ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Высшая математика / 2семестр / MA-2DY-ponijenieporyadka

6.7. Приведем некоторые типы дифференциальных уравнений вида (6.1) (или (6.3)), которые можно решить, используя понижение порядка.

1.Уравнение вида

, (6.23)

Для построения общего решения этого уравнения необходимо проинтегрировать функцию последовательно раз. В результате получается общее решение в виде суммы последней первообразной и многочлена ( )-й степени с произвольными постоянными в качестве коэффициентов.

Пример 6.5. Решить уравнение: .

Решение. Интегрируя первый раз, получим

.

Второе интегрирование приводит к общему решению исходного уравнения

. ►

2. Уравнение вида

, (6.24)

где , т. е. уравнение, которое не содержит неизвестную функцию и её производные до порядка включительно.

Введём новую неизвестную функцию

.

Тогда вместо исходного уравнения (6.24) получим уравнение порядка относительно неизвестной функции

. (6.25)

Пусть -- общее решение уравнения (6.25). Тогда для функции получаем уравнение вида (6.23) -го порядка:

,

которое решается последовательным интегрированием.

Пример 6.6. Решить уравнение: .

Решение. Введём функцию , уравнение принимает вид

,

в котором, очевидно, разделяются переменные. Тогда

.

Следовательно, или , то есть, возвращаясь к старой переменной,

.

Интегрируя еще раз, получим общее решение исходного уравнения

. ►

3. Уравнение вида

, (6.26)

т. е. уравнение, которое не содержит явно независимую переменную .

Для понижения порядка уравнения следует ввести новую неизвестную функцию по формуле

. (6.27)

Это дает возможность свести уравнение (6.26) к уравнению -го порядка для функции .

Рассмотрим сначала уравнение второго порядка

. (6.28)

Продифференцируем равенство (6.27), пользуясь правилом дифференцирования сложной функции. Тогда

. (6.29)

Подставляя выражения (6.27) и (6.29) для в уравнение (6.28), получим уравнение первого порядка

. (6.30)

Пусть – общее решение уравнения (6.30). Тогда из равенства (6.27) получаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

.

Решив его, получаем общее решение исходного уравнения (6.28) в виде

где – первообразная функции .

Для уравнения -го порядка (6.26), пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдем выражение для 3-й производной:

,

затем выражение для 4-й и следующих производных. Очевидно, что порядок производных функции на единицу меньше порядка производных функции . Тем самым уравнение -го порядка (6.26) для функции преобразуется в уравнение -го порядка для функции .

Пример 6.7. Решить уравнение: .

Решение. Введём функцию , уравнение (см. (6.30)) примет вид

.

Переменные делятся, тогда

.

Следовательно, , и отсюда

.

Разделив переменные и проинтегрировав еще раз, получим общее решение в виде

,

или окончательно

. ►