§5. Сходимость ряда Фурье

Вопрос о равенстве значений функции и суммы её ряда Фурье оказался глубоким. Обсуждение этого вопроса началось с опубликования в 1804 г. работы Фурье, где он использовал тригонометрический ряд для решения уравнения теплопроводности, и длится до сих пор. Это обсуждение привело к развитию различных областей математики. Так в работах В.А. Стеклова (1900-1910), в частности, был получен следующий результат

Теорема (Стеклов). Дважды непрерывно дифференцируемая на множестве функция , удовлетворяющая однородному граничному условию (4.6), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд (4.7) по собственным функциям данной краевой задачи.

Напомним, что ряд Фурье функции сходится к этой функции в смысле метрики пространства . В 1966 г. Л. Карлесон доказал, что равенство выполняется почти везде (см. замечание к примеру 3 из §1). Поэтому, обычно, вместо равенства пишут и говорят, что функции соответствует ряд Фурье или функция имеет ряд Фурье .

Для справедливости равенства в конкретной точке требуется наложить дополнительные условия (условия «гладкости») на функцию . В этом пособии приводится признак Дирихле, который имеет широкое применение в задачах практики.

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на промежутке, если этот промежуток можно разложить на конечное число частичных промежутков, внутри которых по отдельности функция монотонна.

Признак Дирихле. Если функция кусочно-монотонна в промежутке и имеет в нём не более чем конечное число точек разрыва первого рода, то её ряд Фурье сходится, причём

где и пределы слева и справа в точке соответственно.

Условия на функцию, высказанные здесь, называются условиями Дирихле.

В силу периодичности гармоник (членов ряда) из сходимости ряда Фурье на промежутке следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2l-периодическая функция, которую будем обозначать опять . Функция , определенная указанным образом, будет периодическим продолжением .

§ 6. Интегральная формула Фурье

Предположим, что функция на каждом конечном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле. Кроме того, предположим, что функция абсолютно интегрируема на R, т.е. несобственный интеграл сходится.

Пусть x – любая точка на числовой оси; выберем любое число l, удовлетворяющее условию . Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье функции в комплексной форме на симметричном промежутке :

, (1)

где

(2)

(переменная интегрирования обозначена символом вместо x, чтобы не путать её с заданной точкой x).

Подставляя выражения коэффициентов (2) в ряд (1), получим

Обозначим

, , .

Т.к. функция абсолютно интегрируема на R, то интегралы сходятся абсолютно при всех значениях l. Последнее выражение для суммы можно записать в виде

. (3)

Это выражение напоминает "интегральную сумму" для несобственного интеграла , где подынтегральная функция равна

.

В «интегральной сумме» ранг дробления стремится к нулю, когда . Всё это позволяет надеяться, что в равенстве (3) можно перейти к пределу при l→+∞. Можно доказать, что это действительно так.

В результате получается равенство

,

которое называется интегральной формулой Фурье или интегралом Фурье.

Теорема. Пусть функция абсолютно интегрируема на R и удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке . Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) и

В дальнейшем будем считать, что функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, в точках разрыва удовлетворяет условию

.

При таком условии интегральная формула Фурье, для рассматриваемого класса функций, примет вид

. (4)

Преобразуем интегральную формулу Фурье. Используя формулу Эйлера, получим

Подынтегральная функция во втором интеграле является нечётной по ω, поэтому интеграл по симметричному промежутку равен 0; что касается первого интеграла, то его подынтегральная функция – чётная, поэтому можно интегрировать только по половине этого промежутка, но результат удвоить. Поэтому получаем интегральную формулу Фурье в следующем виде:

. (5)

Вернёмся к интегральной формуле Фурье (4).

Определение. Преобразованием Фурье функции называется функция

.

Из условий, наложенных на функцию , следует, что функция  непрерывна на R. Тогда интегральная формула Фурье примет вид

.

Поэтому, естественно, вводится понятие обратного преобразования Фурье.

Определение. Обратным преобразованием Фурье функции называется функция

.

Замечание 1. Данное представление функции является аналогом ряда Фурье в комплексной форме (4.1).

Замечание 2. В этой формуле выражение   задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке  и суммарной комплексной амплитудой . Функция   называется спектральной плотностью. Поэтому интегральную формулу Фурье, записанную в виде

можно трактовать, как разложение функции  в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке

Замечание 3. Обратимся к интегральной формуле Фурье (5). Пользуясь тригонометрической формулой , из (5) выводим

.

Если, по аналогии с формулами (4.3), обозначим

. (6)

то получим равенство

, (7)

которое аналогично тригонометрическому ряду Фурье (4.2).

Рассмотрим частные случаи формул (6) и (7).

1. Пусть функция является чётной. Тогда в первой из формул (6) подынтегральная функция является чётной, а во второй – нечётной. Поэтому =0 при всех ω, а

(8)

В формуле (7) при этом остаётся только первое слагаемое:

. (9)

2. Пусть функция является нечётной. Тогда в первой из формул (6) подынтегральная функция является нечётной, а во второй – чётной. Поэтому =0 при всех ω, а

. (10)

В формуле (7) при этом остаётся только второе слагаемое:

. (11)

Заметим, что в формулах (8) и (10) достаточно, чтобы функция была определена только на промежутке .

Формулы (9) и (11) приводят к следующим определениям преобразований.

Определение. Косинус-преобразованием Фурье функции называется функция

. (12)

Определение. Обратным косинус-преобразованием Фурье функции называется функция

. (13)

Определение. Синус-преобразованием Фурье функции называется функция

. (14)

Определение. Обратным синус-преобразованием Фурье функции называется функция

. (15)

Замечание 4. Пары формул (12), (13) и (14), (15) симметричны: прямое и обратное преобразования отличаются только обозначениями функций и переменных.

Замечание 5. Легко проверяются следующие утверждения:

если функция чётная, то ;

если функция нечётная то .

Замечание 6. Кроме того, формулы (9) и (13) дают чётное, а формулы (11) и (15) – нечётное продолжение функции с промежутка (0,+∞) на всю числовую ось (с указанными выше поправками в точках разрыва и в точке x=0).