ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

_________________________________________________________________

А.Б. Алексеев, Н.В. Попова, Г.М. Тащиян

Функциональные ряды. Степенные ряды

Учебно-методическое пособие

СПб ГУТ )))

Санкт-Петербург

2017

УДК 517.521

ББК 22.161

Рецензент

доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики СПбГУТ, профессор Д.П. Голоскоков

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом СПбГУТ

Функциональные ряды. Степенные ряды: учебно-методическое пособие / А. Б. Алексеев, Н.В. Попова, Г. М. Тащиян ; СПбГУТ. – СПб., 2017 – с. Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами теории функциональных рядов, степенных рядов, рядов Тейлора и Маклорена. Оно содержит разделы, посвященные функциональным рядам и области их сходимости, интегрированию и дифференцированию функциональных рядов, степенным рядам и интервалу сходимости, рядам Тейлора и Маклорена, разложению функций в степенные ряды и применению этих разложений в вычислительных задачах. Пособие предназначено студентам всех форм обучения ГУТ им. проф. М.А.Бонч-Бруевича и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изложение материала. Отдельный раздел содержит индивидуальные задания, которые можно использовать на практических занятиях, а также при подготовке к экзамену. В каждом параграфе содержатся основы теории и подробно разобраны примеры. Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом. В качестве дополнительных учебников с подробным изложением материала рекомендуем [1,2,4], а в качестве задачника – [3].

УДК 517.521

ББК 22.161

© Алексеев А. Б., Попова Н.В., Тащиян Г. М., 2017.

© Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального

образования «Санкт-Петербургский государственный

университет телекоммуникаций им. проф. М. А.

Бонч- Бруевича», 2017.

1.Основные понятия

Ряд называется функциональным, если его членами являются функции, то есть функциональный ряд – выражение вида:

(1)

где ­­­, – последовательность заданных функций с областями определения соответственно.

Областью определения ряда (1) называется пересечение .

Придавая в выражении (1) переменной разные значения из области определения , мы получим разные числовые ряды, которые будут как сходящимися, так и расходящимися.

Множество значений переменной для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда (1).

Пример 1. Найти область определения и область сходимости ряда

Решение. Члены ряда – функции определены при . Следовательно, область определения

Так как при любом для исследования области сходимости применим признак Д’Аламбера. Найдем предел

Если что равносильно условию , то ряд сходится. Если то ряд расходится. При условии получаем ряд вида

который, очевидно, расходится.

Следовательно, область сходимости

Если , то сумма ряда

(2)

определяет новую функцию. По определению

(3)

где – частная (или частичная) сумма ряда (1).

Сходимость (3) бывает разного типа. Если для любого и числа найдется такой номер что при номерах

то говорят, что ряд (1) сходится в точке и сходимость (3) называется поточечной. Если для любого найдется такой номер что при номерах , выполняется неравенство (4) для любого , то говорят, что ряд (1) сходится равномерно в области

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей , то есть ряд

(4)

Абсолютная сходимость ряда (1) (или сходимость ряда (4)) тоже может быть как поточечной, так и равномерной.

2. Функциональные свойства суммы ряда

Введённое выше понятие равномерной сходимости в дальнейшем будет играть решающую роль. Приведём простейший и чаще всего применяемый признак равномерной сходимости функционального ряда и непрерывности его суммы.

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Пусть на замкнутом промежутке заданы непрерывные функции такие что

(5)

причём числовой ряд сходится. Тогда функциональный ряд (1) сходится на промежутке абсолютно и равномерно, и его сумма

является непрерывной функцией на промежутке

Пример2. Ряд сходится абсолютно и равномерно на всей вещественной оси

Решение. Используем хорошо известное тригонометрическое соотношение . Поэтому для членов данного ряда верна оценка (5):

,

где . Далее, числовой ряд сходится. Поэтому, согласно признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится и его сумма (2) – непрерывная функция на оси

Рассмотрим свойства интегрируемости и дифференцируемости функциональных рядов.

Теорема 2. Если ряд (1) сходится равномерно на промежутке и имеет суммой функцию , то функциональный ряд

где

тоже сходится равномерно на промежутке и имеет суммой функцию

Пример 3. При найти сумму ряда

(6)

Решение. Известно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

(7)

Так как , общий член ряда преобразуется к виду и ряд (6) раскладывается в разность двух рядов:

Заметим, что при

Тогда

Следовательно,

Теорема 3. Если ряд (1) сходится на , имеет сумму , и его члены имеют на непрерывные производные

причем ряд из этих производных

сходится на равномерно, то ряд (1) тоже сходится равномерно на промежутке и производная его суммы

Пример 4. Доказать, что

Решение. Продифференцируем ряд (7) и получим ответ.