2.2. Теоремы о пределах

Для бесконечно малых верны следующие леммы, на которые опирается доказательство теорем о пределах.

Лемма 1. Пусть и - бесконечно малые при . Тогда их сумма – тоже бесконечно малая при .

Доказательство. Зададим число . По нему построим . Так как - бесконечно малая, то существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство

. (2.4)

Аналогично для существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство

. (2.5)

Возьмем . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнены оба неравенства (2.4) и (2.5) и, следовательно,

. ◄

Лемма 2. Пусть – бесконечно малая при , а функция – ограниченная в окрестности точки . Тогда произведение – бесконечно малая при .

Доказательство аналогично. (Советуем его провести в качестве упражнения). ◄

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых - тоже бесконечно малая.

Пусть существуют пределы , причем  – конечные числа,  – любое конечное число или бесконечность. Сформулируем несколько теорем, которые описывают свойства пределов.

Теорема о пределе постоянной.

Пусть . Тогда для любого пределом постоянной является эта же постоянная, то есть

.

Доказательство теоремы следует из того, что неравенство (2.2) (для любого числа ) в этом случае принимает вид и выполняется, очевидно, для любого . ◄

Теорема о единственности предела.

Пусть  в окрестности точки , исключая саму эту точку. Тогда .

Доказательство проводится методом «от противного».

Предположим, что . Для числа построим и найдем по ним число , как в лемме 1, причем можно считать, что для , удовлетворяющих неравенству , выполняется равенство . Тогда .

Полученное противоречие доказывает теорему. ◄

Теорема о пределе суммы функций.

Для функции  существует предел

.

Доказательство опирается на теорему 2 и лемму 1 о бесконечно малых.

Пусть , . Тогда , где – бесконечно малая. Следовательно, . ◄

Теорема о пределе произведения функций.

Для функции  существует предел

.

Доказательство аналогичным образом опирается на теорему 2 и леммы 1 и 2 о бесконечно малых. ◄

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

Следствие 2. Предел разности функций равен разности пределов.

.

Теорема о пределе отношения функций.

Если , то для функции  существует предел

.

Доказательство аналогично использует теорему 2 и леммы 1 и 2 о бесконечно малых. ◄

Теорема о предельном переходе в неравенстве.

Пусть  в окрестности точки , исключая саму эту точку. Тогда .

Доказательство также проводится методом «от противного». ◄

Следствие. Если  в окрестности точки , то .

Заметим, что нестрогое неравенство для пределов нельзя заменить на строгое, даже если для функций выполняется строгое неравенство. Например, при , но .

Теорема о «сжатой переменной».

Пусть в окрестности точки выполнено неравенство

,

причем

.

Тогда существует

.

Доказательство. Зададим число . По нему найдем окрестность , в которой выполнено неравенство (2.2) для функций и . Тогда, используя свойства модуля, для функции получаем неравенство

,

которое равносильно неравенству (2.2). ◄

Рассмотрим ситуацию, когда один из пределов бесконечен. А именно, пусть , где  – конечное число. Тогда очевидно имеют место следующие свойства:

а) ;

б) ;

в) , .

Для отношения функций, учитывая теорему 3 (о связи бесконечно малых и бесконечно больших), также получаем:

, если , .

Предельные соотношения для дробей, имеющие в качестве предела нуль или бесконечность, кратко будем записывать так:

, (2.6)

где - число, не равное нулю и бесконечности. Выражение в (2.6), заключенное в квадратные скобки, понимается как предел отношения двух функций, имеющих указанные пределы. Аналогичные выражения вида

(2.7)

называются неопределенностями, так как пределы в (2.7) могут быть разными в зависимости от поведения участвующих функций. Символы

(2.8)

также обозначают неопределенности, которые возникают в следующих случаях:

а) , если , ;

б) , если , ;

в) , если , .

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов.

Примеры.

1) Найти .

Решение. Используя (2.3), (2.4) и теоремы о пределах, получаем

. ◄

2) Найти .

Решение. Непосредственная подстановка предельного значения приводит к неопределенности . Преобразуем выражение, вынеся в числителе и знаменателе за скобки, а затем сократив на _, тогда

. ◄

3) Найти .

Решение. При подстановке получаем неопределенность . Вынесем за скобки и учитывая, что , , получаем

. ◄