ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Высшая математика / Методички от Алексеева (в порядке посылаемости) / 1сем / 7.6 - 7.8 Методы интегрирования

7.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Нахождение первообразных из множества элементарных функций возможно только для некоторых классов функций, в частности, для рациональных дробей (1.8).

Рациональная дробь

называется правильной, если степень знаменателя больше степени числителя, т.е. , и неправильной в противном случае.

7.6.1. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби четырех типов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Здесь – вещественные числа, - натуральное число, , дискриминант .

Дроби 1-го и 2-го типов интегрируются, как показано в примере 2 п. 7.3.

, (7.11)

. (7.12)

Дробь 3-го типа интегрируется, как в примере 1 п. 7.4. В результате:

. (7.13)

Для интегрирования дроби 4-го типа используется замена и алгоритм понижения степени знаменателя, как в примере 4 п. 7.5, (см., например, [2]).

7.6.2. Интегрирование правильных рациональных дробей

Для правильной рациональной дроби верно утверждение: любая правильная дробь раскладывается в сумму простейших дробей (доказательство см. в [2]). ■

Следовательно, для интегрирования правильной дроби ее надо разложить на простейшие и проинтегрировать их.

Алгоритм разложения дроби на простейшие состоит в следующем. Сначала пишут разложение знаменателя дроби на множители, в соответствии с ним - необходимый вид разложения дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами, затем находят числовые значения коэффициентов, используя сочетание двух методов: метода подстановки и метода приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Пример 1. Разложить дробь на простейшие.

Решение. Знаменатель дроби раскладывается на множители как сумма кубов: . Тогда разложение дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами имеет вид:

.

Приведя к общему знаменателю и приравняв числители, получим равенство . Отсюда, подставляя , находим коэффициенты . Далее, приравняв коэффициенты при степенях , получим , то есть . Окончательное разложение имеет вид:

. ◄

Рассмотрим пример интегрирования правильной дроби.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Используем разложение подынтегральной дроби на простейшие, полученное в примере 1, и интеграл из примера 1 п. 7.4. Тогда

. ◄

7.6.3. Интегрирование неправильных рациональных дробей

Для неправильной рациональной дроби имеет место следующая

Теорема (доказательство см. в [2]). Неправильная рациональная дробь представима в виде

, (7.14)

где и – многочлены степеней и соответственно. ■

Из формулы (7.14) следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Проведем деление многочленов в подынтегральной функции, тогда

.

Разложение получившейся правильной дроби на простейшие имеет вид:

.

Тогда, используя таблицу и пример 4 п. 7.5, получим

. ◄

7.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Пусть подынтегральная функция имеет вид

, (7.15)

где - рациональная функция своих аргументов, , а - рациональные числа. Тогда, сделав замену

, (7.16)

где - общий знаменатель всех дробей , получим интеграл от рациональной дроби с аргументом .

Доказательство. В этом случае показатели степени являются целыми числами. Из равенства (7.16) следует, что

.

Тогда при подстановке в (7.15) получаем рациональную функцию от аргумента . ■

Пример. Найти интеграл

Решение. Замена (7.16) в этом случае имеет вид _.

◄

Примеры интегрирования других иррациональных выражений см. в [2].

7.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Пусть подынтегральная функция имеет вид

, (7.17)

где - рациональная функция своих аргументов. Тогда замена

(7.18)

приводит к интегралу от рациональной дроби с аргументом .

Доказательство. Так как , то . Функции синус и косинус выражаются через тангенс половинного угла по формулам:

.

Следовательно, при подстановке в (7.17) получаем новую рациональную функцию от аргумента . ■

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Сделаем замену

.

Разложение дроби на простейшие имеет вид

Приведя к общему знаменателю, получаем

.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, .

Подставляя , получаем

. ◄

Для подынтегральной функции , обладающей некоторой симметрией, возможна другая, более простая, замена переменной. В частности, возможны следующие варианты.

1. Если, то подстановка .

2. Если то подстановка .

3. Если то подстановка (или ).

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Так как сделаем подстановку

◄

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Так как сделаем подстановку

. ◄