ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Высшая математика / Пробник целой методички / Методичка_ОЛЛ(с возможностью поиска)

1

Оглавление

9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

9.1. Несобственный интеграл 1-го рода.

Напомним, что определённый интеграл ∫ ( ) в основном рассматривался при условии непрерывности функции ( ) на замкнутом конечном интервале [ , ]. Здесь мы рассмотрим вопрос определения интеграла для неограниченных интервалов. Такие интегралы называются

н е с о б с т в е н н ы м и и н т е г р а л а м и 1 - г о р о д а .

2

Аналогично строится определение несобственного интеграла и для других видов неограниченных интервалов. А именно, пусть функция ( )

несобственный интеграл ∫−+∞∞ ( ) определяется как двойной предел:

Если > 1, то предел конечен и ∫1+∞ = −11, если < 1, то предел бесконечен и интеграл расходится.

Для = 1 первообразная ( ) = ln стремится к +∞ при → +∞. Следовательно, предел бесконечен и интеграл расходится. ◄

Решение. Воспользуемся первообразной подынтегральной функции, найденной в примере 4 п.7.5. Тогда

Замечание. Для несобственного интеграла (9.3) вводится характеристика, которая называется главным значением интеграла. А именно,

3

Здесь при нахождении предела концы промежутка симметрично уходят на бесконечность. Очевидно, если интеграл (9.3) сходится, то его значение совпадает с главным значением (9.4). Но возможны ситуации, когда интеграл (9.3) расходится, а главное значение (9.4) - конечно.

первообразная ( ) = ln ( 2 + 1) стремится к +∞ при → ±∞ и каждый из

т.к. для нечетной подынтегральной функции 2 интеграл по симметричному

2+1

промежутку [− , ] равен нулю (см. лемму 2 п.8.5). ◄

Для сходящихся несобственных интегралов справедливы все свойства определённого интеграла.

В дальнейшем утверждения будем формулировать для интегралов вида (9.1), подобные утверждения верны и для интегралов (9.2) и (9.3).

Теорема 1. Если функция ( ) непрерывна на интервале [ , +∞), то интегралы ∫+∞ ( ) и ∫+∞ ( ) сходятся или расходятся одновременно для любого > .

Доказательство очевидно в силу непрерывности функции ( ) на интервале [ , ] и равенства

∫+∞ ( ) = ∫с ( ) + ∫с+∞ ( ) ■

Теорема 2. Если функция ( ) непрерывна на интервале [ , +∞), ( )

– ее первообразная, причем существует конечный предел lim ( ) = , то

→∞

интеграл (9.1) сходится и равен − ( ).

Доказательство следует из формулы Ньютона-Лейбница.■

Рассмотрим несобственный интеграл с положительной подынтегральной функцией. В этом случае (см.п.8.2) интеграл с переменным верхним пределом является возрастающей функцией аргумента . Тогда из теоремы о пределе монотонной функции (п.2.3) следует

4

Лемма. Если существует постоянная > 0 такая, что для любого значения > выполнено неравенство

∫ ( ) ≤ ,

то интеграл ∫+∞ ( ) сходится, причем

∫+∞ ( ) ≤ .

В противном случае интеграл ∫+∞ ( ) расходится.■

На эту лемму опирается доказательство теорем, которые называются

признаками сходимости.

Теорема 3. Пусть функции ( ) и ( ) непрерывны на интервале [ , +∞). Пусть существует интервал [ , +∞), ≤ , на котором выполнено неравенство 0 ≤ ( ) ≤ ( ). Тогда:

1) если расходится интеграл ∫+∞ ( ) , то расходится и интеграл

∫+∞ ( ) ;

2) если сходится интеграл ∫+∞ ( ) , то сходится и интеграл

∫+∞ ( ) .

Доказательство. Докажем второе утверждение, доказательство первого из него следует методом «от противного».

Пусть сходится интеграл ∫+∞ ( ) = . Тогда из теоремы 1 следует, что сходится интеграл ∫+∞ ( ) ≤ , и для любого > интеграл ∫ ( ) ≤ . Из условия 0 ≤ ( ) ≤ ( ) и (8.10) следует, что

∫ ( ) ≤ ∫ ( ) ≤ .

Остается сослаться на лемму и теорему 1. ■

∫+∞ ( ) сходятся или расходятся одновременно.

6

| ∫+∞ ( ) | ≤ ∫+∞ ( ) . ■

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл ∫+∞ cos .

0 2+1

Решение. Очевидна оценка подынтегральной функции: | cos2+1 | ≤ 21+1. Интеграл

Следовательно, интеграл ∫+∞ cos сходится абсолютно, причем

0 2+1

9.2. Несобственный интеграл 2-го рода.

Здесь мы рассмотрим вопрос определения интеграла для ограниченных интервалов в случае, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность в какой-то точке интервала. Такие интегралы называются несобственными интегралами 2-го рода.

Пусть функция ( ) непрерывна на интервале [ , ), причем ( ) →

Если предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится, и предел берется за значение интеграла, а если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл, если особой точкой является другой край интервала. А именно, пусть функция ( ) непрерывна на интервале ( , ], причем ( ) → ∞ при → + 0, тогда несобственный

интеграл ∫ ( ) определяется равенством

7

В обоих случаях смысл определения состоит в том, что нужно отойти от точки, в которой функция стремится к бесконечности, вовнутрь интервала, а затем расстояние, на которое отошли, устремить к нулю.

Как двойной предел определяется несобственный интеграл в том случае, когда функция стремится к бесконечности в обеих граничных точках интервала. А именно, пусть функция ( ) непрерывна на интервале ( , ), причем ( ) → ∞ при → + 0 и → − 0. Тогда несобственный интеграл

∫ ( ) определяется равенством

где – произвольное число.

Аналогично, через двойной предел, определяется несобственный интеграл в том случае, когда функция стремится к бесконечности во внутренней точке интервала.

Пусть функция ( ) непрерывна на множестве [ , ) ( , ], причем ( ) → ∞ при → . Тогда несобственный интеграл ∫ ( ) определяется равенством

Пример 1. Интеграл ∫01 сходится при < 1 и расходится при ≥ 1.

Доказательство так же, как и в примере 1 п.9.1 использует первообразную степенной функции. При < 1

т.е. интеграл сходится. Аналогично рассматривается случай ≥ 1 и доказывается, что интеграл расходится.◄

1

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл dx .

0 1− x2

Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при x = 1. Следовательно

8

Замечание. Для несобственного интеграла (9.8) также вводится главное значение интеграла. А именно, по определению г л а в н ы м з н а ч е н и е м и н т е г р а л а (9.8) называется предел

Очевидно также, если интеграл (9.8) сходится, то его значение совпадает с главным значением (9.9). Но возможны ситуации, когда интеграл (9.8) расходится, а главное значение (9.9) – конечно.

Для интеграла (9.7) главное значение можно ввести аналогичным образом.

Для сходящихся несобственных интегралов 2-го рода также справедливы все свойства определённого интеграла.

Сформулируем утверждение для интеграла (9.5), аналогичное теореме 2. Подобные утверждения верны и для остальных интегралов.

Теорема 1. Если функция ( ) непрерывна на интервале [ , ), ( ) – ее

первообразная, причем существует конечный предел lim ( ) = , то

→ −0

интеграл (9.5) сходится и равен − ( ).

Доказательство, очевидно, также следует из формулы Ньютона-Лейбница.

■

Для положительной подынтегральной функции верны признаки сходимости, аналогичные теоремам, сформулированным для несобственных интегралов 1-го рода.

На практике также в качестве функции сравнения удобно использовать степенную функцию. Это следует из примера 1.

В частности подынтегральная функция из примера 2 удовлетворяет оценке сверху через степенную функцию с показателем = 1/2, что обеспечивает сходимость интеграла.

9

Аналогичным образом для функций, принимающих значения любого знака,

вводятся понятия абсолютной и условной сходимости и доказываются соответствующие утверждения.

Замечание. Несобственные интегралы могут сразу содержать особенности, присущие интегралам 1-го и 2-го родов. При исследовании сходимости таких интегралов надо «разделять трудности».

Пример 3. При z > 0 исследовать на сходимость интеграл (гамма-функцию)

Γ(z) = ∫0+∞ z−1 − .

Решение. Разобьем интеграл на сумму двух слагаемых, каждое из которых содержит только одну особенность:

∫0+∞ z−1 − = ∫01 z−1 − + ∫1+∞ z−1 − .

Первое слагаемое при 0 < z < 1 является несобственным интегралом 2-го рода, который сходится по признаку сравнения со степенной функцией, и является обычным определенным интегралом при z ≥ 1.

Второе слагаемое – несобственный интеграл 1-го рода, который также сходится. Сравним при ≥ 1 подынтегральную функцию ( ) = z−1 − с

функцией ( ) = − , > 1. Из примера 2 п. 4.4 следует, что lim ( ) = 0,

→+∞ ( )

т.е. для заданного числа > 0 существует число > 0 такое, что из неравенства > следует неравенство ( ) < ( ). Остается сослаться на пример 1 и теоремы 1 и 3 п. 9.1. ◄

Пример 4. Исследовать на сходимость и вычислить интеграл

√ ( +1)

Второе слагаемое – несобственный интеграл 1-го рода.

Для этого второго интеграла, так как ≥ 1, верна оценка

10

Так как показатель степени = 4/3 > 1, из теоремы 3 и примера 1 п. 9.1 следует, что второй интеграл сходится.

Для первого интеграла, так как 0 < ≤ 1, верна другая оценка (с показателем степени = 1/3 < 1)

которая, благодаря признаку сравнения со степенной функцией и примеру 1, доказывает, что и первый интеграл сходится.

Оценки (9.10) и (9.11) вместе доказывают, что наш интеграл сходится. Для его вычисления надо найти предел

→+0

Неопределенный интеграл ∫ 3 берется с помощью замены переменной:

√ ( +1)

= 3. Тогда = 3 2 ,

Последний интеграл в (9.13) найден в примере 2 п.7.6.2. Подставляя в (9.12), получим

Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). — М. 2003. т.1— 680с.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). — М. 2003. т.2— 864с.