
- •4.3. Производные высших порядков
- •4.4. Правило лопиталя
- •5. Исследование функций
- •5.1. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •5.2. Возрастание, убывание, экстремумы функции
- •5.3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •5.5. Схема исследования функции и построение ее графика
4.3. Производные высших порядков
Пусть
в открытом интервале, содержащем точку
,
существует
первая производная
функции
.
Второй
производной
в точке
функции
называется производная от её первой
производной:
.
Третьей производной в точке функции называется производная от её второй производной:
.
Аналогичным
образом строится определение производных
высоких порядков, причем производные
порядка
,
начиная с четвёртого, принято обозначать
символом
.
Все они определяются формулой
.
(4.13)
Из результатов п. 4.2.2 получаются свойства производных – го порядка:
1)
;
2)
;
3)
,
где
– биномиальные коэффициенты.
В частности,
;
.
Пример.
Найти производную порядка
для функции
.
Решение. Вычислим последовательно производные первого порядка, второго и далее:
.
◄
Полученную формулу строго можно доказать методом математической индукции.
4.4. Правило лопиталя
Производные
можно применять для раскрытия
неопределенностей вида
и
.
Теорема (правило Лопиталя).
Пусть
предел
является неопределённостью вида
или
,
причём функции
и
дифференцируемы в окрестности точки
кроме, быть может, самой точки
,
и
.
Пусть существует предел
.
Тогда существует и предел
,
причём
.
(4.14)
Доказательство правила Лопиталя следует из теоремы Коши (см. п. 5.1).
Аналогичное
утверждение верно и при
.
◄
Замечание.
Если
и предел
является неопределённостью вида
или
,
и функции
удовлетворяют условиям теоремы, то
можно опять применить правило Лопиталя,
т.е.
.
Примеры.
1)
Найти предел
.
Решение. Вычисляем с помощью правила Лопиталя
.
◄
2)
Найти пределы
.
Решение.
Очевидно, что пределы являются
неопределенностями
. Применим правило Лопиталя
При
вычислении предела снова получили
неопределенность
Применяем правило Лопиталя, пока степень
в знаменателе не станет нулевой или
отрицательной, и получаем
.
Итак
можно сравнить при
важные бесконечно большие функции:
и
. Функция
более
высокого порядка, чем
,
более
высокого порядка, чем
,
а
следовательно, и чем
.
◄
Замечание. В теореме утверждается, что из существования предела следует существование предела и их равенство. Но возможно, что предел не существует, а предел существует.
Например,
предел отношения функций
и
существует (см. пример 4 на стр. 17)
.
Но
предел отношения производных
и
не существует в силу колебаний функции
.
◄
5. Исследование функций
Главную роль при исследовании поведения функции и построении ее графика играет производная этой функции. Основные моменты исследования опираются на следующие теоремы.
5.1. Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма.
Пусть
функция
непрерывна на замкнутом интервале
и дифференцируема внутри этого интервала,
т.е. при
.
Пусть в некоторой внутренней точке
функция
достигает своего наибольшего или
наименьшего значения. Тогда в этой точке
первая производная функции равна нулю,
т.е.
.
Доказательство. Для определённости рассмотрим случай наибольшего значения. Так как функция достигает своего наибольшего значения во внутренней точке , то точка является точкой локального максимума. Докажем, что в точке производная функции равна нулю. Напомним, что
.
Поскольку
- точка максимума функции
,
то
а)
Пусть
Тогда
и переходя к пределу при
,
получим (см. п.2.2, теорема о пределах №7),
что
б)
Пусть
.
Тогда
и, следовательно, (та же теорема),
Так
как производная
существует, из равенства (4.4) следует,
что полученные неравенства выполняются
только в случае
Случай наименьшего значения рассматривается аналогично. ◄
Теорема Ролля.
Пусть
функция
непрерывна на замкнутом интервале
и дифференцируема внутри этого интервала,
т.е. при
,
причём
Тогда существует такая точка
,
что
Доказательство.
1)
Если функция
,
то её производная равна нулю (см. (4.3)) в
любой точке
.
2) Если функция - не константа, то в силу равенства значений функции на концах по теореме Вейерштрасса существует такая внутренняя точка , что значение является наибольшим или наименьшим значением функции на интервале .
Для доказательства теоремы остается сослаться на теорему Ферма. ◄
Теорема Лагранжа.
Пусть функция непрерывна на интервале и дифференцируема внутри этого интервала. Тогда существует такая точка , что
(5.1)
или
.
(5.2)
Доказательство.
Введём функцию
где
.
Нетрудно заметить, что
.Тогда
по теореме Ролля существует такая точка
,
что
.
Но
.
Следовательно,
,
откуда
.
◄
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что если дифференцируемая функция на концах интервала принимает равные значения, то хотя бы в одной точке интервала касательная к графику функции горизонтальна, а геометрический смысл теоремы Лагранжа – в том, что хотя бы в одной точке интервала касательная к графику функции параллельна секущей, проходящей через концы графика (см. рис. 16).
Рис. 16
Замечание. Для равенство (5.2) можно написать в виде:
,
(5.3)
где
точка
.
Для
из равенства (5.2) также следует, что
,
(5.4)
где
точка
.
Введя число
,
формулы (5.3) и (5.4) можно записать в виде
одной формулы
,
(5.5)
которую называют формулой конечных приращений.
Теорема Коши.
Пусть
функции
и
непрерывны
на интервале
и дифференцируемы внутри этого интервала,
причем
Тогда существует такая точка
,
что
(5.6)
Доказательство.
Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, введем функцию
где
,
удовлетворяющую условиям теоремы Ролля.
Повторив далее доказательство теоремы
Лагранжа, приходим к формуле (5.6). ◄
Замечание.
Теорема Лагранжа является частным
случаем теоремы Коши при