4.3. Производные высших порядков

Пусть в открытом интервале, содержащем точку , существует первая производная функции .

Второй производной в точке функции называется производная от её первой производной:

.

Третьей производной в точке функции называется производная от её второй производной:

.

Аналогичным образом строится определение производных высоких порядков, причем производные порядка , начиная с четвёртого, принято обозначать символом . Все они определяются формулой

. (4.13)

Из результатов п. 4.2.2 получаются свойства производных – го порядка:

1) ;

2) ;

3) ,

где – биномиальные коэффициенты.

В частности,

;

.

Пример. Найти производную порядка для функции .

Решение. Вычислим последовательно производные первого порядка, второго и далее:

. ◄

Полученную формулу строго можно доказать методом математической индукции.

4.4. Правило лопиталя

Производные можно применять для раскрытия неопределенностей вида и .

Теорема (правило Лопиталя).

Пусть предел является неопределённостью вида или , причём функции и дифференцируемы в окрестности точки кроме, быть может, самой точки , и . Пусть существует предел . Тогда существует и предел , причём

. (4.14)

Доказательство правила Лопиталя следует из теоремы Коши (см. п. 5.1).

Аналогичное утверждение верно и при . ◄

Замечание. Если и предел является неопределённостью вида или , и функции удовлетворяют условиям теоремы, то можно опять применить правило Лопиталя, т.е. .

Примеры.

1) Найти предел .

Решение. Вычисляем с помощью правила Лопиталя

. ◄

2) Найти пределы .

Решение. Очевидно, что пределы являются неопределенностями . Применим правило Лопиталя

При вычислении предела снова получили неопределенность Применяем правило Лопиталя, пока степень в знаменателе не станет нулевой или отрицательной, и получаем .

Итак можно сравнить при важные бесконечно большие функции: и . Функция более высокого порядка, чем , более высокого порядка, чем , а следовательно, и чем . ◄

Замечание. В теореме утверждается, что из существования предела следует существование предела и их равенство. Но возможно, что предел не существует, а предел существует.

Например, предел отношения функций и существует (см. пример 4 на стр. 17)

.

Но предел отношения производных и не существует в силу колебаний функции . ◄

5. Исследование функций

Главную роль при исследовании поведения функции и построении ее графика играет производная этой функции. Основные моменты исследования опираются на следующие теоремы.

5.1. Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма.

Пусть функция непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема внутри этого интервала, т.е. при . Пусть в некоторой внутренней точке функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Тогда в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.

.

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай наибольшего значения. Так как функция достигает своего наибольшего значения во внутренней точке , то точка является точкой локального максимума. Докажем, что в точке производная функции равна нулю. Напомним, что

.

Поскольку - точка максимума функции , то

а) Пусть Тогда и переходя к пределу при , получим (см. п.2.2, теорема о пределах №7), что

б) Пусть . Тогда и, следовательно, (та же теорема),

Так как производная существует, из равенства (4.4) следует, что полученные неравенства выполняются только в случае

Случай наименьшего значения рассматривается аналогично. ◄

Теорема Ролля.

Пусть функция непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема внутри этого интервала, т.е. при , причём Тогда существует такая точка , что

Доказательство.

1) Если функция , то её производная равна нулю (см. (4.3)) в любой точке .

2) Если функция - не константа, то в силу равенства значений функции на концах по теореме Вейерштрасса существует такая внутренняя точка , что значение является наибольшим или наименьшим значением функции на интервале .

Для доказательства теоремы остается сослаться на теорему Ферма. ◄

Теорема Лагранжа.

Пусть функция непрерывна на интервале и дифференцируема внутри этого интервала. Тогда существует такая точка , что

(5.1)

или

. (5.2)

Доказательство.

Введём функцию

где . Нетрудно заметить, что .Тогда по теореме Ролля существует такая точка , что . Но . Следовательно, , откуда

.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что если дифференцируемая функция на концах интервала принимает равные значения, то хотя бы в одной точке интервала касательная к графику функции горизонтальна, а геометрический смысл теоремы Лагранжа – в том, что хотя бы в одной точке интервала касательная к графику функции параллельна секущей, проходящей через концы графика (см. рис. 16).

Рис. 16

Замечание. Для равенство (5.2) можно написать в виде:

, (5.3)

где точка . Для из равенства (5.2) также следует, что

, (5.4)

где точка . Введя число , формулы (5.3) и (5.4) можно записать в виде одной формулы

, (5.5)

которую называют формулой конечных приращений.

Теорема Коши.

Пусть функции и непрерывны на интервале и дифференцируемы внутри этого интервала, причем Тогда существует такая точка , что

(5.6)

Доказательство.

Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, введем функцию

где , удовлетворяющую условиям теоремы Ролля. Повторив далее доказательство теоремы Лагранжа, приходим к формуле (5.6). ◄

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при