5.3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции

Напомним определение: функция , называется выпуклой (вогнутой), если её график расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции (см. рисунки 8 и 17). Приведённое определение предполагает дифференцируемость функции в точках , т.к. существование касательной равносильно существованию производной (геометрический смысл производной).

Рис. 17

Теорема (Достаточный признак выпуклости (вогнутости) функции).

Пусть функция при имеет вторую производную , причем ( ). Тогда выпукла ( вогнута) на этом промежутке.

Доказательство. Пусть , . Проведем касательную к графику функции в точке : . Обозначим для удобства через значение ординаты на касательной в точке и рассмотрим

.

К разности применим формулу (5.5), считая . Тогда

.

Аналогично, применяя формулу (5.5) к разности , получим

,

где .

Следовательно, если , то график функции в точке ниже касательной, если , то график выше касательной. ◄

Теорема (Достаточное условие существования точек перегиба).

Пусть функция непрерывна в точке и некоторой ее окрестности. Пусть в этой окрестности существует вторая производная за исключением, быть может, самой точки . Если при переходе через точку производная меняет знак, то - точка перегиба.

Доказательство следует из теоремы о выпуклости (вогнутости) функции). ◄

5.4. Асимптоты графика функции

Наклонная асимптота возможна при стремлении или . Можно доказать (см. [..]), что асимптота на существует, если существуют конечные пределы

. (5.7)

Аналогично при .

Вертикальная асимптота существует только в той точке , в какой хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то есть

(5.8)

или

. (5.9)

5.5. Схема исследования функции и построение ее графика

Исследование функции удобно проводить по схеме, разделенной на три этапа, после чего строится график этой функции.

1 Первый этап – анализ свойств самой функции – состоит из следующих пунктов:

11область определения и область значений функции;

12четность, нечетность, периодичность функции;

13точки пересечения графика с осями;

14промежутки знакопостоянства функции;

15поведение на границе области определения и наличие асимптот.

2 Второй этап – анализ свойств первой производной функции – содержит следующие пункты:

21область определения ;

21промежутки знакопостоянства и корни , а также точки, где не существует, что позволяет определить промежутки монотонности и экстремумы функции .

3 Третий этап – анализ свойств второй производной функции – аналогично содержит пункты:

31область определения ;

32 промежутки знакопостоянства и корни , а также точки, где не существует, что позволяет определить промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

Пример. Построить график функции .

Решение. Будем исследовать функцию, нанося на координатную плоскость получаемые при исследовании точки (рис. 18а).

1.

Область определения функции . Вертикальных асимптот нет.

Функция не обладает свойствами периодичности, четности, нечетности.

Точки пересечения с осями: , . Отметим эти точки на координатной плоскости.

Для отыскания наклонных асимптот вычислим значения и :

Следовательно, прямая – горизонтальная асимптота, причем график функции стремится к этой линии и при , и при .

2.

Находим производную и определяем экстремумы, промежутки монотонности:

.

Нет точек, в которых первая производная обращается в нуль. Однако при значениях производная не существует, и эти точки могут оказаться экстремумами. Отмечаем знаки производной на полученных промежутках:

Функция убывает на промежутках: , возрастает на промежутке . При у функции острый минимум, при – острый максимум. Вычислив значения минимума и максимума, отметим точки: и .

3.

Вычисляем вторую производную

.

Вторая производная не существует при значениях и равна нулю, если :

На промежутках: функция выпукла вверх, а на промежутках – выпукла вниз. Точка – точка перегиба, .

Соединив полученные точки, и используя данные о монотонности и выпуклости получаем график функции на рисунке 18б. ◄

а) б)

Рис. 18