5. Приближенные методы
Пример
8.
Вычислить
с точностью до
Решение.
Представим
Применим
разложение в биномиальный ряд (13) с
показателем степени
.
Подставим
в формулу (11), получим знакочередующийся
ряд, который сходится по признаку
Лейбница, причём, абсолютная погрешность,
при отбрасывании членов, меньше первого
отброшенного члена. Следовательно,
так как третье слагаемое
Пример
9.
С точностью до
вычислить интеграл
Решение. Из разложения (12) следует, что
.
(15)
Проинтегрировав ряд (15), получим
.
(16)
Ряд (16) – сходящийся знакочередующийся ряд.
Здесь также рассмотрим третье слагаемое:
Следовательно,
Пример 10. Решить дифференциальное уравнение
(17)
при начальных условиях
(18)
Решение. Ищем решение этого уравнения в виде степенного ряда
.
(19)
Из начальных условий (18) следует, что
Дифференцируя ряд (19) дважды, получаем
.
С другой стороны
.
Из
равенства (17) следует равенство
коэффициентов этих двух рядов при
одинаковых степенях
Тогда
и т.д. Видно, что
,
.
То есть
,
, а остальные коэффициенты равны нулю.
Следовательно,
получим
в
виде сходящегося ряда:
.
Пример
11.
Найти три первых отличных от нуля члена
разложения в степенной ряд частного
решения дифференциального уравнения
,
если
.
Решение.
Для
решения данного уравнения применим
способ последовательного дифференцирования.
Учитывая начальное условие в точке
,
искомое частное решение представим в
виде ряда Тейлора
.
В
соответствии с начальным условием
подставляя
в исходное уравнение
,
,
получаем
.
Чтобы найти значения остальных производных, будем последовательно дифференцировать данное уравнение.
Найдем вторую производную
.
Подставим
в это выражение начальное условие
,
и найденное ранее значение первой
производной
,
получим
.
Найдем третью производную, получим
Подставим
,
,
,
,
тогда
.
Продолжая процесс последовательного дифференцирования и подстановок ранее полученных значений производных, найдем требуемое количество коэффициентов.
Частное решение, удовлетворяющее начальному условию , имеет вид
.
6. Варианты заданий
Задание №1. Найти область сходимости степенного ряда.
Задание №2. Разложить функцию в ряд Маклорена.
Задание
№3. С
помощью рядов вычислить значение
выражения с точностью
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Задание №4. Вычислить приближенно значение интеграла с точностью .
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Задание №5. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши для дифференциального уравнения.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,