ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Высшая математика / Краснов Лаплас
.pdf
М.ILКраснов, А.И.Киселев, r.и. Макаренко
ОПЕРАЦИОН Н ОЕИСЧИСnЕНИЕ
•
Т ЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
ЗАДАЧИ
и
примеры с подро6ными решениими
Издание третье,
· исправленное и дополненное
Бшо допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
УРСС• Москва 2003
ББК 22. l6lя.73
Краснов Михаил Леонтьевич,
Киселев Александр Иванович,
Макаренко I}Jиrорий Иванович
Операционное исчисление. Теория устойчивости: Задачи и примеры с подроб
ными решениями: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2003 .. - 176 с. (Вся высшая математика в задачах.)
ISBN 5-354-00383-0
В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по основным разделам операционного исчисления и теории устойчивости. В начале каждо го параграфа приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), а также подробно разбирается. около JOO типовых задач
ипримеров.
Вкниге содержится свыше 500 задач и примеров для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания
крешению.
Книга предназначается в основном для студентов технических вузов с ма тематической подготовкой, но может принести пользу и инженеру, )f(:ел ающему восстановить в памяти разделы математики, относяшиеся к операционному исчислению и теории устойчивости.
Издательство •Едиториал |
117312, г. Москва, |
nр-т 60-летия Октября, |
9. |
|
||||
Лицензия ИД Ni!05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 15.05.2003 г. |
|
|
||||||
3000 экз. Печ. |
л. |
|
Зак. |
|
265 |
вал, |
|
|
Формат 60х9{)/16. Тираж УРСС•. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
.. 109044, г. Москва, Крутицкий |
18. |
||||
Отnечатано в типографии ИПО •Профиздат11. |
|
Ni! |
|
|
||||
ИЗДАТЕЛЬСТВО УРСС
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
вE-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий7 1355--2344-
/ntвrnвt: http://URSS.-ru42 46
Твл./факс: (095) Тел./факс: (095)
ISBN 5-354-00383-0
© Едиториал УРСС, 2003
ГЛАВА
1Операционное исчисление
§1 . Нахождение изображений и оригиналов
Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция j(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:
1°. j(t) интегрируема на любом конечном интервале оси t (локально интегрируема).
2°. Для всех отрицательных t |
/(t) == о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3°. 1/(t)/ возрастает при t -+ +оо не быстрее показательной функции, |
|||||
т. е. существуют такие постоянные М >О и s, что. Д11всехЯ |
t |
(1) |
|||
Нижняя грань s0 всех чисел s, для которых справедливо перавея |
|||||
ство (J), называется показателем роста функции /(t). |
|
|
|||
Пример 1 . Показать, что функция |
|
|
|
|
|
/(t) == |
о |
sin Зt, |
t >О, |
|
|
|
{ е2,1 |
|
t <О, |
|
|
является функцией-оригиналом.
Действительно, функция /(t) локально интегрируема:
]t, е 21 sin Зt dt
существует для любых конечных t1 и t2 •
Условие 2• выполнено в силу задания функции. Н аконец, для любых вещественных t
ПростейшейМ |
|
le 21 sin Зtl |
е 21, |
|
|
1> |
||||
в условии |
з• |
можно взять любое число 1 ; s0 |
== 2. |
|||||||
так что в качестве |
|
|
||||||||
функцией-оригиналом является так называемая еди |
||||||||||
ничная функция Хевисайда |
|
== |
{ |
|
|
|
о, |
|
|
|
|
1/(t) |
1 , |
t > |
|
|
|||||
|
|
|
|
О, |
t |
< |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
О. |
|
|
||
4 Глава 1. Операционное исчисление
Очевидно,
> О,
|
|
|
<р(t) |
О, |
t |
<О, |
|
|
|
|
|
1J(t) = <p(t), |
|
|
· удовлетво |
||
так что если |
|
удовлетворяет условиям{ |
lot |
и 3", то |
|
|||
|
условиям, налагаемым на функции-оригиналы. |
|
||||||
ряет всем |
|
<p(t) |
|
|
|
|
<p(t)71(t) |
|
Задачи для самостоятельного решения
1 . Проверить, какие из указанных функций яаляются функциями-ориrиналами:
а) |
f(t) |
Ь1q(t), |
ь |
> о, |
ь-# 1; |
б) |
/(t) |
e<2нi)tч(t); |
||||||
в) f(t) =t _ |
1 3чt)( ; |
|
|
r) |
/(t) |
t2чt)( ; |
|
|||||||
д) |
f(t) |
ch (3 - i)tчt);( |
|
е) |
/(t) |
tч(t); |
||||||||
ж |
) |
/( |
1чt);( |
|
|
|
|
) |
/(t) |
tg |
c |
ost ТJ(t); |
||
|
t) =t |
1 |
|
|
|
з |
|
= e-t |
|
00 |
||||
и) |
t |
|
2 |
|
|
|
к) |
/(t) = e-12qt);( |
||||||
|
|
/( ) = е1 |
чt);( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л) |
/(t} =t2+2чt( ); |
|
м) |
/(t) |
q(t)+ L:(-I)"ТJ(t-k). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=l |
j(t) |
В |
|
|
|
|
f(t)ТJ(t) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, писать |
|||||||||||||||||||||
|
вместо |
|
|
считая, что рассматриваемые нами функции про |
||||||||||||||||||
должены нулем для отрицательных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Изображением функции |
р = s |
п оt. |
Лапласу называется функция F(p) |
||||||||||||||||||
комплексною переменною |
++оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f(t) |
iu, определяемая равенством |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) = j j(t)e-pt dt. |
, |
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
писывать так: |
что F(p) есть |
/(t);:::F{P). |
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Тот |
факт, |
|
о |
|
|
|
|
|
будем символически за- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
изображение |
|
|
|
|||||||||||
|
Функция F(p) определена в полуплоскости |
Reр |
= |
s |
> |
so |
и является |
|||||||||||||||
в этой полуплоскости аналитической функцией. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Пример 2. |
Пользуясь оnределением, найти изображение функции |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(t) = e2t. |
s0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F(p) |
Решение. Для функции f(t) = е21 |
имеем |
|
2. |
Поэтому изображение |
|||||||||||||||||
|
но |
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
1-+оо |
1 |
|
|
|
|||||||
|
будет во всяком случае оnределено и аналитично в nолуnлоскостиRep > 2. |
|||||||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е-(р-2)1 , |
|
|
= |
|
|
|
|
|||
F(p) = J0 |
|
21e-pt |
dt= Jо e-(p-2)t |
|
|
l |
|
- |
|
|
|
(Rep= s > 2). |
||||||||||
e |
|
|
dt= -(р- 2) |
|
|
1=0 |
р- |
|
|
|
||||||||||||
|
|
§ 1. |
Нахождение изображений и оригиналов |
5 |
||
Итак, |
F{p) |
1 |
|
, |
и, кроме того, она |
|
р-2 |
|
|||||
|
= -- . Эта функция аналитична при Rep > 2 |
|
||||
аналитична всюду, за исключением точки р=2. Это не противоречит сформу |
|||||||
неаналитичнаF(p) |
. |
|
|
гарантирует |
аналитичностъ |
||
лированному выше утверждению, так как последнее |
|
< |
|
||||
при Rep |
> |
s0, но вовсе не утвержДает, что если Rep |
80, |
то F(p) всюду |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Пользуясь определением, найти изображения следуютих функций:
2. |
f(t)=t. 3. f(t)=sinЗt. 4. |
f(t)=te1• 5. f(t)=t9 |
(а > - 1) . |
|||||
б. |
-. -1 |
служить изображением некоторого оригинала? |
||||||
Можетли функция t.p{p)=cosp |
||||||||
|
Свойства преобразования Лапла.сf3 |
|
|
|
|
|||
|
Теорема единственности. |
Иреобразование Лапласа |
|
|
|
|
||
|
F(p) |
= |
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
j e-ptj(t) dt |
|
|
|
|
||
|
единственно в том смысле, |
чтоодве функции |
и |
|
|
имеющие |
||
|
|
|
|
во всех точках непре |
||||
|
одинаковые преобразования Лапласа, совпадаютj1(t) |
|
j2 |
(t), |
|
|||
|
рывности,для всех t > О. |
|
|
|
|
|
|
|
Различные разрывные функции могут иметь одинаковое иреобразо вание Лапласа (читателю предлагается построить пример такой функции).
|
1. |
Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных а и fЗ |
|||||
|
|
aj(t) + {З |
(t)';:!. aF(p) + {ЗG(р) |
||||
|
(здесь и всюду в дальнейшем считаем |
|
G(p)). |
||||
|
|
|
g |
|
|
j(t);::!F(p),. g(t);::!. |
|
Задачи для самостоятельного решения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Найти изображения функций: |
|
|
е-1 |
|
|
||
7. 1 |
+ |
t. 8. 2 sintcost. 9. t |
+ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
11. Теорема подобия. Для любого постоянного а > О |
||||||
|
|
j(at);::!±F(;). |
. |
||||
6
Глава 1. Операционное исчисление
Задачи для самостоятельного решения
Пользуясъ теоремой подобия, найти изображения следующих функций: |
||||
1 0. |
j(t) =e01• |
1 1 . j(t) = sin4t. 1 2. a) j(t) = coswt; б) |
j(t);::::sh Зt. |
|
1 3. |
Пусть f(t) F(p). Найти изображение функции j(t/a) |
(а > О) непосред |
||
ственно и с помощью теоремы подобия. |
|
|||
Пользуясъ теоремами линейности и подобия, найти изображения следующих |
||||
1 4. |
|
1 5. |
|
|
функций: |
|
j(t) = s\nmt cosnt. |
|
|
|
j(t) = sin 2t. |
|
|
|
1 6. |
f(t) = cos 3t. |
1 7. |
f(t) = sin mt sin nt. |
|
1 8. |
f(t) = sin4t. |
1 9. |
f(t) = cosmt cosnt. |
|
|
111. Дифференцирование оригинала. Если функции |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
j(t), j'(t), .. . , |
/(n)(t) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
являются функциями-ориг |
|
|
j(t) ;::=F(p), |
то |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
иналами и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/'(t) ;::=pF(p) - /(0), |
- j'(O),. . . . .. ..... |
. . . . . |
. .. .. . .. . . ,_ |
|
|
|
|||||||||
|
/"(.t). |
;d |
р2F.(p. )- pj(O). . |
|
|
|
||||||||||
|
. .. . . . .. .. . . . . . . . .. .. . .. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i">(t) ;d p"F(p)-pn-1/(0) |
- pn-2/'(0) - .'. - /(n-1)(0), '. |
|
|
||||||||||||
|
где под /(k) |
(O) |
(k = 1, 2, ... , n- 1) понимается |
lim |
J<k>(t). |
|
|
|
||||||||
|
Пример 3. |
Пользуясь теоремой |
о АИфференцtи-+0 |
|
и |
нала, |
||||||||||
|
найти изображение функции j(t) = sin 2t. |
|
ровании ориг |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение. |
Пусть j(t) F(p). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
/'(t) pF(p) - /(0). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Но f(O)=O, а f'(t) = 2 sin t cost = sin 2t |
-2-.Следовательно, +4 =pF(p), |
|||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
Р |
2+ |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) = р(р22+ 4) |
;::::. s.tn 2t. |
|
|
|
|
f> |
||||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, |
найти изображение сле |
|
||||||||||||||
дующих функций: |
|
|
21. f(t) = sin 3t. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20. |
j(t) = cos2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. 24.
ния
§ 1. |
Нахождение изображений и оригиналов |
7 |
||||||||
j(t) = t sinwt. |
23. |
j(t) = cos |
4 |
t . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
j(t) = t coswt. |
25. |
/(t) = te1• |
|
|
|
|
|
|
||
IV. Дифференцирование изображениfl. Дифференцирование изобра |
||||||||||
жения сводится "умножению на (-t) оригинала |
|
|
|
|||||||
|
|
|
F'(p) :=' - f |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
(t) |
|
|
|
или, вообще, |
|
F( |
n |
)(p) :=' (-t) |
/(t). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
Пример 4. Найти изображение фу:кции /(t) |
t |
2et. |
|
|||||||
|
|
|||||||||
Решение. |
Имеем е |
1 |
;::: |
l |
|
. • |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
' |
|
. |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- |
||||
|
|
|
|
|
;= -te , откуда |
|
|
|
|
||||||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
р-1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
_ |
|||
|
р |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
(р _ |
! |
)2 |
) |
;= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
По теореме о дифференцировании |
|||||||||
|
2 |
• |
t |
|
|
|
|
|
t |
|
;::::::te . Далее |
2! |
|
. |
|
||||
1) |
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(te ) |
и |
|
|
|
;= |
2 |
|
|
|
(р |
|
t)> |
t е . |
|||||
- |
|
ил |
|
|
|
|
|||
изображе
1>
Задачи дпя с |
е |
r |
|
мостоятельно о решения |
Найти изображения следующих функций: |
|
|
|
||||
26. |
2 |
|
27. |
j(t) = t(e1+ ch t). |
|
|
|
j(t)=t cos t . |
|
|
|||||
28. |
j(t) = (t + 1) sin 2t. |
29. |
j(t) = t sh Зt. |
|
|
||
|
У. Интеrрирование ориrинапа. Ин:тегри]Ю8ание оригинала сводится |
||||||
|
к делению |
изоброжения нар, т, е. |
|
F |
(p), то |
||
|
|
если !(t);::: |
|||||
|
|
|
|
t |
F ). |
|
|
|
|
|
|
J f(т) dт;::: |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Пример 5. Найти изображение функции |
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
f er dт. |
|
|
||
|
t |
|
|
о |
|
|
|
|
Решение. |
Имеем e |
|
1 |
|
|
|
|
|
:= --. По теореме об интегрировании оригинала |
||||||||
|
|
|
1 |
-- |
|
|
|
|
|
|
р-1 |
-- |
|
|
. |
||
|
|
/r |
.р |
1 |
|
l |
|
|
|
|
о |
е |
dт;::::. |
|
= |
р(р _ l) |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
[>
8Тhава 1. Операционное исчисление
Задачи д л я самостоятельного решения
Найти изображения следующих функций:
30. |
f(t) = jо |
sinr dr. |
31 . |
о |
|
l) cosUJr dт. |
|
|
t |
|
f(t)= j<r+t |
||||
32. |
/(t) = jо t r sh2r dr. |
33. |
j(t)= jо t cos2UJrdr. |
||||
34. |
t |
|
35. |
f(t)= Jt |
r2е-т dr |
|
|
|
f(t) = jо |
chUJr dr. |
|
о |
|
|
. |
00
Vlся., Интегрирование изображения. Если интеграл J F(p) dp сходит-
J(t): Р
то он служит изображен'' ием00фун"' кции t
Jt) ;: 1 F(p) dp.
р
|
|
|
Найти изображение функцииl |
sin t |
. |
||||||||||||
|
Пример 6. |
--t |
|||||||||||||||
|
р |
- |
00 |
|
dp |
|
sш t := р-2--1 . |
Поэтому |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||
|
ешение. Как известно, . |
|
|
|
р |
|
|
||||||||||
|
|
sint |
t |
. j |
р1+1 |
|
arctg= |
|
=-1r - arctgp = arcctgp |
||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
-- |
Arctg!"" |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
::::: |
|
|
p |
z и т. д. берем их главные ветви , для |
|||||||||
(для |
многозначных функций |
Ln |
z, |
|
|
||||||||||||
которых |
ln 1= О, |
|
|
1= |
7r/ |
т. д.). |
|
|
|
|
|
[> |
|||||
|
|
|
arctg |
|
|
4 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задачи для самостоятельного решения
Найти
36• а)
38. а)
t |
|
|
|
|
-l |
|
|
. 2 |
|
|
|
изображения следующих функций: |
|||||||||||
t |
1 |
, |
б) |
1 |
|
|
) |
|
t |
|
|
|
t ., |
в |
t |
. |
37. а) |
||||||
- |
|
б) |
|
|
|
|
|||||
et - 1- t; |
et - e-t . |
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
1
-
cos
t
б) cost -t cos 2t .
|
|
|
§ 1. |
Нахождение изображений и оригиналов |
|
9 |
||
|
|
|
оо j(t) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
С помощью теоремы об интегрировании изображения легко вычи- |
||||||||
сляются некоторые несобетвенные интегралы. |
о |
t |
||||||
Тогда |
J |
|
::= |
|
00 j t) |
00 |
||
Пусть |
|
(t} |
|
F(p) и пусть сходится несобетвенный интеграл f - dt. |
||||
|
|
|
|
|
J |
dt = JF(p) dp, |
|
(3) |
|
|
|
|
|
Q |
Q |
|
|
где интеграл справа можно вычислять по положительной полуоси.
Пример 7. Вычислить интеграл00
J siпt t dt.
о
|
Р |
|
|
|
ие. |
Имеем sint ;= у |
l |
По формуле (З) |
= 1r2 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ешен |
|
+ 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/00 |
|
|
|
"" z--2 + |
= |
|
|
|
0 |
|
|
!> |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
sint dt = |
jо |
|
I |
|
arctgz |
!"" |
|
- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задачи дпя самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
00 |
|
-41 |
|
|
-Ьt |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить интеrралы: |
|
|
|
|
|
40. |
J6 e-at |
t |
|
dt |
|
0). |
|||||||||||||
39. |
Jо |
е |
|
е |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
00 |
|
|
|
|
|
(а>О, Ь>0). |
|
|
|
|
|
|
|
sinat |
|
|
(а>О, а> |
|
||||||
|
e-at -t e-f3t sinmt dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
41 . |
1о |
(а>О, f3>О, т>0). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
00 |
Ae-at + Be-f3t + ce-rt + De-6t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
42. |
Jо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а> О, /3 00 |
|
|
|
|
О, |
|
> 0). |
|
|||||||
|
|
|
|
(А + В + С + |
D |
О, |
О, |
|
7 > |
5 |
|
||||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
cosbl dt |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
43• |
1 cosat |
|
(а>О, Ь > 0). 44. |
j sinatsinьt |
dt |
(а> О, Ь>О). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Vll. |
Теорема смещения. |
Если j(t) ::= F(p), |
то для любого комплекс- |
|||||||||||||||||||||
|
ного Ро |
|
|
|
|
|
t!'ot /(t) |
:=' |
F(p- Ро). |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||