6.8. Изложим наиболее полно разработанную теорию линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
6.8.1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
,
(6.31)
где
и
– непрерывные функции. Через
обозначена левая часть уравнения. Символ
показывает действие и называется
линейным дифференциальным оператором
второго порядка,
его можно записать в виде:
.
(6.32)
В скобках вместо точки указывается функция, на которую действует оператор. Для этого оператора верно свойство линейности:
,
(6.33)
где
и
– произвольные постоянные, поэтому
оператор (6.32) и называется линейным.
Очевидно, свойство (6.33) можно распространить
на любое конечное число слагаемых.
Если
и
– решения уравнения (6.31),
и
– какие-то постоянные то, очевидно,
– также решение этого уравнения. Это значит, что решения линейного однородного уравнения (6.31) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение.
Теорема существования и единственности для уравнения (6.31) выполняется в силу непрерывности коэффициентов и в некотором интервале, который и будем подразумевать в дальнейшем.
Уравнение
(6.31) имеет очевидное решение
(нулевое решение). Ему соответствует
нулевые начальные условия. В дальнейшем,
говоря о решениях уравнения (6.31), мы
будем подразумевать, что эти решения
отличны от нулевого решения.
Введем важные понятия, которое нам понадобится в дальнейшем.
Функции
(ненулевые)
называются линейно
независимыми,
если при любом аргументе x
равенство
возможно
только, если постоянные
.
Заметим,
что для двух функций это определение
эквивалентно
условию непропорциональности функций.
А именно, функции
и
линейно независимы тогда и только тогда,
когда не существует постоянных
и
таких, что
или
.
Определителем Вронского (вронскианом) функций и называется
.
Пусть и два решения уравнения (6.31). Тогда верны следующие теоремы и следствия из них (доказательства см. в [.]).
Теорема
6.1.
Определитель Вронского
тогда и только тогда, когда решения
уравнения (6.31)
и
линейно независимы. ■
Теорема 6.2. Если и – решения уравнения (6.31), то вронскиан удовлетворяет уравнению
и, следовательно,
(6.34)
где
.
■
Следствие 1. Пусть и – решения уравнения (6.31). Тогда
.
■
Следствие 2. Если – решение уравнения (6.31), то второе решение этого уравнения, причем линейно независимое с можно получить по формуле
■ (6.35)
Следствие
3.
Из формулы (6.34) следует, что определитель
или тождественно равен нулю, если
постоянная
равна нулю, или не равен нулю ни при
каком значении
,
так как показательная функция в нуль
не обращается. ■
Из теоремы 6.1 для уравнения (6.31) следует
Теорема 6.3 (об общем решении). Пусть и – линейно независимые решения уравнения (6.31), и – произвольные постоянные. Тогда общее решение уравнения (6.31) имеет вид:
. ■ (6.36)
Таким образом, задача отыскания общего решения уравнения (6.31) сводится к нахождению его двух частных линейно независимых решений. А если известно одно решение, то второе можно найти по формуле (6.35).
Пример 6.8. Найти общее решение уравнения
.
(6.37)
Решение.
Здесь коэффициенты
и
непрерывны при
.
Легко проверить, что функция
является решением уравнения (6.37). По
формуле (6.35) найдем второе решение
,
считая начальной точкой
.
Тогда
,
,
.
Окончательно общее решение (6.36) имеет вид ( , – произвольные постоянные):
(
).
►
6.8.2.
Рассмотрим уравнение (6.31) с постоянными
коэффициентами
и
.
(6.38)
Для
общего
решения (6.36)
нужно найти
два
частных линейно независимых решения
и
.
Будем искать решение уравнения (6.38) в
виде
с неизвестным показателем
.
Подставив
в уравнение (6.38), получим равенство
,
которое выполняется при любом , если удовлетворяет уравнению
.
(6.39)
Это
уравнение называется характеристическим
уравнением
для линейного однородного уравнения
(6.38). Уравнение (6.39) является квадратным
уравнением. Для его дискриминанта
возможны три случая.
1)
Если
,
то
характеристическое уравнение (6.39) имеет
два различных действительных корня
и
,
.
Тогда
получим два частных линейно независимых
(это легко проверить) решения
и
,
и общее
решение (6.36) в этом случае имеет вид
.
(6.40)
Если
,
то
характеристическое уравнение (6.39) имеет
кратный корень
.
Одно частное решение имеет вид
,
а второе частное решение, линейно независимое с первым, получим по формуле (6.35). Так как , то
Тогда общее решение:
.
(6.41)
3)
Если
,
то
характеристическое уравнение (6.39) имеет
два комплексно-сопряженных корня
и
.
Частное решение в этом случае получаем
в виде комплексно-значной функции
.
(6.42)
Нетрудно
проверить подстановкой, что вещественная
часть решения (6.42)
и его мнимая часть
будут вещественными частными линейно
независимыми решениями уравнения
(6.38).
Общее решение (6.36) поэтому можно записать в виде
.
(6.43)
Пример 6.9. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет
корни
и
.
Следовательно,
.
Тогда общее решение (6.43) исходного
уравнения имеет вид
.
►