§3. Ряд Фурье

Докажем несколько простых утверждений.

Лемма 1. Пусть – ортогональная система в пространстве и элемент имеет вид

. (1)

Тогда коэффициенты однозначно определяются по формулам

, (2)

и справедливо равенство

. (3)

Доказательство. Учитывая ортогональность системы, для доказательства равенств (2) достаточно соотношение (1) скалярно умножить на вектор . Для доказательства равенства (3) надо опять воспользоваться ортогональностью системы векторов .

Определение. Коэффициенты (2) называются коэффициентами Фурье элемента (вектора) в ортогональной системе пространства .

Замечание. Коэффициенты Фурье являются аналогом координат вектора в ортогональном базисе (в курсе аналитической геометрии), а соотношение (3) является аналогом теоремы Пифагора. Эти формулы будут распространены на случай бесконечного числа слагаемых.

Лемма 2. Пусть – ортогональная система в пространстве и элемент . Тогда для любых чисел справедливо тождество

, (4)

где , , – коэффициенты Фурье элемента .

Доказательство. Представим левую часть равенства (4) в виде

(5)

Два скалярных произведения в правой части равенства (5) равны нулю. Рассмотрим, например, первое

,

т.к. , . Следовательно, равенство (5), учитывая (3), будет иметь вид

. (6)

Далее, учитывая (2) и (3), получим

Подставив результат этого преобразования в (6), приходим к тождеству (4).

Из результатов этих лемм вытекают важные следствия.

Следствие 1(минимальное свойство коэффициентов Фурье). Пусть – ортогональная система в пространстве . Тогда для любого элемента справедливо равенство

,

где минимум достигается только тогда, когда , .

Из этого утверждения следует неравенство Бесселя.

Следствие 2 (неравенство Бесселя). Пусть – ортогональная система в пространстве . Тогда для любого элемента справедливо неравенство

, (7)

где , , – коэффициенты Фурье элемента в ортогональной системе пространства .

Замечание. Из неравенства Бесселя (7) вытекает сходимость числового ряда

. (8)

Следствие 3. Пусть – ортогональная система в гильбертовом пространстве . Тогда для любого элемента сходится ряд

,

где , , – коэффициенты Фурье элемента (2).

Доказательство. Согласно определению сходимости ряда, надо доказать сходимость последовательности частичных сумм

, n = 1, 2, 3 .

Сходимость этой последовательности вытекает из равенства

, ,

(см. Лемму1) и сходимости числового ряда (8). Т.к. – гильбертово пространство, то – сумма ряда принадлежит . Следствие доказано.

Для того, чтобы сумма ряда совпадала с элементом необходимо наложить дополнительные условия на о.с. .

Определение. Ортогональная система называется полной, если не существует вектора, не равного нулю, ортогонального ко всем векторам системы.

Другими словами, о.с. полна тогда и только тогда, когда из ортогональности элемента всем элементам следует, что .

Определение. Ортогональная система называется замкнутой, если для любого элемента справедливо равенство

. (9)

где , , – коэффициенты Фурье элемента .

Определение. Равенство (9) называется равенством Парсеваля.

Оказывается, что условия замкнутости и полноты совпадают.

Лемма 3. Ортогональная система полна тогда и только тогда, когда она замкнута.

Доказательство. Пусть – ортогональная система в гильбертовом пространстве .

Докажем необходимость условия, т.е. из условия полноты системы следует её замкнутость. Предположим, что система не замкнута. Тогда существует ненулевой элемент , норма которого, в силу неравенства Бесселя, строго больше нормы суммы ряда . Поэтому норма разности больше нуля, т.е. . С другой стороны легко видеть, что

, .

В силу полноты системы, отсюда получаем, что . Пришли к противоречию.

Докажем достаточность условия, т.е. из условия замкнутости системы следует её полнота. Предположим, что система не полна. Тогда найдётся ненулевой вектор , который ортогонален всем элементам о.с. Тогда все коэффициенты Фурье обращаются в нуль и, в силу (9), норма вектора равна нулю. Следовательно, этот вектор нулевой. Опять пришли к противоречию. Лемма доказана полностью.

Далее, аналогично евклидову пространству в гильбертовом пространстве вводят понятие ортогонального базиса.

Определение. Полная о.с. называется базисом гильбертова пространства , а число элементов базиса называется размерностью пространства.

Замечание. Как следует из Леммы 3, в этом определении базиса условие полноты о.с. можно заменить условием её замкнутости.

В заключении соберём вместе доказанные факты.

Теорема (ряд Фурье). Пусть – базис гильбертова пространства . Тогда любой вектор можно представить единственным способом в виде сходящегося ряда

, (10)

где

.

При этом

, , .

В частности, имеем равенство Парсеваля

. (11)

Напомним, что сходимость ряда (10) понимается в смысле метрики пространства .

Определение. Ряд (10) называется рядом Фурье элемента (вектора) по ортогональной системе .