2.3. Односторонние пределы

Если переменная стремится к числу , оставаясь больше (или меньше) числа , и при этом пределы функции существуют, то такие пределы называются односторонними пределами.

Стремление переменной слева будем обозначать символом , стремление справа – символом , а сами предельные значения функции: или соответственно. При этом, если , обозначения упрощаются: или , или . На бесконечности одностороннее стремление переменной записывается так: или , а значения функции: или .

Пример. Найти односторонние пределы функции при и .

Решение. Так как , то

. ◄

Связь между пределом и односторонними пределами показывает следующая очевидная

Теорема. Для существования предела функции в некоторой точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны односторонние пределы. ◄

Эта теорема применяется, в частности, для доказательства 1-го замечательного предела (2.9).

Для монотонных функций верна следующая

Теорема. Пусть функция возрастает и ограничена сверху, то есть , на промежутке ( - конечное число или ). Тогда существует конечный предел , причем

. ◄

Доказательство ее мы здесь не приводим.

Эта теорема применяется, в частности, для доказательства 2-го замечательного предела (2.10).

Следствие. Если функция возрастает и неограничена сверху на промежутке , то .

Заметим, что теорема верна и для неубывающей функции .

Аналогичное утверждение имеет место для убывающей и ограниченной снизу функции .

2.4. Замечательные пределы

Так называются следующие пределы.

1-й замечательный предел

. (2.9)

Здесь переменная - угол в радианах. Следствия из формулы (2.9):

, , .

2-й замечательный предел

, . (2.10)

Следствия из формулы (2.10):

, _,

, _.

Часто применяется еще один предел

. (2.11)

Примеры.

1) Найти .

Решение. Приведем к форме первого замечательного предела (2.9)

. ◄

2) Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Построим выражение, похожее на второй замечательный предел, тогда

. ◄