3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если

,

где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица .

Обратная матрица существует только в том случае, если , и ее элементы находятся по формуле

,

где - алгебраическое дополнение к элементу .

Внимание! Алгебраические дополнения, которые вычисляются к элементам строки, записываются в столбец.

Если , то матрица называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.

Обозначается обратная матрица , т.е.

,

при этом ее определитель .

Для невырожденных матриц и выполнены соотношения

,

.

Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:

или .

Если матрица − квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, они решаются разными способами.

При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе - справа, т.е.

, (5)

. (6)

►Пример 4. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу , если ; .

Решение.

Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. , если матрица невырожденная. Вычислим определитель матрицы :

Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:

Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу .

,

◄

При вычислениях множитель рекомендуем оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.

Упражнения.

1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:

а) ; б) ;

Ответы: а) ; б) ;

4. Ранг матрицы

Рангом матрицы (обозначение: или ) называется порядок отличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто базисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

- транспонирование;

- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Используя вышеперечисленные действия, матрицу можно преобразовать к эквивалентной, имеющей треугольный вид, что позволяет легко определить ее ранг.

►Пример 5. Найти ранг матрицы .

Решение. Переход от исходной матрицы к эквивалентной будем обозначать символом “ ”, над котором указаны действия, проводимые со строками (см.пример 2). Преобразуем матрицу:

Минор , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, . ◄

При преобразовании матрицы мы действовали по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, он называется методом Гаусса.

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.