8.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. (Замена переменной). Пусть две переменные , и , связаны взаимно-однозначной зависимостью, т.е. известны две взаимно-обратные функции: и , причем , , . Пусть функция и её производная непрерывны на интервале функция непрерывна на интервале . Тогда

, (8.23)

где – первообразная функции .

Доказательство следует из теоремы о замене в неопределенном интеграле и формулы Ньютона-Лейбница. ■

Заметим, что при вычислении определённого интеграла можно возвращаться к первоначальной переменной и пользоваться формулой (7.6). Но согласно приведенной теореме это не обязательно, достаточно пересчитать и подставить пределы интегрирования для переменной

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку :

Вычислим для сравнения этот интеграл с помощью первообразной, найденной в примере 2 п. 7.4.

. ◄

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Применив подстановку , получаем

◄

Приведем два случая, в которых вычисление интеграла упрощается в силу симметрии подынтегральной функции.

Лемма 1. Пусть четная функция интегрируема на интервалах и . Тогда

.

Лемма 2. Пусть нечетная функция интегрируема на интервалах и . Тогда

.

Доказательство этих двух лемм проводится одинаково. Разбиваем промежуток на две части и . В интеграле делаем замену . Тогда для четной функции

,

для нечетной –

,

откуда и следуют утверждения лемм. ■

Теорема. (Интегрирование по частям). Пусть функции – непрерывны на . Тогда

. (8.24)

Доказательство следует из теоремы об интегрировании по частям в неопределенном интеграле и формулы Ньютона-Лейбница. ■

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:

.◄