусть функция переменных непрерывна и имеет непрерывные частные производные в окрестности точки с координатами ( , ). Тогда задача Коши для уравнения (6.3) с условиями (6.8) имеет в этой окрестности единственное решение.

Если известно общее решение уравнения (6.3), зависящее от произвольных постоянных, то значения этих постоянных, соответствующие решению заданной задачи Коши, находятся из системы (6.8) уравнений с неизвестными.