Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). — М. 2003. т.1— 680с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). — М. 2003. т.2— 864с.

3. Краснов М.Л. Вся высшая математика. Т.1. /М, Л. Краснов, Л. И. Киселев, М. И. Макаренко. – М., 2003, – 328с.

4. Краснов М.Л. Вся высшая математика. Т.2. /М, Л. Краснов, Л. И. Киселев, М. И. Макаренко. – М., 2004, – 192с.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М., 1985.–384с.

6. Алексеев А.Б., Филиппова А.Ф. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие. СПб ГУТ, 2019,– 46с.

1. Функции нескольких вещественных переменных. Основные понятия

1.1. Говорят, что задана функция двух независимых переменных , если задан закон, т. е. правило соответствия между парами чисел и числами . При этом независимые переменные и называются аргументами, а зависимая переменная   – значением этой функции . Каждой паре аргументов и соответствует определенная точка на координатной плоскости с координатами , и вместо того, чтобы говорить о значении функции при значениях аргументов и , можно говорить о значении функции в точке . Функция может быть определена на всей плоскости или только в какой-то ее части, в некоторой области , которая называется областью определения функции. Множество возможных значений чисел для функции называется областью ее значений.

Если функция задана аналитически, то есть переменные , и связаны некоторым уравнением, то область определения функции получается из возможности выполнить указанные действия. В частности, если функция есть многочлен от и , например, , то можно считать, что эта функция определена на всей плоскости. Формула задает функцию при условии: . Это условие означает, что область определения функции - круг с центром в начале координат и радиусом, равным .

Графически функция двух переменных может быть изображена в виде поверхности в трехмерном пространстве с декартовой системой координат . В частности, график функции – полусфера, расположенная над областью определения , а график функции – гиперболическая поверхность, имеющая седловую точку с координатами (0, 0).

Окрестностью точки (обозначение: ) называется множество точек , удовлетворяющих строгому неравенству: , т.е. внутренность круга с центром в точке любого радиуса . Если требуется указать радиус круга, например, , то такая окрестность называется -окрестностью и обозначается .

Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность целиком принадлежащая этому множеству ( ). Точка называется граничной точкой множества , если любая окрестность содержит точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие множеству . Все множество граничных точек образует границу множества . Если множество содержит свою границу, то оно называется замкнутым, если множество не содержит границу, то оно называется открытым.

Примером замкнутого множества является область, описываемая неравенствами: , . Это - прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, причем граница этого прямоугольника, состоящая из отрезков, лежащих на прямых: , также включается в область. Неравенства , определяют только внутренние точки прямоугольника и, следовательно, - открытую область. Любая окрестность также является открытым множеством.

Аналогично определяются функция независимых переменных , ее область определения и область значений. Все множество последовательностей вида называется –мерным пространством и обозначается , сами последовательности – точками пространства , а числа – координатами этой точки.

Аналогично окрестностью точки называется множество точек , удовлетворяющих неравенству: , вводятся понятия внутренней и граничной точки, замкнутого и открытого множества в пространстве .

В основном дальше рассматриваются функции двух переменных, сформулированные утверждения нетрудно перенести на функции переменных.

1.2. Введем понятие предела для функции двух переменных.

Пусть функция определена во всех точках , достаточно близких к точке , за исключением, может быть, ее самой. Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , обозначение:

или ,

если для любого заданного положительного числа существует такое положительное число , что выполняется неравенство

. (1.1)

Заметим, что неравенства в (1.1) могут быть заменены на условие: (точки принадлежат -окрестности точки ).

Обращаем внимание, что и стремятся к своим предельным значениям и независимо друг от друга. При этом предполагается, что исключена пара значений и (точка не совпадает с ). Если точка лежит на границе той области, в которой определена , то , стремящаяся к , должна принадлежать области, в которой определена функция .

Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность точек , стремящаяся к , т. е. такая, что последовательность имеет предел , а последовательность имеет предел . Доказано, что если последовательность чисел для любой такой последовательности точек имеет один и тот же предел , то число есть предел функции при стремлении к в смысле сформулированного выше определения.

Так как определение (1.1) практически совпадает с определением предела функции одного вещественного переменного, теоремы о пределах сохраняются для функций двух переменных.

Кроме предельного перехода (1.1), можно рассматривать повторные пределы, соответствующие предельному переходу сначала по при постоянном , отличном от , а затем по , или наоборот:

или (1.2)

Из существования предела в смысле двух переменных (1.1) следует существование и совпадение повторных пределов: . Обратное – неверно.

1.3. Пусть функция определена в точке и во всех точках , достаточно близких к . Функция называется непрерывной в точке , если

, или . (1.3)

Определение (1.3) также совпадает с определением непрерывности функции одного вещественного переменного, поэтому теоремы о свойствах непрерывных функций сохраняются для функций двух переменных.

Приведем очевидное следствие, которое вытекает из определения непрерывности функции. Если функция двух переменных непрерывна в точке и, если мы положим , то функция одной переменной непрерывна в точке . Аналогично, непрерывна в точке .

Функция называется непрерывной в некоторой открытой области, если она непрерывна в каждой точке этой области (внутренней точке).

Функция называется непрерывной в замкнутой области, если она непрерывна в каждой внутренней точке этой области, а в граничных точках соотношение (1.3) выполняется при любом стремлении точек изнутри области.

Пусть - ограниченная замкнутая область на плоскости и непрерывная в функция. Такая функция обладает свойствами, аналогичными свойствам функции одной независимой переменной, непрерывной в конечном замкнутом промежутке. Доказательства этих свойств, по существу, те же, что и доказательства для функции одной независимой переменной. Сформулируем лишь результаты.

1. Функция ограничена в , т. е. существует такое положительное число , что для всех .

2. Функция достигает в наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса).

1.4. Допустим, что у функции переменная сохраняет постоянное значение и меняется только , то есть функция становится функцией одного переменного и можно вычислить ее приращение и производную в точке . Обозначим это приращение функции через (такое приращение называется частным приращением):

.

Частной производной первого порядка или функции по переменной в точке называется предел

, (1.4)

если он существует и конечен.

Если имеет частную производную по , то она, как известно, является непрерывной функцией аргумента при фиксированном .

Точно так же определяется частное приращение

и частная производная первого порядка или функции по переменной в точке , вычисленная в предположении, что не меняется.

То есть

. (1.5)

Так как определения (1.4) и (1.5) совпадают с определением производной функции одной переменной, то при вычислении частных производных используются обычные правила и приемы дифференцирования.

Аналогично через частные приращения определяются частные производные функции независимых переменных .

1.5. Приведем формулы для производных сложных и неявных функций.

Пусть функция зависит через посредство и от одной независимой переменной , т. е. аргументы и сами являются функциями , имеющими производные и . Тем самым задана сложная функция . Пусть частные производные и непрерывны как функции двух переменных. Определим производную функции по . Если независимой переменной задать приращение , то функции и получат соответственно приращения и , а получит приращение :

. (1.6)

Из формулы конечных приращений (см. [.]) приращение (1.6) (такое приращение называется полным приращением) можно написать в виде:

,

где . Разделим обе части этого равенства на . Тогда

. (1.7)

Устремим к нулю, тогда и также будут стремиться к нулю. В силу непрерывности всех участвующих в (1.7) функций в пределе получим

. (1.8)

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет переменная т. е. что функция зависит от переменной как непосредственно, так и через переменную . Принимая во внимание, что в этом случае , из равенства (1.8) следует

. (1.9)

Производная (1.9) называется полной производной от по в отличие от частной производной .

Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной неявной функции. Положим, что уравнение

(1.10)

определяет неявную функцию , имеющую производную .

Продифференцируем уравнение (1.10), используя формулу (1.9). Тогда

,

откуда

. (1.11)

Пусть функция зависит через посредство и от двух независимых переменных и , т. е. аргументы и сами являются функциями , имеющими частные производные. Тем самым задана сложная функция . Аналогично формуле (1.9) доказываются правила дифференцирования:

, (1.12)

. (1.13)

Пример 1.1. Найти частные производные функции

.

Решение. Считая постоянным, находим производную по

.

Считая постоянным, находим производную по

. ◄

1.6. Допустим, что у функции в точке и ее окрестности существуют частные производные первого порядка. Тогда они являются в этой окрестности функциями, у которых могут существовать частные производные в точке .

Частными производными второго порядка функции в точке называются частные производные от ее частных производных первого порядка. А именно,

или , или , (1.14)

или , или . (1.15)

Производные (1.15) называются смешанными. Доказано, если смешанные частные производные непрерывны, то они совпадают:

. (1.16)

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков, и для них верно утверждение (в случае непрерывности) о равенстве смешанных производных независимо от порядка дифференцирования. Поэтому в дальнейшем для них будем называть только порядок производной, а не порядок дифференцирования.

Пример 1.2. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Частные производные первого порядка найдены в примере 1.1. Тогда по формулам (1.14) и (1.15)

,

,

. ◄

1.7. Пусть у функции в точке существуют частные производные. Ее полным дифференциалом в этой точке называется выражение

, (1.17)

где дифференциалы независимых переменных и равны приращениям, то есть и .

Доказаны следующие свойства полного дифференциала.

1. Полное приращение (1.6) функции связано с полным дифференциалом соотношением

,

где и стремятся к нулю при и .

2. Свойство инвариантности. В случае функции от одной переменной, известно, что выражение ее первого дифференциала не зависит от того, является ли ее аргумент независимой переменной или функцией от другой переменной. Это свойство остается справедливым и в случае функции двух переменных. А именно, пусть функция является сложной функцией . Тогда ее полный дифференциал равен

. (1.18)

Доказательство. Подставим в (1.18) выражения частных производных (1.12) и (1.13). Тогда полный дифференциал преобразуется к виду

,

совпадающему с (1.17). ■

3. Свойство инвариантности позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции двух переменных:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

1.8. Пусть функция в точке имеет частные производные 2-го порядка. Дифференциалом второго порядка для этой функции называется дифференциал от дифференциала функции. А именно,

. (1.19)

Так как приращения независимых переменных играют роль постоянных, то

. (1.20)

Если функция имеет частные производные –го порядка в точке , то по определению ее дифференциалом -го порядка в этой точке называется дифференциал от дифференциала ( )-го порядка, то есть

. (1.21)

Для дифференциала -го порядка (1.21), используя биномиальные коэффициенты можно получить формулу, частным случаем которой является формула (1.20).

1.9. Производной функции в точке по направлению вектора называется предел

, (1.22)

если он существует и конечен. Здесь точка стремится к точке параллельно вектору (см. рис. 1), знак «плюс» берется в знаменателе дроби, если вектор сонаправлен с вектором , и «минус» - в противоположном случае.

Рис. 1.

Если – угол между вектором и осью , то для вычисления производной по направлению используется формула

. (1.23)

Аналогично (1.22) определяется производная по направлению для функции нескольких переменных, в частности и для функции трех переменных . Если – углы, образованные вектором с осями , то в случае функции трех переменных аналогом (1.23) является формула

. (1.24)

1.10. Градиентом функции трех переменных в точке называется вектор

, (1.25)

где – орты координатных осей соответственно.

В двумерном случае градиент функции в точке принимает вид

. (1.26)

Формула (1.24) (или (1.23) в двумерном случае) представляет собой скалярное произведение двух векторов: и - орта вектора (единичного вектора, сонаправленного с вектором ). Тогда, переписав скалярное произведение через модули перемножаемых векторов и косинус угла между ними, получим

. (1.27)

Из формулы (1.27) следует, что производная по направлению максимальна, если направление вектора совпадает с направлением вектора (в этом случае ). Следовательно, градиент функции показывает направление максимально быстрого возрастания этой функции.

Если вектор перпендикулярен вектору , то производная по этому направлению равна нулю:

, (1.28)

то есть функция в этом направлении не меняется.

Поверхности в трехмерном пространстве, где

,

называются поверхностями уровня функции (линиями уровня, если функция зависит от двух переменных).

Следовательно, градиент функции перпендикулярен любой поверхности (линии) уровня этой функции.

Пример 1.3. В точке найти градиент функции

.

Решение. Находим частные производные:

,

.

В точке , . Тогда

. ◄

Пример 1.4. В точке найти производную по направлению градиента функции

.

Решение. По формуле (1.27)

.

(Рекомендуем доказать, что, если применить формулу (1.23), получится тот же результат). ◄

1.11. Точка называется точкой локального максимума (точкой локального минимума) функции , если у точки существует окрестность такая, что для любой точки из этой окрестности выполняется неравенство

.

Точки локальных максимумов и минимумов функции называются точками экстремума функции.

Верно следующее утверждение (необходимое условие экстремума). Пусть точка – точка экстремума функции и в этой точке существуют частные производные и . Тогда в этой точке

и . (1.29)

Условие (1.29) равносильно тому, что в точке

, (1.30)

где - нулевой вектор.

Заметим, что условие (1.29) необходимо для экстремума, но не достаточно. Есть примеры функций, у которых нет экстремумов, но существуют точки, в которых первые частные производные равны нулю. Поэтому любые точки, в которых выполнено условие (1.29) называются стационарными точками.

Пусть – стационарная точка функции . Пусть в этой точке существуют вторые частные производные

.

Введем . Достаточным условием экстремума функции в точке является следующее утверждение:

если , то функция имеет в точке экстремум, причем максимум, если (или ), и минимум, если (или );

если , то точка точкой экстремума не является;

если , то необходимо дополнительное исследование.

Пример 1.5. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Частные производные первого порядка найдены в примере 1.3. Система (1.29) в этом случае имеет вид:

Следовательно, решая систему, получим координаты стационарной точки:

Частные производные второго порядка:

,

,

.

Следовательно, ,

.

Тогда в точке (1, -2) у функции максимум, причем максимальное значение функции

. ◄

1.12. Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой области решается по следующей схеме: сначала находят стационарные точки внутри области и на границе области, а также точки, в которых производные не существуют, затем вычисляют значения функции во всех этих точках и среди них выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример 1.6. В кольце найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение. Найдем стационарные точки, приравняв нулю частные производные первого порядка:

Точка принадлежит области , значение функции в ней равно .

Граница области состоит из двух окружностей: и . Первая из них описывается параметрически: . На ней функция зависит от одной переменной

.

Ее производная

равна нулю при . Вычислим значения функции в этих точках и добавим значение функции в точке , соответствующей (в силу периодичности функции) концам промежутка . Получим

.

Аналогично на второй окружности ( ) получаем три значения функции

.

Из полученных семи значений и выбираем

наибольшее:

и наименьшее: .

(Рекомендуем проверить с помощью вторых производных, что в точке нет экстремума). ◄