Оглавление

4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 1

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 1

4.2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ 3

4.2.1. Непрерывность дифференцируемой функции 3

4.2.2. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями 4

4.2.3. Производная обратной функции 5

4.2.4. Производная сложной функции 5

4.2.5. Таблица производных 5

4.2.6. Производная степенно-показательной функции 7

4.2.7. Производная функции, заданной параметрически 8

4.2.8. Производная функции, заданной неявно 8

4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Пусть в открытом интервале, содержащем точку , задана функция . Придадим аргументу достаточно малое приращение , чтобы точка не вышла за пределы интервала. Для функции получим приращение

. (4.1)

Если существует конечный предел

, (4.2)

то он называется производной функции в точке и обозначается (или ).

Рис. 14

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной (геометрический смысл производной), проведённой к графику функции в этой точке, что хорошо видно на рисунке 14.

Уравнение касательной в точке имеет вид

,

где .

Так как производная равна пределу отношения изменения функции ( ) к изменению аргумента ( ), производная характеризует скорость изменения функции в точке , аналогично мгновенной скорости в физике.

Пример 4.1. Для функции производная в любой точке. Это следует из того, что . ◄

Пример 4.2. Найти производную функции .

Решение. Запишем отношение и применим для вычисления предела эквивалентные величины из п. 2.6. Тогда

. ◄

Также из определения производной (4.2) следует

Теорема 1. Пусть . Тогда в любой точке производная .

Доказательство. Очевидно, что в любой точке приращение функции и, следовательно,

. (4.3)

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Если в точке существует производная , то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Через односторонние пределы можно ввести односторонние производные производная слева в точке и - производная справа в точке . Из теоремы 4 (об односторонних пределах) п. 2.3, следует

Теорема 2. Для существования производной в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны односторонние производные, то есть

. (4.4)

Пример 4.3. Производная функции равна 1 при , равна –1 при и не существует в точке . ◄

Если какая-то из односторонних производных в точке равна бесконечности, это значит (см. геометрический смысл производной), что касательная при приближении к этой точке становится вертикальной.

Пример 4.4. Найдем производную функции .

Если , то

Для .

Для .

Если , то , если , то (см. рис.15).

Рис.15

4.2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ

4.2.1. Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Из существования конечного предела (4.2) и теоремы 2 из п. 2.1 следует, что

, (4.5)

где при . Следовательно

. (4.6)

Тогда при и остается сослаться на (3.2). ◄

Замечание. Обратное неверно. То есть из непрерывности функции не следует существования её производной. Например, функция непрерывна на всей числовой оси, но в точке у неё нет производной.

4.2.2. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями

Приведем свойства производных, связанные со сложением, умножением и делением дифференцируемых функций.

Пусть функции и ­­- дифференцируемы в точке , . Тогда верны следующие формулы.

Доказательство 1-ой приведено выше (см. (4.3)). Остальные доказательства опираются на теоремы о пределах и теорему из п. 4.2.1. Приведем для примера

Доказательство 4-ой. Зададим приращение аргумента и найдем приращение функции :

.

Используем формулу (4.6). Тогда

.

Здесь и при . Разделим на и устремим . Тогда

,

т.к. в силу непрерывности функции . ◄

4.2.3. Производная обратной функции

Теорема. Если - обратимая дифференцируемая функция, то обратная функция тоже является дифференцируемой функцией, причем производные взаимно-обратных функций в точках связанных соотношениями и , удовлетворяют равенству

. (4.7)

Доказательство. Отношение приращений и может быть записано двояко:

.

Так как из стремления одного из них к нулю следует стремление к нулю второго, при переходе к пределу получаем формулу (4.7). ◄

Следствие. Из этой теоремы, в частности, следует, что производные взаимно-обратных функций не равны нулю.

Пример 4.5. Найти производную функции .

Решение. Функции и – взаимно-обратные. Тогда из формулы (4.7) и примера 4.2 следует, что

. ◄ (4.8)

4.2.4. Производная сложной функции

Теорема. Если функция – дифференцируема в точке , а функция – дифференцируема в точке , где , то сложная функция тоже дифференцируема в точке , причем

. (4.9)

Доказательство. Зададим приращение , вследствие этого получим приращения и . Тогда отношение приращений и может быть представлено в виде

.

Устремим . Тогда , и . ◄

Пример 4.6. Найти производную функции .

Решение. Введем функцию и применим формулы (4.8) при и (4.9). Тогда, используя пример 4.3, получим

. ◄ (4.10)

4.2.5. Таблица производных

На основании вышеприведенных свойств можно найти производные всех основных элементарных функций. Они приведены в таблице 1.

Таблица 1

1. const

0

7.

13.

2.

8.

14.

3.

9.

15.

4.

10.

16.

5.

11.

17.

6.

12.

18.

Примеры. 1) Найти производную функции .

Решение. Записав и используя формулы для производных суммы и отношения функций, а также из таблицы формулы 2,3,7, получаем

2) Найти производную функции в точке .

Решение. Представив , получаем . Подставив , получаем ответ . ◄

4) Найти производную функции .

Решение. Используем формулу (4.9) для производной сложной функции (внешняя функция – степенная, а внутренняя: ). Тогда

. ◄

5) Найти производную функции .

Решение. Здесь в построении сложной функции участвуют 4 табличных. Начинаем дифференцировать с внешней (квадратичной). Окончательно получим

. ◄

6) Найти производную функции

Решение. Применяя формулу дифференцирования суммы функций, а затем вычисляя производную каждого слагаемого как сложной функции, получаем

4.2.6. Производная степенно-показательной функции

Степенно-показательной называется функция вида . Запишем ее в виде и продифференцируем как сложную функцию

Раскрыв скобки, получаем

(4.11)

Первое слагаемое соответствует дифференцированию показательной функции ( рассматривается как постоянная), второе – степенной ( рассматривается как постоянная).

Мы применяли формулу . Но (4.11) можно получить другим способом: прологарифмировав обе части выражения

,

найдем производные левой и правой частей

.

Отсюда легко получается (4.11).

Пример 4,7. Найти производную функции

Решение. Воспользуемся формулой (4.11). Тогда

. ◄

4.2.7. Производная функции, заданной параметрически

Теорема. Пусть функция задана параметрически, то есть на некотором промежутке заданы дифференцируемые функции , определяющие зависимость между переменными и , причем . Тогда для переменной как функции от верна формула

. (4.12)

Доказательство. Отношение приращений и может быть записано так

.

Перейдем к пределу при и получим формулу (4.12). ◄

Замечание. Производная существует, если . Это условие обеспечивает существование обратной функции .

Пример. Найти производную для функции .

Решение. Из формулы (4.12) следует, что

4.2.8. Производная функции, заданной неявно

Дифференцирование неявно заданной функции выполняется с учетом того, что одна из переменных, входящих в уравнение, задающее функцию, является независимой, а другая зависимой.

Пример. Найти производную , если .

Решение. Считая переменную независимой переменной, а функцией от , продифференцируем заданное уравнение:

.

Найдем , решив полученное линейное уравнение

. ◄

Замечание. Проделаем те же операции, считая переменную аргументом, а функцией от

, .

Очевидно, , так как функции и взаимообратные.