
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры в трехмерном пространстве
- •1.1. Векторы. Основные определения и линейные операции
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Смешанное произведение векторов
- •2. Элементы аналитической геометрии
- •2.1. Плоскость в пространстве
- •2.2. Прямая в пространстве
- •2.3. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве
- •2.4 Кривые на плоскости и в пространстве
- •2.5 Поверхности второго порядка
- •Литература
2.4 Кривые на плоскости и в пространстве
Одним из удобных способов описания кривой (l) в трехмерном пространстве является задание трех уравнений вида
|
|
(36) |
где каждому значению переменной
t соответствует одна
и только одна точка кривой (l),
причем (
)
– координаты этой точки. Переменная t
называется параметром,
а уравнения (36) – параметрическим
заданием кривой
(l).
Кривая (l)
называется гладкой,
если функции
имеют непрерывные производные
и
Если на кривой задано направление, то она называется путем. В уравнениях (36) направление можно связать, например, с возрастанием параметра t.
Как известно (см., например,
[1]), касательная
в точке с
координатами (
)
к
кривой, заданной в
виде (36), описывается уравнениями прямой
в канонической форме
|
|
(37) |
где
,
при этом хоть одно из чисел, стоящих в
знаменателях уравнений (37), не должно
равняться нулю.
Пример 36.
Найти канонические уравнения касательной
к винтовой
линии (рис. 19)
в точке
|
|
Рис. 20 |
Рис. 21 |
Решение.
На рис. 19 нарисован один виток винтовой
линии, соответствующий изменения
параметра t от 0
до
.
Точке
соответствует значение
.
Производные
,
при этом
Тогда уравнения касательной
|
|
◄ |
Для кривой, лежащей
в плоскости x0y,
в уравнениях (36)
Уравнение касательной (37) в этом случае
|
|
(38) |
Приведем несколько примеров таких кривых.
Окружность радиуса R
с центром в точке
(рис. 21) описывается уравнением
За параметр t
удобно взять угол из
полярной системы координат, если полюс
совпадает с точкой
,
а полярная ось параллельна положительной
полуоси X. Тогда
уравнения (36)
Известно (см. [1]), что каноническое уравнение эллипса (рис. 22) с центром симметрии в начале координат имеет вид
|
|
(39) |
|
|
|
||
Рис. 22 |
Рис. 23 |
Следовательно, параметрическое описание эллипса имеет вид
Аналогично для гиперболы (рис. 22) (см. [1]) каноническое уравнение
|
|
(40) |
В качестве параметрических уравнений (36) можно взять
где
Пример 37.
Для лемнискаты
Бернулли
написать параметрические уравнения
(36) и найти касательную в точке
Решение.
Используя формулы
,
перепишем уравнение
в полярных координатах. Получим
|
|
(41) |
Кривая (рис. 24) существует,
если
Это означает, что
Возьмем за параметр t
угол
,
т.е.
.
Тогда, учитывая (41), уравнения (36) примут
вид:
Точке
с координатами
соответствует
Производные
Следовательно, уравнение касательной
|
Рис. 24 |
После преобразований окончательно получаем
|
|
◄ |
Если плоская кривая является
графиком
однозначной функции
или графиком
однозначной функции
то в качестве параметра можно взять
или
соответственно.
Уравнение (38) касательной в
точке с координатами
в этом случае имеет вид:
или
соответственно, что приводит к стандартному уравнению
или
Пример 38.
Для параболы
(рис. 25), заданной (см. [1]) каноническим
уравнением
,
найти касательную в точке с координатами
,
где
Решение.
Данная парабола является графиком
однозначной функции
Производная
Следовательно, уравнение касательной
|
Рис. 25 |
Окончательно,
|
|
◄ |