6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ

6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 1-ГО ПОРЯДКА И ЕГО СВОЙСТВА

Пусть функция дифференцируема в точке . Дифференциалом 1-го порядка функции в этой точке называется

или , (6.1)

где дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то есть .

Из формулы (6.1) следует, что производную можно рассматривать как отношение дифференциалов .

Геометрический смысл дифференциала и его отличие от приращения функции видны на рисунке 19.

Рис. 19

Из (4.6) следует связь между приращением функции и ее дифференциалом:

, (6.2)

где – бесконечно малая при .

_{Следовательно, дифференциал отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка и используется поэтому в приближенных вычислениях вместо приращения функции.}

Свойства 1-го дифференциала.

1. .

2. .

3. .

4. .

_{5. Дифференциал 1-го порядка обладает свойством инвариантности, то есть выражение для дифференциала одинаково в случаях, когда х – независимая переменная или сама является функцией.}

_{Доказательство}. Пусть .

_{Тогда по правилу дифференцирования сложной функции}

. ■

Доказательства остальных свойств дифференциала следуют из свойств производных (п. 4.2.2).

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И ИХ СВОЙСТВА

Пусть функция имеет производную –го порядка в точке . Дифференциалом -го порядка функции в этой точке называется дифференциал от дифференциала ( )-го порядка, то есть

. (6.3)

Так как приращение независимой переменной играет роль постоянной, то

. (6.4)

Из формулы (6.4) следует, что производную –го порядка также можно рассматривать как отношение .

Для дифференциалов высших порядков сохраняются свойства 1. и 2. Свойства 3. и 4. усложняются, так как усложняются формулы для производных высших порядков, в частности, свойство 3. записывается через биномиальные коэффициенты . Например,

. (6.5)

Свойство инвариантности 5. не сохраняется для дифференциалов высших порядков.

7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

7.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси. Функция называется первообразной функции , если во всех внутренних точках промежутка функция имеет производную и

. (7.1)

Легко проверить, что первообразная у функции не единственна.

Свойства первообразных одной функции сформулируем в виде двух теорем.

Теорема 1. Если функция – первообразная функции , то и функция , где - любая постоянная, также является первообразной той же функции .

Доказательство. Условие (7.1) для функции проверяется дифференцированием

. ■

Верно и обратное утверждение.

Теорема 2. Пусть и – две первообразные одной функции на некотором промежутке. Тогда на этом промежутке

,

где – постоянная.

Доказательство. Введем функцию . Очевидно, ее производная на нашем промежутке равна нулю:

.

Остается сослаться на п. 5.2 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). ■

7.2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных этой функции и обозначается

. (7.2)

Выражение в (7.2) называется подынтегральным выражением, а – подынтегральной функцией, процесс отыскания первообразных – интегрированием.

Из теорем 1 и 2 п. 7.1 следует, что неопределенный интеграл можно представить в виде

, (7.3)

где - какая-либо первообразная функции , – произвольная постоянная. То есть, меняя в (7.3) постоянную , можно получить любую первообразную функции .

В разделе «Определенный интеграл» будет доказано, что у непрерывной функции существует первообразная. Не оговаривая особо, в дальнейшем будем предполагать выполненным условие непрерывности подынтегральной функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Доказательство этих свойств проводится (согласно определению (7.3)) с помощью дифференцирования левой и правой частей равенства. ■

7.3. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то таблица основных интегралов получается из таблицы производных 4.2.5.

Таблица 2

1.	8.
2.	9.
3.	10. ,
4. , a>0, a	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.

Замечание. В силу тождеств: и неопределенные интегралы № 9 и № 10 могут быть записаны и через другие функции.

Пример 1. Пусть – первообразная функции . Тогда для

, (7.4)

Доказательство также проводится с помощью дифференцирования левой и правой частей равенства (7.4) и формулы (4.9). ◄

Пример 2. Из (7.4) и интегралов 1 и 2 таблицы 2 следует, что

,

. ◄

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Преобразовав подынтегральное выражение, воспользуемся свойствами неопределенного интеграла и формулами 1 и 2 таблицы 2. Тогда

. ◄

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Используем формулу для преобразования подынтегрального выражения. Тогда из формул 1 и 5 таблицы 2 получим

◄

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. 1) Пусть . Тогда, используя (7.4) и интеграл 10 из таблицы 2, получим

.

2) Пусть . Тогда . Очевидно, (пример 2)

.

3) Пусть . Тогда уравнение имеет два разных вещественных корня и , подынтегральная дробь раскладывается в сумму

.

Следовательно, интеграл

. ◄

7.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Теорема. Пусть две переменные и связаны взаимно-однозначной зависимостью, т.е. известны две взаимно-обратные дифференцируемые функции и , имеющие непрерывные производные. Тогда

. (7.5)

Доказательство. Продифференцируем равенство (7.5), учитывая, что в правой части – сложная функция, зависящая от . Тогда

,

т.к. производные взаимно-обратных функций удовлетворяют условию (4.7). Следовательно, равны и неопределенные интегралы. ■

Формула (7.5) применяется, если для интеграла в правой части найдется первообразная, а именно,

.

Тогда

. (7.6)

Замечание. В некоторых случаях подынтегральная функция может быть представлена в виде

. (7.7)

Тогда

, (7.8)

где – первообразная функции .

Такой прием называется подведением под знак дифференциала.

В частности, его можно применить для доказательства (7.4).

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Используя производную знаменателя, разложим интеграл в сумму двух интегралов:

.

В первом интеграле сделаем замену: . Тогда (заметим, что )

.

Во втором интеграле (см. пример 5 п. 7.3) в знаменателе выделим полный квадрат

и сделаем замену: . Тогда

.

Окончательно

. ◄

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Используем замену: . Тогда .

. ◄

Пример 3. Найти ,

Решение. Сделаем замену и найдем дифференциал

.

Следовательно,

.

Замечание. Аналогичным образом (на области допустимых значений) берется интеграл

при , причем надо учитывать, что переменная может быть меньше нуля:

. ◄

7.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Теорема. Пусть функции имеют непрерывные производные и . Тогда

. (7.9)

Формула (7.9) может быть переписана в кратком варианте через дифференциалы, а именно,

. (7.10)

Доказательство также очевидно следует из дифференцирования левой и правой частей равенства (7.9). ■

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Обозначив , получаем

. ◄

Иногда приходится несколько раз применить формулу интегрирования по частям.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Обозначив , получаем

◄

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Обозначим .

Тогда

В результате мы пришли к уравнению

где неизвестным является исходный интеграл. Решая уравнение, получаем одну из первообразных. Окончательно,

◄

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде:

.

Интеграл от первого слагаемого – табличный, а для второго применим формулу интегрирования по частям (7.9), считая, что

.

Тогда , и

.

Окончательно

. ◄

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов и для второго применим формулу интегрирования по частям (7.9), считая, что

. Тогда , и

.

Как в примере 3, получилось уравнение, где неизвестным является исходный интеграл. Решив его и использовав пример 3 п.7.4, получим

.