ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Высшая математика / 2семестр / Krivolineinieintegrali

4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

4.1. Определение криволинейного интеграла первого рода подобно определениям определенного, двойного и тройного интегралов, только областью интегрирования здесь является кривая линия.

А именно, пусть в трехмерном пространстве задана некоторая кривая . Пусть точка - начало и точка – конец этой кривой. Положим, что на задана непрерывная функция точки . Разделим кривую на частей точками: (см.рис.16).

Рис.16.

На каждом участке разбиения , возьмем какую-нибудь точку и составим интегральную сумму

где длина дуги кривой . Введем ранг разбиения . Предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом первого рода (другое название: «по длине») от функции по и обозначается так:

. (4.1)

Положение переменной точки кривой определяется длиною дуги, сосчитанной от точки : , так что функцию можно считать функцией независимой переменной , т. е. , и интеграл (4.1) вычисляется с помощью обычного определенного интеграла

, (4.2)

где – длина дуги кривой . Заметим, что кривая может быть и замкнутой, т. е. точка может совпадать с точкой .

Так как определение криволинейного интеграла первого рода (4.1) и формула вычисления (4.2) аналогичны соответствующим формулам для определенного интеграла, свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны свойствам определенного интеграла. В частности, если подынтегральная функция , то криволинейный интеграл (4.2) вычисляет длину всей кривой :

. (4.3)

4.2. Введем в трехмерном пространстве декартову систему координат. Положение точки определяется координатами и функцию точки теперь можно рассматривать как функцию трех переменных . Пусть кривая задана параметрически, то есть координаты точки на кривой вычисляются как значения функций, зависящих от дополнительной переменной (параметра) , , где имеют непрерывные производные для , причем точка соответствует значению , а точка - значению . Тогда интеграл (4.1) вычисляется по формуле

(4.4)

Если кривая лежит в плоскости , то и формула (4.4) принимает вид

(4.5)

Если дуга является графиком однозначной функции , то за параметр можно взять переменную . Тогда , и формула (4.5) принимает вид

(4.6)

Аналогично строится формула, если дуга является графиком однозначной функции .

(4.7)

Пример 4.1. Вычислить криволинейный интеграл , где – окружность, задаваемая уравнением .

Решение. Уравнение заданной окружности преобразуется к виду , для которого удобно параметрическое описание:

.

Тогда , и

. ◄

4.3. Пусть в трехмерном пространстве введена декартова система координат. Зададим на кривой направление, кривая с направлением называется путем. Пусть точка - начало и точка - конец этого пути. Пусть на кривой заданы три непрерывные функции: . Разделим, как и в п.1 (см.рис.16), кривую на частей точками: . На каждом участке разбиения , возьмем какую-нибудь точку с координатами . Обозначим через проекции вектора (направленного в соответствии с направлением на кривой ) на оси , и . Очевидно, что при одновременно и . Составим интегральную сумму вида:

. (4.8)

Предел этой суммы при , не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек называется криволинейным интегралом второго рода (другое название: «по координатам») и обозначается так:

. (4.9)

Связь между интегралами (4.9) и (4.1) устанавливается формулой:

(4.10)

где направляющие косинусы вектора – единичного ( ) вектора касательной в каждой точке к кривой , направление которого совпадает с направлением, заданным на кривой. И эти направляющие косинусы, и функции можно считать функциями аргумента вдоль кривой .

Следовательно, свойства интеграла (4.9) аналогичны свойствам интеграла (4.1), причем можно заметить, что в силу (4.10) интеграл (4.9) меняет знак при смене направления на кривой .

Если функции рассматривать как координаты некоторой вектор-функции в трехмерном пространстве:

,

где – орты координатных осей соответственно, то подынтегральное выражение в интеграле (4.10) представляет собой скалярное произведение этой вектор-функции и вектора .

Способ вычисления криволинейного интеграла второго рода также связан с параметрическим заданием кривой. А именно, пусть координаты точки на кривой вычисляются как значения функций, зависящих от параметра , , где имеют непрерывные производные для , причем точка соответствует значению , а точка - значению . Тогда интеграл (4.9) вычисляется по формуле

(4.11)

Если кривая лежит в плоскости , то вычисление криволинейного интеграла второго рода упрощается. В этом случае в параметрическом задании кривой , и формула (4.11) принимает вид

(4.12)

В частности, если кривая является графиком однозначной функции , и направление на ней совпадает с направлением оси , то за параметр можно взять переменную . Тогда , и формула (4.12) принимает вид

. (4.13)

Аналогична формула и в случае, когда кривая является графиком однозначной функции , и направление на ней совпадает с направлением оси :

. (4.14)

Пример 4.2. Вычислить криволинейный интеграл

по кривой, которая является витком винтовой линии:

.

Решение. Производные: , , . Тогда по формуле (4.11)

. ◄

4.4. Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по плоской области и интегралом по ее границе .

Пусть область выпуклая, т.е. граница области любой прямой пересекается только в двух точках. Пусть в области заданы две непрерывные функции , имеющие непрерывные производные. Тогда верна формула

, (4.15)

которая носит имя Грина, причем кривую нужно обходить против часовой стрелки.

Области более общего вида надо разбить на удобные подобласти, к каждой применить формулу (4.15), а затем - свойство аддитивности для интегралов.

Подобные рассуждения применимы и к тому случаю, когда область ограничена несколькими кривыми (область с «дырками» называется многосвязной областью). При этом в левой части (4.15) надо интегрировать по всем граничным кривым, причем по внешнему контуру надо интегрировать против часовой стрелки, а по внутренним контурам по часовой стрелке, т. е. по всем контурам так, чтобы область оставалась слева.

4.5. Из формулы (4.15) следует, что, если функции и таковы, что

, (4.16)

то криволинейный интеграл в (4.15) численно равен площади области . Например, можно взять , . Тогда

(4.17)

Пример 4.3. С помощью криволинейного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом. (Сравните с вычислением по формуле (2.16)).

Решение. Используем параметрическое описание эллипса:

.

Тогда

. ◄

4.6. В некоторых случаях величина криволинейного интеграла

(4.18)

не зависит от пути интегрирования, но лишь от начальной и конечной точек интегрирования, а в других случаях вид самого пути влияет на величину интеграла. Из формулы Грина получаются условия, при которых интеграл (4.18) не зависит от пути интегрирования.

Пусть в односвязной (без «дырок») области заданы непрерывные функции и , имеющие непрерывные производные. Легко доказать, что интеграл (4.18) не зависит от пути интегрирования в области , если

(4.19)

для любого замкнутого контура , лежащего в области . Из формулы Грина следует, что необходимым и достаточным условием для выполнения равенства (4.19) является условие

(4.20)

которое должно выполняться в любой точке области .

Пусть в односвязной области выполнено условие (4.20). Рассмотрим интеграл (4.18), в котором закреплена точка , а точку будем считать переменной. Тогда интеграл (4.18) будет функцией переменных или, как говорят, функцией точки с координатами :

. (4.21)

Верны следующие свойства этой функции.

1. У функции существуют частные производные, причем

. (4.22)

2. Из (4.22) следует, что подынтегральное выражение в (4.21) является полным дифференциалом функции :

.

3. Если выражение является полным дифференциалом некоторой функции , то , где – некоторая постоянная.

То есть условие (4.20) является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции.

Заметим, что интеграл (4.21) можно вычислять по любому пути, соединяющему точки и . Оказывается, что самый простой путь интегрирования – ломаная, состоящая из двух отрезков, параллельных осям координат. Тогда, если первый отрезок параллелен оси , т.е. переменная не меняется, а второй – оси (не меняется переменная ), то мы получаем следующий способ вычисления интеграла (4.21):

. (4.23)

Пример 4.4. Вычислить криволинейный интеграл

Решение. Проверим условие (4.20):

То есть и интеграл не зависит от пути интегрирования. Будем вычислять его по ломаной, состоящей из двух отрезков, параллельных осям координат, где первый отрезок ( ) параллелен оси , а второй ( ) – оси :

.

Здесь

,

.

Тогда (см. формулу (4.23))

. ◄

7