8.2. Интегрирование неравенств.

Теорема 1. Пусть функции и – интегрируемы на , причем при . Тогда

. (8.10)

Доказательство следует из определения определенного интеграла и теоремы о предельном переходе в неравенстве. ■

Следствие. Пусть функция – интегрируема на при . Тогда

. (8.11)

Замечание. Если интегрируемая функция удовлетворяет строгому неравенству при , нельзя утверждать, что вместо (8.11) будет выполняться строгое неравенство для интеграла. Но для непрерывных функций такое утверждение верно.

Теорема 2. Пусть функция – непрерывна на при . Тогда

. (8.12)

Доказательство. По теореме Вейерштрасса существуют наименьшее ( ) и наибольшее ( ) значения функции , которые достигаются на , причем в силу условия теоремы , . Тогда из теоремы 1 и (8.8) получается, что

, (8.13)

откуда и следует утверждение теоремы. ■

Следствие. Пусть функции и – непрерывны на , причем при . Тогда

. (8.14)

Замечание. Неравенство (8.13) верно для любой (принимающей значения любого знака) непрерывной функции.

Теорема 3. Пусть функция – интегрируема на промежутке . Тогда

. (8.15)

Доказательство следует из определения определенного интеграла, неравенства для модулей, называемого неравенством треугольника и теоремы о предельном переходе в неравенстве. ■

8.3. Теорема о среднем и ее обобщение

Теорема. Пусть функции и – непрерывны на , причем функция сохраняет знак на . Тогда существует (хоть одно) число , такое что

. (8.16)

Доказательство. Пусть сначала . Аналогично с (8.13) имеет место неравенство

. (8.17)

Разделим неравенство (8.17) на интеграл , который в силу (8.12) является положительным числом. Получим неравенство , где

.

По теореме Больцано-Коши существует хотя бы одно число , такое что .

Если функция , то введем функцию , для которой, как доказано, верно равенство (8.16). То есть

.

Остается сократить на (-1). ■

Следствие (теорема о среднем). В частности, если , а - непрерывна на то существует число такое, что

(8.18)

или

. (8.19)

(Выражение в левой части равенства (8.19) называется средним значением функции по промежутку ).

Геометрически равенство (8.18) означает, что существует такое число , что площадь криволинейной трапеции (8.5) равна площади прямоугольника с основанием и высотой, равной (см. рис.22).

Рис. 22. Геометрическая интерпретация теоремы о среднем

8.4. Формула ньютона-лейбница

Теорема Барроу. Пусть функция непрерывна на интервале Введем функцию

, . (8.20)

Тогда

.

То есть интеграл с переменным верхним пределом (8.20) от непрерывной функции является первообразной подынтегральной функции.

Доказательство. Пусть Δx > 0 . Рассмотрим

=

.

По теореме о среднем существует такая точка , что

Тогда

.

Из условия следует, что если , то . Поскольку функция непрерывна, то из того, что , следует, что . Тем самым доказано существование предела справа. Аналогично доказывается, что предел слева существует и совпадает с пределом справа. Тогда

Теорема доказана. ■

Из теоремы Барроу вытекает формула Ньютона – Лейбница - способ вычисления определённого интеграла в случае непрерывной подынтегральной функции.

Теорема. Пусть функция непрерывна на интервале и – ее первообразная ( = ). Тогда

. (8.21)

Доказательство. Для функции , определенной формулой (8.20) верны свойства:

,

Следовательно,

. (8.22)

Поскольку две первообразные функции отличаются на постоянную , и верно очевидное равенство

,

то в последнем равенстве (8.22) функцию можно заменить на Тогда, введя обозначение (называемое подстановкой):

,

получим формулу (8.21). ■

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле 1 таблицы 2 находим первообразную и подставляем пределы

◄